模型13 半角模型（解析版）

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D，E 在B 上，且∠DE=45°，则：BD2+E2=DE2 图示（1） 作法1：将△BD 旋转90° 作法2：分别翻折△BD, E △ （2）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D 在B 上，点E 在B 延长线上，且∠DE=45°，则： BD2+E2=DE2 图示（2） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理 模型介绍 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形BD 中，点E，F 分别在边B，D 上，∠EF=45°，连接EF，过点作 G⊥于EF 于点G，则：EF=BE+DF，G=D 图示（1） 作法：将△BE 绕点逆时针旋转90° （2）如图，在正方形BD 中，点E，F 分别在边B，D 的延长线上，∠EF=45°，连接EF， 则：EF=DF-BE 图示（2） 作法：将△BE 绕点逆时针旋转90° （3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形BD 中，B=D， BD+ =180° ∠ ∠ ，点E，F 分别在边B，D 上，∠EF= BD ∠ ，连接EF，则：EF=BE+DF 图示（3） 作法：将△BE 绕点逆时针旋转∠BD 的大小 【专题说明】 半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用， 掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。 【知识总结】 过等腰三角形顶点作两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称 为半角模型。 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角 形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形 全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 一、半角模型特征 1、共端点的等线段； 2、共顶点的倍半角； 二、半角模型辅助线的作法 1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转 角； 2、旋转的条件：具有公共端点的等线段； 3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 【例1】．如图，正方形BD 的边长为4，点E，F 分别在B，D 上，若E＝5，且∠EF＝ 45°，则F 的长为 ． 解：如图，延长FD 到G，使DG＝BE； 连接G、EF； ∵四边形BD 为正方形， 在△BE 与△DG 中， ， ∴△BE≌△DG（SS）， ∴G＝E，∠DG＝∠BE， ∴∠GF＝45°， 在△GF 与△EF 中， ， ∴△GF≌△EF（SS）， ∴GF＝EF， ∵E＝5，B＝4， ∴BE＝3， ∴E＝1， 设F＝x，则DF＝4﹣x，GF＝3+（4﹣x）＝7﹣x， 例题精讲 ∴EF＝ ＝ ， ∴（7﹣x）2＝1+x2， ∴x＝ ， 即F＝ ， ∴DF＝4﹣ ＝ ， ∴F＝ ＝ ＝ ， 故答为： ． 变式训练 【变式1-1】．如图四边形BD 中，D∥B，∠BD＝90°，B＝B+D，∠D＝45°，E 为D 上一点， 且∠BE＝45°．若D＝4，则△BE 的面积为（ ） ． B． ． D． 解法一：作F⊥B 交B 的延长线于F，在F 的延长线上取一点G，使得FG＝DE． ∵D∥B， ∴∠BD+∠D＝180°， ∴∠D＝∠BD＝∠F＝90°， ∴四边形DF 是矩形， ∵∠D＝45°， ∴D＝D， ∴四边形DF 是正方形， ∴F＝D，∠FG＝∠DE＝90°， ∴△FG≌△DE， ∴G＝E，∠FG＝∠DE， ∴∠FG+∠FB＝∠ED+∠FB＝45°＝∠BE， ∴△BE≌△BG， ∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE， 设B＝，则B＝4+，BF＝4﹣， 在Rt△BF 中，42+（4﹣）2＝（4+）2，解得＝1， ∴B＝1，BF＝3，设BE＝b，则DE＝b 3 ﹣，E＝4﹣（b 3 ﹣）＝7﹣b． 在Rt△BE 中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝ ， ∴BG＝BE＝ ， ∴S△BE＝S△BG＝ × ×4＝ ． 【变式1-2】．如图，△B 是边长为5 的等边三角形，△BD 是等腰三角形，且∠BD＝120°， 以点D 为顶点作一个60°的角，使其两边分别交B、于点M、，则△M 的周长为 10 ． 解：∵△BD 是等腰三角形，且∠BD＝120°， ∴∠BD＝∠DB＝30°， ∵△B 是边长为3 的等边三角形， ∴∠B＝∠B＝∠B＝60°， ∴∠DB＝∠D＝90°， 延长B 至F，使BF＝，连接DF， 在△BDF 和△D 中， ， ∴△BDF≌△D（SS）， ∴∠BDF＝∠D，DF＝D， ∵∠MD＝60°， ∴∠BDM+∠D＝60°， ∴∠BDM+∠BDF＝60°， 在△DM 和△DMF 中， ， ∴△DM≌△DMF（SS） ∴M＝MF， ∴△M 的周长是：M++M＝M+MB+BF+＝B+＝5+5＝10． 故答为：10． 【变式1-3】．如图，在正方形BD 中，点是对角线BD 的中点，点P 在线段D 上，连接P 并延长交D 于点E，过点P 作PF⊥P 交B 于点F，连接F、EF，F 交BD 于G，现有以 下结论： ①P＝PF； ②BG2+DP2＝GP2； ③PB﹣PD＝ BF； ④S 四边形PEFG＝S△PG． 以上结论正确的有 ①②④ （填入正确的序号即可）． 解：①如图1，取F 的中点T，连接PT，BT， ∵P⊥PF，四边形BD 是正方形， ∴∠BF＝∠PF＝90°，∠BD＝∠BD＝45°， ∵T＝TF， ∴BT＝T＝TF＝PT， ∴，B，F，P 四点共圆， ∴∠PF＝∠PBF＝45°， ∴∠PF＝∠PF＝45°， ∴P＝PF，故①正确， ②如图2，将△DE 绕点顺时针旋转90°得到△BM，过点B 作B⊥BD，交M 于，连接G， ∵∠DE＝∠BM＝90°，∠B＝90°， ∴∠B+∠BM＝180°， ∴，B，M 共线， ∵∠EF＝45°，∠DB＝90°， ∴∠DE+∠BF＝45°， ∵∠DE＝∠BM， ∴∠BM+∠BF＝45°＝∠EF， ∵∠GB＝90°，∠BD＝45°， ∴∠B＝45°＝∠DP， ∵B＝D，∠DP＝∠B， ∴△DP≌△B（S）， ∴P＝， ∵G＝G， ∴△GP≌△G（SS）， ∴PG＝G， ∵∠BG＝90°， ∴B2+BG2＝G2， ∴BG2+PD2＝GP2，故②正确； ③如图3，连接P，过点P 作PQ⊥F 于Q，过点P 作P⊥D 于，则四边形PQ 是矩形， 在△PB 和PB 中， ， ∴△PB≌△PB（SS）， ∴P＝P， ∵PF＝P， ∴PF＝P， ∵PQ⊥F， ∴FQ＝Q， ∵PB＝ BQ，PD＝ P＝ Q＝ FQ， ∴PB﹣PD＝ （BQ﹣FQ）＝ BF，故③不正确； ④如图2，∵∠BF+∠PF＝180° ∴，B，F，P 四点共圆， ∴∠PG＝∠FB， ∵△FE≌△FM， ∴∠FE＝∠FB， ∴∠PG＝∠FE， ∵∠PG＝∠EF， ∴△PG∽△FE， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴S 四边形PEFG＝S△PG，故④正确， 故答为：①②④． 【例2】．如图，△EF 中∠EF＝45°，G⊥EF 于G，且GF＝2，GE＝3，求S△EF． 解：如图，将△EG 沿E 折叠得到△EB，将△FG 沿F 折叠得到△FD，延长BE 和DF 相交 于点． ∴D＝G＝B，∠D＝∠GF＝90°，∠B＝∠GE＝90°，∠DF＝∠GF，∠BE＝∠GE， ∵∠EF＝45°＝∠FG+∠GE， ∴∠DF+∠BE＝45°， ∴∠DB＝45°+45°＝90°， 即∠B＝∠D＝∠DB＝90°，D＝B， ∴四边形BD 是正方形． 由折叠知，Rt△BE≌Rt△GE，Rt△DF≌Rt△GF， ∴BE＝EG＝3，DF＝FG＝2， ∵EF＝5， 设G＝x，则B＝B＝D＝G＝x，E＝B﹣BE＝x 3 ﹣，F＝x 2 ﹣． ∵E2+F2＝EF2， ∴（x 3 ﹣）2+（x 2 ﹣）2＝52． 解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去）． ∴G＝6． ∴△EF 的面积＝ EF•G＝ ×5×6＝15． 变式训练 【变式2-1】．如图，等边△B 中，D、E 为B 边上的点，BD＝2E，∠DE＝30°，DE＝3，E 的长为 ． 解：将△BD 绕点逆时针旋转60°得到△F，作F⊥B 于． ∵△B 是等边三角形， ∴B＝B＝，∠B＝∠B＝∠B＝60°， ∵∠DE＝30°， ∴∠F+∠E＝∠BD+∠E＝30°， ∴∠ED＝∠EF＝30°， ∵E＝E，D＝F， ∴△ED≌△EF， ∴DE＝EF＝3，设E＝x，则BD＝F＝2x ∵∠F＝∠B＝60°， ∴∠F＝60°， ∴＝ F＝x，F＝ x， 在Rt△EF 中，EF2＝E2+F2， 9 ∴＝4x2+3x2， ∴x＝ ， 故答为 ． 【变式2-2】．如图，在梯形BD 中，D∥B（B＞D），∠D＝90°，B＝D＝12，∠BE＝45°， 若E＝10．求E 的长度． 解：过B 作D 的垂线交D 的延长线于M，M 为垂足， 延长DM 到G，使MG＝E，连接BG， 易知四边形BDM 是正方形， 则△BE 与△BGM 中， ， ∴△BE≌△BMG（SS）， ∴∠MBG＝∠BE，BE＝BG， ∵∠BE＝45°， ∴∠BE+∠BM＝∠MBG+∠BM＝45°， 即∠BE＝∠BG＝45°， 在△BE 与△BG 中， ， ∴△BE≌△BG（SS）， ∴G＝E＝10， 设E＝x，则M＝10﹣x， D＝12﹣（10﹣x）＝2+x，DE＝12﹣x， 在Rt△DE 中，E2＝D2+DE2， 100 ∴ ＝（x+2）2+（12﹣x）2， 即x2 10 ﹣ x+24＝0； 解得：x1＝4，x2＝6． 故E 的长为4 或6． 【变式2-3】．如图①，在△B 中，∠B＝90°，B＝，点D 和点E 均在边B 上，且∠DE＝ 45°． （1）如图②，把△BD 绕点顺时针旋转90°至△G，可使B 与重合，连接EG，求证： △DE≌△GE； （2）试猜想BD、DE、E 应满足的数量关系，并写出推理过程． 解：（1）由旋转可知，△BD≌△G， ∴D＝G， ∵∠B＝90°，∠DE＝45°， ∴∠EG＝45°， 在△DE 和△GE 中， ， ∴△DE≌△GE（SS）； （2）由△DE≌△GE， ∴BD＝EG， 由旋转，BD＝G，∠G＝∠B， ∵∠B＝90°， ∴∠EG＝90°， 在Rt△EG 中，EG2＝E2+G2， ∴DE＝E2+BD2． 1．如图，已知等边三角形△B 边长为，等腰三角形△BD 中∠BD＝120°，∠MD＝60°，角的 两边分别交B，于点M，，连接M，则△M 的周长为（ ） ． B．2 ．3 D．4 解：∵△BD 是等腰三角形，且∠BD＝120°， ∴∠BD＝∠DB＝30°， ∵△B 是边长为的等边三角形， ∴∠B＝∠B＝∠B＝60°， 实战演练 ∴∠DB＝∠D＝90°， 延长B 至F，使BF＝，连接DF， 在Rt△BDF 和Rt△D 中，BF＝，DB＝D， Rt ∴ △BDF Rt ≌ △D（L）， ∴∠BDF＝∠D，DF＝D， ∵∠MD＝60°， ∴∠BDM+∠D＝60°， ∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MD，DM 为公共边， ∴△DM≌△DMF（SS）， ∴M＝MF ∴△M 的周长是：M++M＝M+MB+BF+＝B+＝2， 故选：B． 2．如图，菱形BD 的边B＝20，面积为320，∠BD＜90°，⊙与边B，D 都相切，＝10，则⊙ 的半径长等于（ ） ．5 B．6 ．2 D．3 解：如图作D⊥B 于，连接BD，延长交BD 于E． ∵菱形BD 的边B＝20，面积为320， ∴B•D＝320， ∴D＝16， 在Rt△D 中，＝ ＝12， ∴B＝B﹣＝8， 在Rt△BD 中，BD＝ ＝8 ， 设⊙与B 相切于F，与D 相切于，连接F，，则F⊥B，⊥D，F＝， ∴平分∠DB， ∵D＝B， ∴E⊥BD， ∵∠F+∠BE＝90°，∠BE+∠BD＝90°， ∴∠F＝∠BD，∵∠F＝∠DB＝90°， ∴△F∽△DB， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴F＝2 ． 故选：． 3．如图，在矩形BD 中，B＝2，B＝6，点E、F 分别在B、D 上，若E＝ ，∠EF＝45°， 则F 的长为 2 ． 解：取B 的中点M，连接ME，在D 上截取D＝DF，设DF＝D＝x， ∵四边形BD 是矩形， ∴∠D＝∠BD＝∠B＝90°，D＝B＝6， ∴F＝ x，＝6﹣x， ∵B＝2， ∴M＝BM＝1， ∵E＝ ，B＝2， ∴BE＝1， ∴ME＝ ＝ ＝ ， ∵∠EF＝45°， ∴∠ME+∠F＝45°， ∵∠ME+∠EM＝45°， ∴∠ME＝∠F， ∴△ME∽△F， ∴ ， ∴ ， 解得x＝2． ∴ ＝ ＝2 ． 故答为：2 ． 4．P、PB 切⊙于、B 两点，D 切⊙于点E，交P、PB 于、D，若⊙的半径为r，△PD 的周长 等于3r，则t∠PB 的值是 ． 解：连接、B、P，延长B 交P 的延长线于点F． ∵P，PB 切⊙于、B 两点，D 切⊙于点E ∴∠F＝∠PBF＝90°，＝E，DB＝DE，P＝PB， ∵△PD 的周长＝P+E+DE+PD＝P++PD+DB＝P+PB＝3r， ∴P＝PB＝ r． 在Rt△PBF 和Rt△F 中， ， Rt ∴ △PBF Rt ∽ △F． ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴F＝ FB， 在Rt△FBP 中， ∵PF2﹣PB2＝FB2 ∴（P+F）2﹣PB2＝FB2 ∴（ r+ BF）2﹣（ r）2＝BF2， 解得BF＝ r， t ∴∠PB＝ ＝ ＝ ， 故答为： ． 5．如图，在正方形BD 中，点M，在B，D 上运动，且∠M＝45°，在M 上截取一点G，满 足BM＝GM，连接G，取M，的中点F，E，连接GF，GE，令M，交BD 于，两点，若 B＝4，当GF+GE 的取值最小时，则的长度为 8 4 ﹣ ． 解：如图1 中，将△D 绕点顺时针旋转90°得到△B，则＝，∠D＝∠B， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠DB＝∠B＝90°， ∵∠M＝45°， ∴∠M＝∠MB+∠B＝∠MB+∠D＝45°， ∴∠M＝∠M， ∵M＝M，＝， ∴△M≌△M（SS）， ∴∠MB＝∠M， ∵M＝M，MB＝MG， ∴△MB≌△MG（SS）， ∴B＝G＝4，∠BM＝∠GM＝90°， ∵F＝FM，E＝E， ∴FG＝ M，EG＝ ， ∴GF+GE＝ （M+）， 下面证明当M＝时，M+的值最小，如图2 中，过点在直线l∥M，作点关于直线l 的对称 点′，连接′，M′． ∵，′关于直线对称， ∴＝′， ∴M+＝′+M， ∴当，M，′共线时，M+的值最小， 此时∵＝′， ′ ∴∠＝∠′， ∵M∥直线l，′⊥直线l， ′ ∴⊥M， ∴∠M′＝90°， ∴∠M+ ′ ∠＝90°， ∠M+ ′ ∠＝90°， ∴∠M＝∠M， ∴＝M， ∴当M＝时，M+的值最小， 如图1 中，当M＝时，可知B＝D，过点作P⊥B 于P，在P 上截取一点K，使得K＝K， 连接K，设P＝PB＝x， ∵∠BM＝∠D＝225°，K＝K， ∴∠K＝∠K＝225°， ∴∠PK＝∠K+∠K＝45°， ∴PK＝PB＝P＝x．K＝K＝ x， ∵B＝4， 2 ∴x+ x＝4， ∴x＝4 2 ﹣ ， ∴B＝D＝ PB＝4 4 ﹣， ∵BD＝4 ， ∴＝4 2 ﹣（4 4 ﹣）＝8 4 ﹣ ， 故答为8 4 ﹣ ． 6．如图，正方形被两条与边平行的线段EF，G 分割成四个小矩形，P 是EF 与G 的交点， 若矩形PF 的面积恰是矩形GPE 面积的2 倍，试确定∠F 的大小并证明你的结论． 解：如图，连接F，延长B 到M，使BM＝D，连接M， Rt ∵ △BM≌Rt△D， ∴M＝，∠MB＝∠D， ∴∠M＝∠MB+∠B＝∠B+∠D＝90°， 如图设正方形边长为，G＝m，GP＝，则F＝﹣，＝﹣m， 因为面积是二倍所以列式得到：2﹣（m+）+m＝2m， 在直角三角形F 中F2＝（﹣）2+（﹣m）2，将上面的式子联立得到： F2＝MF2＝（m+）2，即得到F＝MF， ∵F＝F，＝M， ∴△MF≌△F， ∴∠MF＝∠F， ∴∠F＝∠MF＝45°． 7．如图，正方形BD 的边长为1，点M、分别在B、D 上，且△M 的周长为2，求△M 的面 积的最小值． 解：设D＝x，BM＝y， ∴＝1﹣x，M＝1﹣y，△M＝+M+M＝2， ∴M＝x+y． 将△D 绕点顺时针旋转90°至△BF， 则M＝MF，M＝M，＝F， ∴△M≌△FM（SSS）． ∴∠M＝45°，∠D＝∠FB＝∠E． 过点作E⊥M，垂足为E， ∵∠E＝∠D，∠D＝∠E，为公共边， ∴△D≌△E（S）， ∴E＝D＝1， ∵在Rt△M 中，由勾股定理得：2+M2＝M2， ∴（1﹣x）2+（1﹣y）2＝（x+y）2， ∴化简得：xy+x+y 1 ﹣＝0，① ∴S△M＝ （x+y）②． ∵（x﹣y）2≥0， ∴（x+y）2≥4xy， ∴xy≤ ，③ ∴将②③代入①并整理可得S2+2S 1≥0 ﹣ ，④ ∴（S+1）2≥2． ∵S＞0， ∴S≥ 1 ﹣， ∴△M 的面积的最小值为 ﹣1． 8．如图，E 是正方形BD 中D 边上一点，以点为中心把△DE 顺时针旋转90°． （1）在图中画出旋转后的图形； （2）若旋转后E 点的对应点记为M，点F 在B 上，且∠EF＝45°，连接EF． ①求证：△MF≌△EF； ②若正方形的边长为6， ，求EF． 解：（1）如图，△BM 为所作； （2）①如图，连接EF． ∵四边形BD 是正方形， ∴∠BD＝90°， ∵