题型04 函数图象问题解题技巧 （奇偶性+特值法+极限法） 技法01 已知函数解析式判断函数图象解题技巧 知识迁移 1. 函数的奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：f (−x )=−f ( x)，图象关于原点对称，偶函数：f (−x )=f (x ) ，图象关于y 轴对称 ③奇偶性的运算 2. 特值与极限 ①√2=1.414, √3=1 45, √7=2.646 技法01 已知函数解析式判断函数图象解题技巧 技法02 已知函数图象判断函数解析式解题技巧 本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，结合奇偶性的判断，特值的 辅助，极限思想的应用可以快速求解，所以几类特值需重点掌握. ②e=2.71828, e2=7.39, e 1 2=√e=1.65 ③ln1=0, ln2=0.69, ln3=1 x=1 cos0.1=0.995≈1, cos(−0.2)=0.980≈1 例1-1．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 令 ，由奇偶性定义知 为奇函数，排除BD； 【法一】特值 f (0.1)=(30.1−3−0.1)cos0.1≈(30.1−3−0.1)×0.995>0，故选：A. 【法二】极限法 当x→0+ 时cos

题型04 函数图象问题解题技巧 （奇偶性+特值法+极限法） 技法01 已知函数解析式判断函数图象解题技巧 知识迁移 1. 函数的奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：f (−x )=−f ( x)，图象关于原点对称，偶函数：f (−x )=f (x ) ，图象关于y 轴对称 ③奇偶性的运算 2. 特值与极限 ①√2=1.414, √3=1 45, √7=2.646 技法01 已知函数解析式判断函数图象解题技巧 技法02 已知函数图象判断函数解析式解题技巧 本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，结合奇偶性的判断，特值的 辅助，极限思想的应用可以快速求解，所以几类特值需重点掌握. ②e=2.71828, e2=7.39, e 1 2=√e=1.65 ③ln1=0, ln2=0.69, ln3=1 x=1 cos0.1=0.995≈1, cos(−0.2)=0.980≈1 例1-1．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 令 ，由奇偶性定义知 为奇函数，排除BD； 【法一】特值 f (0.1)=(30.1−3−0.1)cos0.1≈(30.1−3−0.1)×0.995>0，故选：A. 【法二】极限法 当x→0+ 时cos

题型02 函数的4 大基本性质解题技巧 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 知识迁移 1. 同一定义域内 ①增函数（↗）+ 增函数（↗）=增函数↗ ②减函数（↘）+ 减函数（↘）=减函数↘ ③f ( x)为↗，则−f ( x)为↘， 1 f ( x) 为↘ ④增函数（↗）−减函数（↘）=增函数↗ ⑤减函数（↘）−增函数（↗）=减函数↘ ⑤减函数（↘）−增函数（↗）=减函数↘ ⑥增函数（↗）+ 减函数（↘）=未知（导数） 2. 复合函数的单调性 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧 技法03 函数周期性的应用及解题技巧 技法04 函数对称性的应用及解题技巧 技法05 函数4 大性质的综合应用及解题技巧 在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合 1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数 ，则（ ） A． 是偶函数且是增函数 B． 是偶函数且是减函数 C． 是奇函数且是增函数 D． 是奇函数且是减函数 【答案】C 【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答. 【详解】函数 的定义域为R， ，即函数 是奇函 数，AB 错误， 因为函数 在R 上递增，则函数 在R 上递减，所以函数 是增函数，D 错误，C 正确. 故选：C

题型02 函数的4 大基本性质解题技巧 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 知识迁移 1. 同一定义域内 ①增函数（↗）+ 增函数（↗）=增函数↗ ②减函数（↘）+ 减函数（↘）=减函数↘ ③f ( x)为↗，则−f ( x)为↘， 1 f ( x) 为↘ ④增函数（↗）−减函数（↘）=增函数↗ ⑤减函数（↘）−增函数（↗）=减函数↘ ⑤减函数（↘）−增函数（↗）=减函数↘ ⑥增函数（↗）+ 减函数（↘）=未知（导数） 2. 复合函数的单调性 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧 技法03 函数周期性的应用及解题技巧 技法04 函数对称性的应用及解题技巧 技法05 函数4 大性质的综合应用及解题技巧 在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合 B． C． D． 技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧 知识迁移 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：f (−x )=−f ( x)，图象关于原点对称，偶函数：f (−x )=f (x ) ，图象关于y 轴对称 ③奇偶性的运算 纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则 可提升解题速度，做到快速求解

（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 技法04 奇偶并项的应用及解题技巧 技法04 奇偶并项的应用及解题技巧 例4-1．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ， 的前n 项和， ， ． (1)求 的通项公式； (2)证明：当 时， ． （1） . （2）方法1：由（1）知， ， ， 当 为偶数时， ， ， 当 时， ，因此 ， 当 为奇数时， ， 当 时， ，因此 ， 所以当 时， . 有关数列奇偶项的问题是 下·山东·高二校联考阶段练习）在数列 中， ， ，则 ； 的前40 项和为 . 【答案】 0 420 【分析】由 和递推式求出 ，再可求出 ，再对 分别取奇偶数，得到两组等式，利用累加法可求出 的前40 项和 【详解】因为 ， ，所以 ，得 ， 所以 ，所以 ， 因为 ， 所以 ， ， ，……， ， ，① 所以 ，② 因为 ， ， ，……，

题型17 手把手教学答题模板之5 类数列求和 （分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） （2） . 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 技法04 奇偶并项的应用及解题技巧 技法05 周期与类周期的综合应用及解题技巧 分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差+等比，此类题型较简单，利用公式求和即可，也是高考中 的常考考点，需强加练习 所以 的前 项和 . 1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列 是首项为1，公差为d 的等差数列，且 ， ， 是等 和 的前n 项和．证明： ． 5．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ． (1)求证：数列 为等比数列，并求 的通项公式； (2)设 ，求 的前 项和． 技法04 奇偶并项的应用及解题技巧 有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首 项、项数、公差(比)等。这类题目对大部分学生来说难度较大，需强化练习 例4-1．（2023·全国·统考高考真题）已知

“奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 技法02 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧 在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数 的奇偶性，则最大值+最小值可秒解. 为偶函数 （2）与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（ 且 ）为奇函数， ，（ 且 ）为奇函数 例1-1．（2023 上·江苏·高三模拟）已知 分别是函数 + +1 ， ，则 ， 所以 是奇函数，所以 ，所以 ． 故答案为：. 2．（2023 上·重庆校考）函数 ，当 时 的最大值为M，最小值为 N，则 ． 【答案】 【分析】求出 的奇偶性即可得出 的值. 【详解】由题意， 在 中， ， 函数是奇函数， ， 在 中， 当 时 的最大值为M，最小值为N， 故答案为： . 3．（2023 上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考阶段练习）设函数 故答案为：4046. 5．（2023·全国·高三专题练习）若关于x 的函数 的最大值和最小值之 和为4，则 ． 【答案】2 【分析】根据三角恒等变换和分类常量法可得 ，由函数的奇偶性可知 为奇函数，则 ，进而 ，即可求解. 【详解】当 时， ，当 或 时， ， 所以 的定义域为 . 又 ， 设 ，则 ，∴g(x)为奇函数；设g(x)的最大数值为M，最小值为 N，

【解析】 【分析】由奇偶性可将所求不等式化为 ；利用奇偶性可判断出 单调性和 ，分别在 和 的情况下，利用 单调性解得结果. 【详解】 为奇函数， ； 又 在 上单调递增， ， 在 上单调递增， ； ，即 ； 当 时， ， ；当 时， ， ； 的 解集为 或 . 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题 中，奇偶性和单调性的作用如下： 中，奇偶性和单调性的作用如下： （1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性； （2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 在同一直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（） A. B. C. D 综上所述，选项B、D 符合要求. 故选：BD. 10. 下列函数中，在定义域上既是偶函数，又在 上单调递增的是（） A. B. C. D. 【10 题答案】 【答案】AC 【解析】 【分析】利用奇偶性定义和函数单调性的知识依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于A， ， 为定义在 上的 偶函数； 又当 时， ，则 在 上单调递增，A 正确； 对于B，由对勾函数性质可知： 在 上单调递减，B

中 函数奇偶性与单调性 5 中 分段函数 6 中 比较大小 7 中 三角恒等变换 8 中 函数的应用 二、多选题 9 易 不等式性质 10 中 三角函数的图象与性质 11 难 函数性质 12 难 创新题 三、填空题 13 易 任意角三角函数定义、和差角公式 14 易 同角三角函数基本关系、三角恒等变换 15 中 指数式、对数式运算 双空题 16 难 函数奇偶性、恒成立问题 函数奇偶性、恒成立问题 四、解答题 17 易 集合的基本运算 18 中 三角函数综合 19 中 解对数不等式，恒成立求参数 20 中 函数零点问题，借助单调性求参数 21 中 函数的奇偶性，构造函数求最值 22 难 抽象函数综合 （北京）股份有限公司

． 五、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分） 17. 已知角终边与单位圆交于点 ． 求 的值； 若 ，求 的值． 18. 已知函数 ． Ⅰ判断 的奇偶性； Ⅱ若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围． 已知函数 的部分图象如图所示． 求函数 的解析式，并写出其单调增区间； 在 中，内角，，的对边分别为，，，若 ，且，是方程 的两个实数根，试求 本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系，和差角公式在三角化简中的应用，属于中档 题． 7.【答案】 【解析】解：若函数为偶函数， 则对 ， 都成立， 即对 ， 都成立， 故选：． 根据函数奇偶性的定义即可得到结论． 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．比较基础． 8.【答案】 【解析】解：对于， ，所以 的最大值为 ， 当 时， ，取得最大值， 所以 的最大值为 ，故A 错误； 在 上为增函数， 又 为奇函数，所以 函数 在 上为增函数， 由 ，得 ， 所以 ，所以 ， 解得 或 ， 故答案为： ． 先判断函数 的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，可得 ，求解 可得实数的取值范围． 本题考查函数的奇偶性的判断，以及利用单调性求不等式的解集，属中档题． 16.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，属于拔高题． 利用基本不等式可知