高考数学答题技巧题型25 8类排列组合与4类二项式定理解题技巧（捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环排、涂色、项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧）（解析版）（13页）

题型25 8 类排列组合与4 类二项式定理解题技巧 技法01 捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环 排、涂色解题技巧 知识迁移 求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m 个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n 个)进行排列， 然后用总排列数A 除以m 个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定 要除以A(n 为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分 组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要 除以全排列数． 隔板法 将 个相同元素放入 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有 种。解决此类问题 常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这 技法01 捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环排、涂色解题技巧 技法02 项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧 排列组合是新高考卷的常考内容，一般会和分类加法原理与分步乘法原理结合在小题中考查，需重点复习. 个元素排成一列，共有 个空，使用 个“挡板”进入空档处，则可将这 个元素划 分为 个区域，刚好对应那 个盒子 环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为 涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类 讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不 相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。 例1-1．（2023 春·重庆·高三校考）有3 名男生和2 名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（ ） A．36 种 B．48 种 C．72 种 D．108 种 不同排法种数为 种 例1-2．（2023 秋·黑龙江·高三校考）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（ ） A．12 B．36 C．48 D．72 先排丙、丁、戊三人，共有 种排法，甲和乙不相邻，再将甲、乙插空，共有 种排法，故排法 种数为 ． 例1-3．（2023·全国·高三对口高考）运输公司从5 名男司机，4 名女司机中选派出3 名男司机，2 名女司机， 到 ， ， ， ， 这五个不同地区执行任务，要求 地只能派男司机， 地只能派女司机，则不同的 方案种数是（ ） A．360 B．720 C．1080 D．2160 第一步，先从5 名男司机，4 名女司机中选派出3 名男司机，2 名女司机，共有 种方法， 第二步，从抽取到的司机中，派1 名男司机去 地，派一名女司机去 地，共有 种方法， 第三步，剩下3 名司机随机去 ， ， 三地，共有 种方法，故不同方案种数为 ， 例1-4．（2023 春·广东·高三统考阶段练习）2022 年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村” 篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐． 某高三班主任从网上找到6 个与此相关的短视频 ， ，， ，， ，准备从这6 个短视频中再选出3 个向学生推荐，则 ， ，至少选1 个的方法种数为（ ） A．8 B．18 C．19 D．24 不同选法种数为 . 例1-5．（2023·甘肃·高三校联考阶段练习）某学校购买了10 个相同的篮球分配给高三年级6 个班，要求每 个班至少一个篮球，则不同的分配方法有（ ） A．126 种 B．84 种 C．72 种 D．48 种 将10 个篮球排成一排，形成9 个空，插入5 个挡板将篮球分成6 组，所以不同的分配方案有 种. 例1-6．（2023·浙江·高三统考）将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法 种数共有( ) A． B． C． D． 将甲、乙、丙等六位同学进行全排可得 种，甲、乙、丙的排列为 种， 因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有 种． 例1-7．（2023·全国·高三专题练习）已知有6 本不同的书.分成三堆，每堆2 本，有 种不同的分堆方法. 6 本书平均分成3 堆，所以不同的分堆方法的种数为 . 例1-8．（2022·安徽·高三校考）有4 种不同颜色的涂料，给图中的6 个区域涂色，要求相邻区域的颜色不 相同，则不同的涂色方法共有（ ） A．1512 种 B．1346 种 C．912 种 D．756 种 1、先涂A 区域，则有4 种方法，若B，D 区域涂相同颜色，则有3 种方法，C，E，F 区域分别有3 种方法， 共有4×3×3×3×3=324 种方法． 2、先涂A 区域，则有4 种方法，若B，D 区域涂不同颜色，则有3×2 种方法，则E 区域有2 种方法，C，F 分别有3 种方法，共有4×3×2×2×3×3=432 种方法． 故不同的涂色方法共有756 种． 1．（2023·全国·高三专题练习）某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现 有甲、乙、丙、丁、戊、己6 名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙 在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ） A．72 种 B．81 种 C．144 种 D．192 种 【答案】D 【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的 排法，即可得出答案. 【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为 ， 若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为 ， 由间接法可知，满足条件的排法种数为 种. 故选：D. 2．（2023·四川·校联考模拟预测）甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2 个大人和2 个小 孩，乙家庭有2 个大人和3 个小孩，他们9 人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起， 且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（ ） A．144 B．864 C．1728 D．2880 【答案】C 【分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案. 【详解】甲家庭的站法有 种，乙家庭的站法有 种， 最后将两个家庭的整体全排列，有 种站法， 则所有不同站法的种数为 ． 故选：C 3．（2023·全国·高三专题练习）第 届世界大学生夏季运动会于月 日至月日在成都举办，现在从 男 女共 名青年志愿者中，选出男 女共名志愿者，安排到编号为、 、、 、的个赛场， 每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为、 的赛场，编号为 的赛场必须安排女志 愿者，那么不同安排方案有（ ） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】D 【分析】对女志愿者甲是否被选中进行分类讨论，分别确定各赛场的人员安排，结合分类加法计数原理可 得结果. 【详解】分以下两种情况讨论： ①女志愿者甲被选中，则还需从剩余的人中选出男女，选法种数为 ， 则女志愿者甲可安排在号或 号或号赛场，另一位女志愿者安排在 号赛场， 余下个男志愿者随意安排，此时，不同的安排种数为 ； ②女志愿者甲没被选中，则还需从剩余人中选出男 女，选法种数为 ， 编号为 的赛场必须安排女志愿者，只需从 名女志愿者中抽人安排在 号赛场， 余下 人可随意安排，此时，不同的安排方法种数为 . 由分类加法计数原理可知，不同的安排方法种数为 种. 故选：D. 4．（2023·江苏·高三校考）某校组织一次认识大自然的活动，有10 名同学参加，其中有6 名男生､4 名女 生，现要从这10 名同学中随机抽取3 名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（ ） A．192 种 B．120 种 C．96 种 D．24 种 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用排除法、组合应用问题列式计算作答. 【详解】从10 名同学中随机抽取3 名同学有 种方法，抽取的人全是男生的有 种，全是女生的有 种， 所以抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共 （种）. 故选：C 5．（2023·河北·高三校考阶段练习）小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择 （可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共 有（ ） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】B 【解析】将问题等价转化为将个完全相同的小球放入 个盒子里，允许有空盒，进一步转化为：将 个 完全相同的小球放入 个盒子里，每个盒子里至少有个球，利用隔板法可得出结果. 【详解】问题等价转化为将个完全相同的小球放入 个盒子里，允许有空盒. 进一步转化为：将 个完全相同的小球放入 个盒子里，每个盒子里至少有个球. 由隔板法可知，不同的选购方法有 种. 故选：B. 【点睛】本题考查利用隔板法解决实际问题，将问题进行等价转化是解题的关键，考查计算能力，属于中 等题. 6．（2023·全国·高三专题练习）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有 共6 项成果 要汇报，如果B 成果不能最先汇报，而A､C､D 按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数 为（ ） A．100 B．120 C．300 D．600 【答案】A 【分析】利用间接法和缩倍法求解. 【详解】不考虑限制条件共有 种， 最先汇报共有 种， 如果 不能最先汇报，而 ､C､D 按先后顺序汇报（不一定相邻）有 . 故选：A. 7．（2023·福建·高三校考阶段练习）为提高教学质量，教育厅派6 位教研员，平均分成3 组，去某地3 所 重点高中调研，且甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排方案有（ ）种． A．66 B．72 C．85 D．96 【答案】B 【分析】首先不考虑甲、乙两位教研员利用平均分组分配问题的方法求出总安排数，再减去甲、乙两位教 研员去同一所高中的情况. 【详解】依题意若不考虑甲、乙两位教研员则有 种安排方法， 若甲、乙两位教研员去同一所高中则有 种安排方法， 综上可得不同的调研安排方案有 种. 故选：B 8．（2023·全国·高三专题练习）7 名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻，不同的排法种数为 . 【答案】240 【分析】将甲、乙视为一个整体，根据圆排列的方法确定其排列数，再排甲、乙即可. 【详解】将甲、乙看成一个整体，相当于6 名同学坐圆桌吃饭，有 种排法， 甲、乙两人可交换位置，故排法共有 （种）. 故答案为： . 9．（2023·全国·高三专题练习）用四种颜色给下图的6 个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同 色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（ ） A．72 B．96 C．108 D．144 【答案】B 【详解】设四种颜料为 ， ①先涂区域B，有4 中填涂方法，不妨设涂颜色1； ②再涂区域C，有3 中填涂方法，不妨设涂颜色2； ③再涂区域E，有2 中填涂方法，不妨设涂颜色3； ④若区域A 填涂颜色2，则区域D、F 填涂颜色1，4，或4，3， 若区域A 填涂颜色4，则区域D、F 填涂颜色1，3 或4，3，共4 中不同的填涂方法， 综合①②③④，由分步计数原理可得，共有 种不同的填涂法．故选B． 10．（2023 春·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，现要用5 种不同 的颜色对某市的4 个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着 色方法？（ ） A．120 B．180 C．221 D．300 【答案】B 【分析】分Ⅰ，Ⅳ同色和不同色两种情况讨论，结合分布乘法原理即可得解. 【详解】当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅱ有 种涂色方法， Ⅲ有种涂色方法，此时共有 种涂色方法； Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅳ有 种涂色方法， Ⅱ有种涂色方法，Ⅲ有 种涂色方法，此时共有 种涂色方法， 综上共有 种不同的着色方法. 故选：B. 技法02 项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧 知识迁移 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C. 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： (1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项． (2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项． (3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项． (4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项． 注1．二项式的通项易误认为是第k 项，实质上是第k＋1 项． 注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数 所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)． 2. 二项式系数的性质 二项式定理是新高考卷的常考内容，一般会和项、系数、三项展开式、二项式乘积等结合在小题中考查， 需重点复习. 展开式的通项公式为 （ 且 ） 所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为： 和 在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ， 在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 所以 的系数为 1．（2023·全国·高三专题练习）二项式 的展开式的常数项为第_____项 A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【详解】试题分析：由二项式定理可知 ,展开式的常数项是 使 的项,解得 为第19 项,答案选C. 考点：二项式定理 2．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知 的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等， 则 . 【答案】5 【分析】根据二项式系数的概念以及组合数的性质可求出结果. 【详解】依题意可得 ，得 ，即 . 故答案为：. 3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知 的展开式中第4 项与第5 项的二项式系数相等，则展 开式中的 项的系数为（ ） A．―4 B．84 C．―280 D．560 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质求得 ，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数. 【详解】因为 的展开式中第4 项与第5 项的二项式系数相等，所以 P(ξ=K )= 1 2K ．则 又因为 的展开式的通项公式为 ， 令 ，所以展开式中的 项的系数为 ． 故选：B. 4．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在 的展开式中， 项的系数为（ ） A．1680 B．210 C．－210 D．－1680 【答案】A 【分析】相当于在7 个因式中有3 个因式选 ，余下的4 个因式中有2 个因式选 ，最后余下2 个因式中 选，把所选式子相乘即可得 项，求解即可. 【详解】相当于在7 个因式中有3 个因式选 ，有 种选法， 余下的4 个因式中有2 个因式选 ，有 种选法， 最后余下2 个因式中选，把所选式子相乘即可得 项， 而 ，所以 项的系数为 . 故答案为：A. 5．（2022·全国·统考高考真题） 的展开式中 的系数为 （用数字作答）． 【答案】-28 【分析】 可化为 ，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为 ， 所以 的展开式中含 的项为 ， 的展开式中 的系数为-28 故答案为：-28