圆 模型（三十八）——垂径定理模型 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ◎结论：如图，D 是直径，D⊥B，则①M＝MB，② ＝ 垂径定理中的五元素： ①过圆心;②垂直弦;③平分弦（不是直径）;④平分优弧;⑤平分劣弧 知二推三：这五个元素中，知道任意两个，可得其它三个 【注意】平分弦（不是直径）的原因：任意两条直径互相平分，但无法推出垂直, ．4 D．6 【答】 【分析】根据垂径定理可知B 垂直平分D，连接，根据勾股定理即可求出半径，最后求出直径即可． 【详解】解：如图，连接， ∵B 为⊙的直径，B⊥D， ∴ ， 设⊙的半径为r， ∵点P 为B 中点， ∴ ， 在 种，由勾股定理可得： ， 即： ，解得：r= 或：r= （舍）， ∴直径为 ． 故选∶． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”并构建直角三角形求解是解 B．3 ．4 D．5 【答】D 【分析】根据垂径定理可得 ,再利用勾股定理直接求得 的长，即可得出答． 【详解】解：设 半径为， ， ， 根据垂径定理得： ， ， 在 中， ， ， ， 解得 ， 即 的半径为5． 故答为：D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解决本题的关键是熟练运用垂径定理得出结论，列式计算． 3．（2022·湖南·

圆 模型（三十八）——垂径定理模型 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ◎结论：如图，D 是直径，D⊥B，则①M＝MB，② ＝ 垂径定理中的五元素： ①过圆心;②垂直弦;③平分弦（不是直径）;④平分优弧;⑤平分劣弧 知二推三：这五个元素中，知道任意两个，可得其它三个 【注意】平分弦（不是直径）的原因：任意两条直径互相平分，但无法推出垂直,

专题243 垂径定理【十大题型】 【人版】 【题型1 利用垂径定理求线段长度】.....................................................................................................................1 【题型2 利用垂径定理求角度】...................... .................5 【题型3 利用垂径定理求最值】.............................................................................................................................9 【题型4 利用垂径定理求取值范围】.................... ................ 13 【题型5 利用垂径定理求整点】...........................................................................................................................18 【题型6 利用垂径定理求面积】......................

专题243 垂径定理【十大题型】 【人版】 【题型1 利用垂径定理求线段长度】.....................................................................................................................1 【题型2 利用垂径定理求角度】...................... .................5 【题型3 利用垂径定理求最值】.............................................................................................................................9 【题型4 利用垂径定理求取值范围】.................... ................ 13 【题型5 利用垂径定理求整点】...........................................................................................................................18 【题型6 利用垂径定理求面积】......................

重难点12 与圆有关的6 种模型 （四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理） 目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 5+❑ √3 【分析】（1）延长D，B 交于点，由“S”可证△ADE≌△AHE，可得AH=AD，由平行得相似，依据相 似的性质即可求解； （2）先证明，D，，E 四点共圆，因为F 是中点，依据垂径定理，得到DF 是的中垂线，依据线段的垂直 平分线的性质可求得D 的长度，作AH ⊥CD于，可证四边形B 是矩形，依据矩形的性质，结合线段长度， 可得AH是CD的中垂线，由此可得的长度，在三角形B B 2= ❑ √2 2−1 2=❑ √3， ∴四边形BD 的周长为2+2+1+❑ √3=5+❑ √3． 故答为：（1）2；（2）5+❑ √3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理，线段的垂直平分线的性质，矩形的判定和性质等 知识，解题的关键是作辅助线，构造中垂线、相似三角形、直角三角形，建立未知线段与已知线段之间等 量的关系． 4．（2021 上·山东烟台·九年级

重难点突破12 与圆有关的6 种模型 （四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理）目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 (1)补充完成上面的证明过程； (2)如图③，割线PDE 与⊙交于D、E，且PB＝B＝4，PE＝7，求DE 的长． 题型03 垂径定理 如图，可得①B 过圆心 ②B D E=DE ⊥ ③ ④AC ⏜ =AD ⏜⑤BC ⏜ =BD ⏜ A E D O B C 【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的 弦不是直径）（4）平分弦所对

结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：B2+D2＝D2+B2 【证明】∵⊥BD， ∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得： B2+D2＝2+B2+2+D2， D2+B2＝2+D2+B2+2，∴B2+D2＝D2+B2 方法点拨 ①对角线垂直的四边形对边的平方和相等； ②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形 模型介绍 【例1】．如图，在四边形BD ＝DE2+B2+EP2+P2 ＝PB2+PD2， ∴P2+P2＝PB2+PD2， 2 ∴2+42＝32+PD2， ∴PD＝ ． 故答为 ． 变式训练 【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形BD，对角线、BD 交于点．若D＝ ，B＝3 ，则B2+D2＝ 23 ． 解：∵⊥BD， ∴∠B＝∠D＝∠D＝∠B＝90°， ∴B2+2＝B2，2 ∴P＝D﹣PD＝1， ∴PE＝ ＝ ， ∵点G，分别是E，FD 的中点， ∴G＝ EP＝ ． 5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形 吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形BD 的对角线，BD 交于点．猜想：B2+D2与D2+B2 有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以Rt△B

结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：B2+D2＝D2+B2 【证明】∵⊥BD， ∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得： B2+D2＝2+B2+2+D2， D2+B2＝2+D2+B2+2，∴B2+D2＝D2+B2 方法点拨 ①对角线垂直的四边形对边的平方和相等； ②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形 模型介绍 【例1】．如图，在四边形BD ＝DE2+B2+EP2+P2 ＝PB2+PD2， ∴P2+P2＝PB2+PD2， 2 ∴2+42＝32+PD2， ∴PD＝ ． 故答为 ． 变式训练 【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形BD，对角线、BD 交于点．若D＝ ，B＝3 ，则B2+D2＝ 23 ． 解：∵⊥BD， ∴∠B＝∠D＝∠D＝∠B＝90°， ∴B2+2＝B2，2 ∴P＝D﹣PD＝1， ∴PE＝ ＝ ， ∵点G，分别是E，FD 的中点， ∴G＝ EP＝ ． 5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形 吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形BD 的对角线，BD 交于点．猜想：B2+D2与D2+B2 有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以Rt△B

勾股定理 模型（二十八）——垂美四边形模型 【概念】 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 【结论】如图，四边形BD 的对角线⊥BD， 则①B²＋D²＝D²＋B2 S ② 四BD＝ 1 2 ·BD 【证明】 B² ①∵ ＝²＋b2² D²＝²＋d2² B² ∴ ＋D²＝²＋b²＋²＋d2² B² ∵ ＝2＋ d2² D²＝ b²＋2² 1．（2022·山西忻州·八年级期末）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形， 在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号） （2）【概念理解】如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形吗？请说明理由． （3）【性质探究】如图1，垂美四边形BD 的两对角线交于点，试探究B，D，B，D 之间有怎样的数量关系？写 【分析】（1）根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可； （2）根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可； （3）根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答； （4）证明△GB △ ≌E，进而得出E⊥BG，根据（3）的结论计算即可． 【详解】解：（1）∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱 形，④正方形， ∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形， 故答为：③④；

结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：B2+D2＝D2+B2 【证明】∵⊥BD， ∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得： B2+D2＝2+B2+2+D2， D2+B2＝2+D2+B2+2，∴B2+D2＝D2+B2 方法点拨 ①对角线垂直的四边形对边的平方和相等； ②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形 模型介绍 【例1】．如图，在四边形BD D2的值． 【例2】．已知点P 是矩形BD 内的一点，且P＝2，PB＝3，P＝4，则PD＝ ． 例题精讲 变式训练 【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形BD，对角线、BD 交于点．若D＝ ，B＝3 ，则B2+D2＝ ． 【变式2-2】．如图，在△B 中，＝3，B＝4，若，B 边上的中线BE，D 垂直相交于点，则 的中点，连接E，FD，点 G、分别是E，FD 的中点，连接G，则G 的长度为 ． 5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形 吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形BD 的对角线，BD 交于点．猜想：B2+D2与D2+B2 有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以Rt△B