倍半角模型知识精讲 一、二倍角模型处理方法 1 作二倍角的平分线，构成等腰三角形 例：如图，在△B 中，∠B＝2∠，作∠B 的平分线交于点D，则∠DB＝∠，DB＝D，即△DB 是 等腰三角形 2 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形 例：如图，在△B 中，∠B＝2∠，延长B 到点D，使得BD＝B，连接D，则△BD、△D 都是等 腰三角形 例题：如图，在△B 中，＝E，∠D＝∠ED，D＝D， ∴△D≌△ED，∴∠＝∠E ， 又∵∠DB＝∠D＝∠，∴∠E＝∠DB，∴D＝DE，∴∠B＝90º 二、倍半角综合 1 由“倍”造“半” 已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可 如图，若 ，则 （ ） 2 由“半”造“倍” 已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可 如图，在Rt△B（∠＜45º）的直角边上取点D，当BD＝D 时，则∠BD＝2∠，设 三边比为 ，若 ， 则 ； （2）如图2，Rt△B 三边比为3:4:5，Rt△BD 三边比为 ，若 ， 则 ； （3）如图3，Rt△B 三边比为3:4:5，Rt△BD 三边比为 ，若 ，则 倍半角模型巩固练习（提优） 1 如图，在正方形BD 中，点E、F 分别在B、B 上，且∠FDE＝45º，连接DE、DF、 EF，试探究EF、F、E 之间的数量关系 【解答】EF＝F＋E，证明见解析

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D，E 在B 上，且∠DE=45°，则：BD2+E2=DE2 图示（1） 作法1：将△BD 旋转90° 作法2：分别翻折△BD, E △ （2）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D 在B 上，点E 在B 延长线上，且∠DE=45°，则： （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理 模型介绍 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形BD 中，点E，F 分别在边B，D 上，∠EF=45°，连接EF，过点作 G⊥于EF 于点G，则：EF=BE+DF，G=D

二倍角、半角问题 一、方法突破 既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半 角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角 的方法也并不唯一，常用如下： 思路1：构造半角三角函数． tan α 2 = a b+ a2+b2 tanα= a b a2+b2 a2+b2 b a α 2 α 构造二倍角三角函数：

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D，E 在B 上，且∠DE=45°，则：BD2+E2=DE2 图示（1） 作法1：将△BD 旋转90° 作法2：分别翻折△BD, E △ （2）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D 在B 上，点E 在B 延长线上，且∠DE=45°，则： （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理 模型介绍 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形BD 中，点E，F 分别在边B，D 上，∠EF=45°，连接EF，过点作 G⊥于EF 于点G，则：EF=BE+DF，G=D

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D，E 在B 上，且∠DE=45°，则：BD2+E2=DE2 图示（1） 作法1：将△BD 旋转90° 作法2：分别翻折△BD, E △ （2）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D 在B 上，点E 在B 延长线上，且∠DE=45°，则： （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理 模型介绍 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形BD 中，点E，F 分别在边B，D 上，∠EF=45°，连接EF，过点作 G⊥于EF 于点G，则：EF=BE+DF，G=D

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D，E 在B 上，且∠DE=45°，则：BD2+E2=DE2 图示（1） 作法1：将△BD 旋转90° 作法2：分别翻折△BD, E △ （2）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D 在B 上，点E 在B 延长线上，且∠DE=45°，则： （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理 模型介绍 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形BD 中，点E，F 分别在边B，D 上，∠EF=45°，连接EF，过点作 G⊥于EF 于点G，则：EF=BE+DF，G=D

专题16 全等与相似模型-半角模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 半角模型 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与 半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半 角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形BD 是正方形，∠EF=45°； 结论：①△BE≌△ 结论：①△BE≌△DG；②△EF≌△GF；③EF＝BE＋DF；④ EF 的周长=2B； ⑤E、F 分别平分∠BEF 和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件： B 是等腰直角三角形，∠DE=45°； 结论：①△BD≌△G；②△DE≌△GE；③∠EG==90°；④DE2＝BD2＋E2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件： B 是等边三角形， BD 是等腰三角形，且BD=D，∠BD=120°，∠EDF=60°；

专题16 全等与相似模型-半角模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 半角模型 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与 半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半 角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形BD 是正方形，∠EF=45°； 结论：①△BE≌△ 结论：①△BE≌△DG；②△EF≌△GF；③EF＝BE＋DF；④ EF 的周长=2B； ⑤E、F 分别平分∠BEF 和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件： B 是等腰直角三角形，∠DE=45°； 结论：①△BD≌△G；②△DE≌△GE；③∠EG=90°；④DE2＝BD2＋E2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件： B 是等边三角形， BD 是等腰三角形，且BD=D，∠BD=120°，∠EDF=60°；

全等三角形 模型（十六）——半角模型 一：正方形中的半角模型 【条件】如图①两个角共顶点，②其中一个角（45）是另一个角（90）的一半 【结论】①EF=BE+DF ①∶延长B 至点P，使得BP=DF 连接P, 第一次全等 第二次全等 在△BP 和△DF 中 二：等腰三角形中的半角模型 【条件】 如图，△B 是等边三角形，△BD 是等腰三角形， 且∠BD=120°，∠MD=60º， 【结论】①M= BM+; ②△M 的周长等于△B 边长的 2 倍; ③MD 是∠BM 的平分线，D 是∠M 的平分线 【证明】∵△BD 是等腰三角形，且∠BD=120°， ∴∠BD=∠DB=30° 见半角，旋全角，盖半角，得半角。 △DM △DMF ∴ ≌ （SS）， M=MF=BM+, ∴ ∠F=∠MD=∠D，∠FMD=∠DM， △M ∴ 的周长是 M＋＋M=M＋MB＋＋=B＋=2 边长 三：对角互补且邻边相等的半角模型 【条件】如图，∠B＋∠D=180°，∠BD= 2∠EF，B=D， 【结论】①EF=BE+FD; ②E 是∠BEF 的平分线，F 是∠DFE 的平分线 1

全等三角形 模型（十六）——半角模型 一：正方形中的半角模型 【条件】如图①两个角共顶点，②其中一个角（45）是另一个角（90）的一半 【结论】①EF=BE+DF ①∶延长B 至点P，使得BP=DF 连接P, 第一次全等 第二次全等 在△BP 和△DF 中 二：等腰三角形中的半角模型 【条件】 如图，△B 是等边三角形，△BD 是等腰三角形， 且∠BD=120°，∠MD=60， 【结论】①M= BM+; ②△M 的周长等于△B 边长的 2 倍; ③MD 是∠BM 的平分线，D 是∠M 的平分线 【证明】∵△BD 是等腰三角形，且∠BD=120°， ∴∠BD=∠DB=30° 见半角，旋全角，盖半角，得半角。 ∵△B △DM △DMF ∴ ≌ （SS）， M=MF=BM+, ∴ ∠F=∠MD=∠D，∠FMD=∠DM， △M ∴ 的周长是 M＋＋M=M＋MB＋＋=B＋=2 边长 三：对角互补且邻边相等的半角模型 【条件】如图，∠B＋∠D=180°，∠BD= 2∠EF，B=D， 【结论】①EF=BE+FD; ②E 是∠BEF 的平分线，F 是∠DFE 的平分线 1