模型06 射影定理模型（原卷版）(1)

1 射影定理定义 ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 2 如图在Rt△B 中，∠B＝90°，D 是斜边B 上的高，有射影定理如下： 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！ 【例1】．在矩形BD 中，BE⊥交D 于点E，G 为垂足．若G＝D＝1，则的长是 ． 模型介绍 例题精讲 ①D2＝BD•D； ②B2＝BD•B； 2＝D•B． 【例2】．如图：二次函数y＝x2+bx+2 的图象与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，若 ⊥B，则的值为（ ） ．﹣ B．﹣ ．﹣1 D．﹣2 【例3】．将 沿弦B 折叠，交直径B 于点D，若D＝4，DB＝5，则B 的长是（ ） ．3 B．8 ． D．2 变式训练 【变式1】．如图，在△B 中，若B＝，B＝2BD＝6，DE⊥，则•E 的值是 ． 【变式2】．如图所示，在矩形BD 中，E⊥BD 于点E，对角线，BD 交于，且BE：ED＝ 1：3，D＝6m，则E＝ m． 【变式3】．如图，若抛物线y＝x2+bx+（≠0）与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，若∠ ＝∠B．则的值为（ ） ．﹣1 B．﹣2 ． D． 【变式4】．如图，正方形BD 中，E 为B 上一点，F⊥DE 于点F，已知DF＝5EF＝5，过、 D、F 的⊙与边D 交于点G，则DG＝____________ 【变式5】．如图，在△B 中，以边为直径的⊙交B 于点D，过点B 作BG⊥交⊙于点E、， 连D、ED、E．若BD＝8，D＝6，则E 的长为 ． 【变式6】．如图，四边形BD 是平行四边形，过点作E⊥B 交B 于点E，点F 在B 的延长 线上，且F＝BE，连接DF． （1）求证：四边形EFD 是矩形； （2）连接，若∠D＝90°，E＝4，F＝2，求E 和的长． 1．如图，在矩形BD 中，DE⊥，垂足为点E．若s∠DE＝ ，D＝4，则B 的长为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 2．如图，在矩形BD 中，BD＝2 ．对角线与BD 相交于点，过点D 作的垂线，交于点 E，E＝3E．则DE2的值为（ ） ．4 B．2 ． D．4 3．如图，在正方形BD 内，以D 点为圆心，D 长为半径的弧与以B 为直径的半圆交于点 P，延长P、P 交B、B 于点M、．若B＝2，则P 等于（ ） 实战演练 ． B． ． D． 4．如图，点P 是⊙的直径B 延长线上一点，P 与⊙相切于点，D⊥B，垂足为D，连接、 B、，那么下列结论中：①P2＝P•PB；②P•＝P•D；③2＝D•P；④（P﹣D）＝ P•D，正确的结论有（ ）个． ．1 B．2 ．3 D．4 5．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，B＝＝8 ，点E 为的中点，点F 在底边B 上，且 FE⊥BE，则F 长 ． 6．如图，在矩形BD 中，点E 在边D 上，把△BE 沿直线BE 翻折，得到△GBE，BG 的延长 线交D 于点F．F 为D 的中点，连结G，若点E，G，在同一条直线上，FG＝1，则D 的长为 ， s∠DE 的值为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1 分别交x 轴，y 轴于点，B，过点B 作B⊥B 交x 轴于点，过点作D⊥B 交y 轴于点D，过点D 作DE⊥D 交x 轴于点E，过点E 作 EF⊥DE 交y 轴于点F．已知点恰好是线段E 的中点，那么线段EF 的长是 ． 8．如图，在菱形BD 中，过点D 作DE⊥D 交对角线于点E，连接BE，点P 是线段BE 上 一动点，作P 关于直线DE 的对称点P'，点Q 是上一动点，连接P'Q，DQ．若E＝14， E＝18，则DQ﹣P'Q 的最大值为 ． 9．在矩形BD 中，点E 为射线B 上一动点，连接E． （1）当点E 在B 边上时，将△BE 沿E 翻折，使点B 恰好落在对角线BD 上点F 处，E 交 BD 于点G． ①如图1，若B＝ B，求∠FD 的度数； ②如图2，当B＝4，且EF＝E 时，求B 的长． （2）在②所得矩形BD 中，将矩形BD 沿E 进行翻折，点的对应点为'，当点E，'，D 三点共线时，求BE 的长． 10．如图，已知⊙的半径为2，B 为直径，D 为弦，B 与D 交于点M，将弧D 沿着D 翻折后， 点与圆心重合，延长至P，使P＝，连接P． （1）求证：P 是⊙的切线； （2）点G 为弧DB 的中点，在P 延长线上有一动点Q，连接QG 交B 于点E，交弧B 于 点F（F 与B、不重合）．问GE▪GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请 说明理由． 11．如图1，在正方形BD 中，点E 是B 边上的一个动点（点E 与点，B 不重合），连接 E，过点B 作BF⊥E 于点G，交D 于点F． （1）求证：△BF≌△BE； （2）如图2，当点E 运动到B 中点时，连接DG，求证：D＝DG； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作M⊥DG 于点，分别交D，BF 于点M，，求 的值． 12．在平面直角坐标系中，已知（﹣4，0），B（1，0），且以B 为直径的圆交y 轴的正半 轴于点（0，2），过点作圆的切线交x 轴于点D． （1）求过，B，三点的抛物线的解析式； （2）求点D 的坐标； （3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E，F 两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆， 恰好与x 轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．