专题09 三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型 赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题， 相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久 远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂学中数 学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能 （3）内外组合型弦图模型：如图3，2S 正方形EFG= S 正方形BD+S 正方形PQM 例1．（2023 秋·湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标其原 型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面 积是16，直角三角形的直角边长分别为，b，且 ，那么图中小正方形的面积是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【答】 【分析】根据大正方形的面积即可求得 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边 为 ，较长直角边为 ，斜边为，用 表示出相关线段的长度，从而解决问题． 模型2 勾股树模型 例1．（2022·福建·八年级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，如果正方形 、 、 、 的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形 的面积是___． 【答】30

专题09 三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型 赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题， 相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久 远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂学中数 学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能 （3）内外组合型弦图模型：如图3，2S 正方形EFG= S 正方形BD+S 正方形PQM 例1．（2023 秋·湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标其原 型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面 积是16，直角三角形的直角边长分别为，b，且 ，那么图中小正方形的面积是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 例2．（202 方形 ，记空隙处正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ，则下列四个判断：① ② ；③若 ，则 ；④若点是线段 的中点，则 ，其中正确的序号是 模型2 勾股树模型 例1．（2022·福建·八年级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，如果正方形 、 、 、 的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形 的面积是___． 例2．（

专题08 三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题， 相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久 远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂学中数 学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能 ........................................................................................... 2 模型2 勾股树模型................................................................................................ ， 表示直角三角形的两直角边 ， 下列四个推断：① ；② ；③ ；④ ． 其中所有正确推断的序号是（ ）． ．①② B．①②③ ．①③④ D．①②③④ 【答】B 【分析】本题考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键． 由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得 、 可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④．

专题08 三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题， 相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久 远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂学中数 学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能 ........................................................................................... 2 模型2 勾股树模型................................................................................................ 中的 延长至点M，使得 ，连接 与 相交于点，请你在图3 中画出图形． 若 ，求线段 与 之间的数量关系． 模型2 勾股树模型 勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形， 如下图。又因为重复多次后的形状好似一棵树，所以被称为勾股树。 模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图 形

根据已知条件判定直角三角形 题型03 与直角三角形有关的面积计算 考点二 勾股定理 题型01 利用勾股定理求线段长 题型02 利用勾股定理求面积 题型03 已知两点坐标求两点距离 题型04 判断勾股数问题 题型05 利用勾股定理解决折叠问题 题型06 勾股定理与格问题 题型07 勾股定理与无理数 题型08 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型09 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 图二 图三 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a 2+b 2=c 2中，a，b，c为正整 数时，称a，b，c为一组勾股数 常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数，b，； 2）确定最大的数； ，因而在应用勾股 定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 2 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求 解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆2+b2=2时，斜边只能是．若b 为斜边，则关系式 是2+2=b2；若为斜边，则关系式是b2+2=2． 4 每组勾股数的相同整数倍也是勾股数 题型01

......................................................................................2 【题型3 勾股定理解勾股树问题】............................................................................................... ...........................................................................................7 【题型7 勾股数问题】............................................................................................... D．36 【变式2-3】（2022 春•海淀区校级期中）在Rt△B 中，∠B＝90°，＝4，B＝5．点P 在直线 上，且BP＝6，则线段P 的长为 ． 【题型3 勾股定理解勾股树问题】 【例3】（2021 秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是 直角三角形，若正方形、B、D 的面积依次为6、10、24，则正方形的面积为（ ） 1 ．4

正方形 ，则点 的横坐标是 ． 16“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别 向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名． 假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作 图，则第六代勾股树中正方形的个数为______． 1 更多资料添加微信号：DEM2008

题型02 根据已知条件判定直角三角形 题型03 与直角三角形有关的面积计算 题型04 利用勾股定理求线段长 题型05 利用勾股定理求面积 题型06 已知两点坐标求两点距离 题型07 判断勾股数问题 题型08 勾股定理与格问题 题型09 勾股定理与无理数 题型10 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型11 利用勾股定理证明线段的平方关系 题型12 勾股定理的证明方法 题型13 题型07 判断勾股数问题 20．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股 修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜 边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25 ；…，这类勾股数的特点是： 勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2 的一类勾股数，如： 的一类勾股数，如： 6，8，10；8，15，17； …，若此类勾股数的勾为10 ，则其弦是 ． 21．（2022·河北石家庄·校联考三模）已知：整式A=n 2+1，B=2n，C=n 2−1，整式C>0． (1)当n=1999时，写出整式A+B的值______（用科学记数法表示结果）； (2)求整式A 2−B 2； (3)嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C

存在相邻两边的平方和等于一条对 角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________． (2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点） ， ， ，请你直接写出一个以格点为顶点， ， 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 的顶点M 的坐标为________； (3)如图（2），将 ．求 证： ，即四边形 是勾股四边形； (4)若将图（2）中 绕顶点B 按顺时针方向旋转度 ，得到 ，连接 ， ，则 ________°，四边形 是勾股四边形． 【答】(1)矩形；正方形(2)（3，4）或（4，3）(3)见解析(4) 【分析】（1）根据勾股四边形的定义，可知矩形和正方形都是勾股四边形； （2）如图（1）中，以、B 为勾股边且有对角线相等的勾股四边形MB 的顶点M 的坐标为（3，4）或（4， 3）；（3）如图（2），连接E，只要证明△DE 是直角三角形即可解决问题； （4）如图（3），当 °，四边形BD 是勾股四边形．连接E，只要证明△DE 是直角三角形即可 解决问题． 【详解】（1）解：∵矩形和正方形的四个角都是直角， ∴相邻两边的平方和等于对角线的平方，∴矩形、正方形都是勾股四边形；故答为矩形、正方形； （2）解：如图（1）所示， ∴M 的坐标为：（3，4）或（4，3）；故答为（3，4）或（4，3）；

址：sp432575988tbm 16“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别 向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名． 假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作 图，则第六代勾股树中正方形的个数为______． 【答】127 【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个）， 第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），． ∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个）， 故答为：127． 【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律． 17 人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0618