浙江省宁波市镇海中学2019-2020学年高二上学期期末考试 政治

镇海中学2021 学年第一学期期末考试 高二年级数学试卷 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 用1，2，3，4 这4 个数字可写出（）个没有重复数字的三位数． A. 24 B. 12 C. 81 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，从4 个数中选出3 个数出来全排列即可. 【详解】由题意，从4 个数中选出3 个数出来全排列，共可写出 个三位数. 故选：A 2. 已知 ，则 （） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数和导数的运算规则求导后可得正确的选项. 【 详解】 ， 故选：C. 3. 函数 的图象大致为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合导函数研究函数 的单调性，通过单调性排除不满足的图像，选出答案. 【详解】因为 ，所以 ，因为 ， 所以 ，当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减，由此可排除选项 ， 故选：A. 4. 的展开式中 的系数是（） A. 1792 B. C. 448 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案. 【详解】 的展开式中，含 的项为 . 所以 的系数是 . 故选：D 5. 已知事件A，B 相互独立， ，则 （） A. 0.24 B. 0.8 C. 0.3 D. 0.16 【答案】B 【解析】 【分析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解. 【详解】因为事件A ，B 相互独立，所以 ，所以 故选：B 6. 点A 是曲线 上任意一点，则点A 到直线 的最小距离为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】动点 在曲线 ，则找出曲线上某点的斜率与直线 的斜率相等 的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可 【详解】不妨设 ，定义域为： 对 求导可得： 令 解得： （其中 舍去） 当 时， ，则此时该点 到直线 的距离为最小 根据点到直线的距离公式可得： 解得： 故选：A 7. 考试停课复习期间，小王同学计划将一天中的7 节课全部用来复习4 门不同的考试科目，每门 科目复习1 或2 节课，则不同的复习安排方法有（）种． A. 360 B. 630 C. 2520 D. 15120 【答案】C 【解析】 【分析】 ，先安排复习节的科目，然后安排其余科目，由此计算出不同的复习 安排方法数. 【详解】第步， 门科目选门，安排节课，方法数有 种， 第 步，安排其余科目，每门科目 节课，方法数有 种， 所以不同的复习安排方法有 种. 故选：C 8. 已知函数 ．若数列 的前n 项和为 ，且满足 ， ， 则 的最大值为（） A. 9 B. 12 C. 20 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到 及递推公式 ，要想 最大，则分两 种情况， 为负数且最小或 为正数且最大，进而求出最大值. 【详解】 ①，当 时， ，当 时， ②， 所以①－②得： ，整理得： ，所 以 ，或 ， 当 是公差为2 的等差数列，且 时， 最小， 最大，此时 ，所以 ，此时 ； 当 且 是公差为2 的等差数列时， 最大， 最大，此时 ，所以 ，此时 综上： 的最大值为20 故选：C 【点睛】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或 导函数等进行求解. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 在 的展开式中，若第六项为二项式系数最大的项，则n 的值可能为（） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合二项式系数对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当 时，二项式系数最大项是第 项，符合题意， 当 时，二项式系数最大项是第 项，符合题意， 当 时，二项式系数最大项是第 项，符合题意， 当 或 时，二项式系数最大项不包括第 项. 故选：ABC 10. 若 ，则一定有（） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】通过构造函数，结合导数判断出正确答案. 【详解】依题意， ， 对于A 选项， ①， 构造函数 ， 在 上递增， ， 所以存在 ，使 ， 所以 在 上递减，在 上递增. 所以①不成立，也即A 选项错误. 对于B 选项， ②， 构造函数 ， 所以 在 上递减，所以②成立，也即B 选项正确. 对于C 选项， ③， 构造函数 ， 所以 在 上递增，所以③不成立，也即C 选项错误. 对于D 选项， ④， 构造函数 ， 所以 在 上递增，所以④成立，也即D 选项正确. 故选：BD 11. 箱子中有6 个大小、材质都相同的小球，其中4 个红球，2 个白球．每次从箱子中随机的摸 出一个球，摸出的球不放回．设事件A 表示“第1 次摸球，摸到红球”，事件B 表示“第2 次摸球， 摸到红球”则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用条件概率及全概率公式进行求解. 【详解】 ，A 正确； ， 由全概率公式可知： 所以BC 错误，D 正确. 故选：AD 12. 数列 满足 ，数列 的前n 项和记为 ，则下列说法 正确的是（） A. 任意 B. 任意 C. 任意 D. 任意 【答案】BCD 【解析】 【分析】B：由题设得 且 ， ， 讨论 大小关系，结合给定条件即可判断；A：根据B 的结论及 ，易知随n 变 化 的趋势，并构造 求得 ，即可判断；C：由A 分析结果及 即可判断；D 判断 是否成立即可. 【详解】由 ，且 ，又 ，故 ， ， 则 ， 当 时，则 ，即 ，显然与 矛盾； 当 时，则 ，即 ，显然与 矛盾； 所以 且 ，即 递增，B 正确； 由 ，根据B 结论知：随n 的增大， 无限趋近于0，则 无限接近于1， 又 ，令 且递增，则 ， 即 ， 综上， ，A 错误； 由 ，根据A 的结论有 ， 又 ，可得 ，所以 ，即 ， 综上， ，C 正确； 由C 结论知： ，故 ， 所以 成立，D 正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：利用已知条件，将各项结论作转化，并应用分类讨论、极限、函数思想 判断数列不等式是否恒成立. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 的展开式中所有项的系数和为_________． 【答案】 ##0.015625 【解析】 【分析】赋值法求解二项式展开式中所有项的系数和. 【详解】令 得： ，即为展开式中所有项的系数和. 故答案为： 14. 函数 在 处的 切线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求得函数的导数，得到 且 ，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数 ，可得 ，则 且 ， 所以函数 在 处的切线方程为 ，即 ， 即切线方程为 . 故答案为： . 15. 已知某次数学期末试卷中有8 道4 选1 的单选题，学生小王能完整做对其中5 道题，在剩下 的3 道题中，有2 道题有思路，还有1 道完全没有思路，有思路的题做对的概率为 ，没有思路 的题只好从4 个选项中随机选一个答案．小王从这8 题中任选1 题，则他做对的概率为________ ___． 【答案】 ##0.84375 【解析】 【分析】合理设出事件，利用全概率公式进行求解. 【详解】设小王从这8 题中任选1 题，且作对为事件A，选到能完整做对的5 道题为事件B，选 到有思路的两道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，则 ， ， ， 由 全 概 率 公 式 可 得 ： 故答案为： 16. 己知不等式 有且只有两个整数解，则实数a 的范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】参变分离后研究函数单调性及极值，结合与 相邻的整数点的函数值大小关系求出实 数a 的范围. 【详解】 整理为： ，即函数 在 上方及线上存在 两个整数点， ，故显然 在 上单调递增，在 上单调递减， 且与 相邻的整数点的函数值为： ， ， ， ，显然有 ，要恰有两个整数点，则为0 和1，此时 ，解得： ，如图 故答案为： 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知 的展开式中前三项的二项式系数之和为46， （1）求n； （2）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）9（2） 【解析】 【分析】（1）根据要求列出方程，求出 的值；（2）求出二项式展开式的通项，列出不等式 组，求出 的取值范围，从而求出 ，得到系数最大项. 【小问1 详解】 由题意得： ，解得： 或 ，因为 ，所以 （舍去），从而 【小问2 详解】 二项式的展开式通项为： ，则系数为 ，要求其最大值，则只要 满足 ，即 ，解得： ，因为 ，所以 ，所以系数最大项为 18. 甲、乙等6 个班级参加学校组织的广播操比赛，若采用抽签的方式随机确定各班级的出场顺 序（序号为1，2，…，6），求： （1）甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率； （2）甲、乙两班级之间的 演出班级（不含甲乙）个数X 的分布列与期望． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 4 p 期望为 . 【解析】 【分析】（1）求出甲、乙两班级的出场序号中均为偶数的概率，进而求出答案；（2）求出X 的可能取值及相应的概率，写出分布列，求出期望值. 【小问1 详解】 由题意得：甲、乙两班级的出场序号中均为偶数的概率为 ，故甲、乙两班级的出场 序号中至少有一个为奇数的概率 ； 【小问2 详解】 X 的可能取值为0,1,2,3,4 ， ， ， ， 故分布列为： X 0 1 2 3 4 p 数学期望为 19. 己知函数 ． （1）若 在 上不单调，求a 的范围； （2）试讨论函数 的零点个数． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由：存在 使 来求得 的取值范围. （2）利用分离常数法，结合导数来求得零点个数. 【小问1 详解】 ， 在 上递增， 由于 在 上不单调， 所以存在 使 ， ，所以 . 【小问2 详解】 ， 令 ， 当 时， ， 构造函数 ， ， 所以在 递减；在 递增， 当 时， ；当 时， ； . 由此画出 的大致图象如下图所示， 所以，当 时， 有个零点， 当 时， 没有零点， 当 时， 有 个零点. 20. 己知函数 ． （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）当 时，若关于x 的不等式 恒成立，试求a 的取值范围． 【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求得 的单调区间. （2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得 的取值范围. 【小问1 详解】 当 时， ， ， 所以 在区间 递减；在区间 递增. 所以 的减区间为 ，增区间为 . 【小问2 详解】 ， 恒成立. 构造函数 ， ， ， 构造函数 ， ， 所以 在 上递增， ， 所以 在 上成立， 所以 ， 所以 ，即 的取值范围是 . 21. 已知数列 满足 ． （1）求 ； （2）若 ，且数列 的前n 项和为 ，求证： ． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求得 ，猜想 ，然后利用数学归纳法进行证明. （2）利用放缩法证得结论成立. 【小问1 详解】 依题意 ， ， ， ， 猜想 ，下面用数学归纳法进行证明： 当 时，结论成立， 假设当 时结论成立，即 ， 由 ， ， 所以当 时，有 ，结论成立， 所以当 时， . 【小问2 详解】 由（1）得 ，且 为单调递增数列， 所以 . 所以 . 22. 设函数 ， （1）求 的最大值； （2）求证：对于任意 恒成立．（参考数值： ） 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出 ，讨论其导数后可得原函数的单调性，从而可得函数的最大值. （2）先证明任意的 ，总有 ，再利用放缩法和换元法将不等式 成立问题转化为任意 恒成立，后者 可利用导数证明. 【小问1 详解】 ， 当 时， ；当 时， ， 故 在 上为增函数，在 上为减函数， 故 . 【小问2 详解】 因为 ，故当 时， ， 即 ， 而 在 为减函数， 故在 上有 ， 故任意的 ，总有 . 要证任意 恒成立， 即证：任意 恒成立， 即证：任意 恒成立， 由（1）可得，任意 ，有 即 ， 故即证：任意 恒成立， 设 ，即证：任意 恒成立， 即证：任意 恒成立， 即证：任意 恒成立， 即证：任意 恒成立， 设 ， 则 ，而 在 为增函数， ，故存在 ，使得 ， 且 时， ， 时， ， 故 在 为减函数，在 为增函数， 故任意 ，总有 ， 故任意 恒成立， 所以任意 恒成立. 【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，可结合不等式的形式将其转化为若干段上的不等式的恒 成立，在每段上可采用不同的方式（导数、放缩法等）进行处理.