1 射影定理定义 ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 2 如图在Rt△B 中，∠B＝90°，D 是斜边B 上的高，有射影定理如下： R 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！ 【例1】．在矩形BD 中，BE⊥交D 于点E，G 为垂足．若G＝D＝1，则的长是 ． 模型介绍 例题精讲 ①D2＝BD•D； ②B2＝BD•B； 2＝D•B． 解：∵四边形BD 是矩形，∴B＝D＝1，∠B＝90°， ∵BE⊥，∴∠GB＝90°＝∠B， ∵∠BG＝∠B，∴△BG∽△B，∴ ＝ ，∴G•＝B2（射影定理）， 即（﹣1）•＝12， 解得：＝ 或＝ （不合题意舍去），即的长为 ， 故答为： ． 【例2】．如图：二次函数y＝x2+bx+2 的图象与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，若 ⊥B，则的值为（ B．﹣ ．﹣1 D．﹣2 解：设（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），（0，t）， ∵二次函数y＝x2+bx+2 的图象过点（0，t）， ∴t＝2； ∵⊥B， ∴2＝•B（射影定理），即4＝|x1x2|＝﹣x1x2， 根据韦达定理知x1x2＝ ，∴＝﹣ ． 故选：． 【例3】．将 沿弦B 折叠，交直径B 于点D，若D＝4，DB＝5，则B 的长是（ ） ．3 B．8

1 射影定理定义 ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 2 如图在Rt△B 中，∠B＝90°，D 是斜边B 上的高，有射影定理如下： 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！ 【例1】．在矩形BD 中，BE⊥交D 于点E，G 为垂足．若G＝D＝1，则的长是 ． 模型介绍 例题精讲

1 射影定理定义 ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 2 如图在Rt△B 中，∠B＝90°，D 是斜边B 上的高，有射影定理如下： R 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！ 【例1】．在矩形BD 中，BE⊥交D 于点E，G 为垂足．若G＝D＝1，则的长是 ． 模型介绍 例题精讲 ①D2＝BD•D； ②B2＝BD•B； 2＝D•B． 解：∵四边形BD 是矩形，∴B＝D＝1，∠B＝90°， ∵BE⊥，∴∠GB＝90°＝∠B， ∵∠BG＝∠B，∴△BG∽△B，∴ ＝ ，∴G•＝B2（射影定理）， 即（﹣1）•＝12， 解得：＝ 或＝ （不合题意舍去），即的长为 ， 故答为： ． 【例2】．如图：二次函数y＝x2+bx+2 的图象与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，若 ⊥B，则的值为（ B．﹣ ．﹣1 D．﹣2 解：设（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），（0，t）， ∵二次函数y＝x2+bx+2 的图象过点（0，t）， ∴t＝2； ∵⊥B， ∴2＝•B（射影定理），即4＝|x1x2|＝﹣x1x2， 根据韦达定理知x1x2＝ ，∴＝﹣ ． 故选：． 【例3】．将 沿弦B 折叠，交直径B 于点D，若D＝4，DB＝5，则B 的长是（ ） ．3 B．8

1 射影定理定义 ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 2 如图在Rt△B 中，∠B＝90°，D 是斜边B 上的高，有射影定理如下： 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！ 【例1】．在矩形BD 中，BE⊥交D 于点E，G 为垂足．若G＝D＝1，则的长是 ． 模型介绍 例题精讲

相似形 模型（四十一）——射影定理模型 ◎结论：如图，∠B＝90º，D⊥B，则： 1．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在 中， ， 于点D，下列结论错误的有 （ ）个 ①图中只有两对相似三角形；② ；③若 ，D＝8，则D＝4． 公共边2＝共线边乘积 D²＝D·DB 欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． (1)请证明“射影定理”中的结论③ ． (2)【结论运用】如图2，正方形 的边长为6，点是对角线 、 的交点，点E 在 上，过点作 ， 垂足为F，连接 ． ①求证： ． ②若 ，求 的长． 【答】(1)见解析； (2)①见解析；② ． 【分析】（1）由证明 ，再由相似三角形对应边称比例得到 ，继而解题； （2）①由“射影定理”分别解得 相似证明2 ＝D•B，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． （2）结论运用：如图2，正方形BD 的边长为6，点是对角线，BD 的交点，点E 在D 上，过点作F⊥BE，垂足为 F，连接F，试利用射影定理证明 ． 【答】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）由证明 ，再结合相似三角形对应边成比例即可解题； （2）根据正方形的性质及射影定理解得B2＝B•BD，B2＝BF•BE，再运用SS

相似形 模型（四十一）——射影定理模型 ◎结论：如图，∠B＝90º，D⊥B，则： 1．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在 中， ， 于点D，下列结论错误的有 （ ）个 ①图中只有两对相似三角形；② ；③若 ，D＝8，则D＝4． 公共边2＝共线边乘积 D²＝D·DB 欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． (1)请证明“射影定理”中的结论③ ． (2)【结论运用】如图2，正方形 的边长为6，点是对角线 、 的交点，点E 在 上，过点作 ， 垂足为F，连接 ． ①求证： ． ②若 ，求 的长． 1．（1）问题情境：如图1，Rt 中，∠B＝90°，D⊥B，我们可以利用 与 相似证明2 ＝D•B，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． 上，过点作F⊥BE，垂足为 F，连接F，试利用射影定理证明 ． 2．如图所示，△B 被平行光线照射，D B ⊥ 于D，B 在投影面上． (1)指出图中的投影是什么？D 与B 的投影呢？ (2)探究：当△B 为直角三角形( B ∠＝90°)时，易得2＝D·B，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在 斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论．

-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全 等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型） 模型1、平分平行（射影）构等腰 的角平分线，DE B ∥ 。结论：△BDE 是等腰三角形。 条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点作 的平行线与 ， 分别相 交于点M，．结论：△BM、△都是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． F A B C D E → × × ○ ○ × 图4 条件：如图4，BE 平分∠B，∠B＝∠D＝90° 结论：三角形EF 是等腰三角形。 于点D， 的平 分线BE 交D 于F，交于E，若 ， ，则 _____________． 【答】5 【详解】由角度分析易知 ，即 ， ∵ ∴ ∵ ∴ 【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型． 例5．（2023 山东八年级期末）如图①，△B 中，B=，∠B、∠的平分线交于点，过点作EF∥B 交B、于E、 F(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF 与BE、F

-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全 等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型） 模型1、平分平行（射影）构等腰 的角平分线，DE B ∥ 。结论：△BDE 是等腰三角形。 条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点作 的平行线与 ， 分别相 交于点M，．结论：△BM、△都是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． F A B C D E → × × ○ ○ × 图4 条件：如图4，BE 平分∠B，∠B＝∠D＝90° 结论：三角形EF 是等腰三角形。

专题07 三角形中的重要模型之 平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全 等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 .......................................................................................2 模型1 平分平行（射影）构等腰模型............................................................................................. ......................15 模型1 平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造 等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以 后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．

专题07 三角形中的重要模型之 平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全 等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 .......................................................................................2 模型1 平分平行（射影）构等腰模型............................................................................................. ......................15 模型1 平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造 等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以 后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．