专题247 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】 【人版】 【题型1 利用切线长定理求周长】.........................................................................................................................1 【题型2 三角形内切圆中求角度】........... .................5 【题型3 三角形内切圆中求面积】.........................................................................................................................9 【题型4 三角形内切圆中求线段长度】...................... ............... 13 【题型5 三角形内切圆中求半径】.......................................................................................................................16 【题型6 三角形内切圆中求最值】.........................

专题247 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】 【人版】 【题型1 利用切线长定理求周长】.........................................................................................................................1 【题型2 三角形内切圆中求角度】........... .................2 【题型3 三角形内切圆中求面积】.........................................................................................................................4 【题型4 三角形内切圆中求线段长度】...................... ................ 5 【题型5 三角形内切圆中求半径】.........................................................................................................................5 【题型6 三角形内切圆中求最值】........................

； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆 心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心． R2．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 模型介绍 R4．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到 中，∠＝90°，＝6，B＝8．则△B 的内切圆半径r＝ ． 变式训练 【变式3-1】．⊙是△B 的内切圆，且∠＝90°，切点为D，E，F，若F，BE 的长是方程x2﹣ 13x+30＝0 的两个根，则S△B的值为（ ） ．30 B．15 ．60 D．13 【变式3-2】．如图所示，在矩形BD 中，BD＝10，△BD 的内切圆半径为2，切三边于E、 F、G，则 矩形两边B＝

； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆 心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心． R2．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 模型介绍 R4．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到 中，∠＝90°，＝6，B＝8．则△B 的内切圆半径r＝ ． 变式训练 【变式3-1】．⊙是△B 的内切圆，且∠＝90°，切点为D，E，F，若F，BE 的长是方程x2﹣ 13x+30＝0 的两个根，则S△B的值为（ ） ．30 B．15 ．60 D．13 【变式3-2】．如图所示，在矩形BD 中，BD＝10，△BD 的内切圆半径为2，切三边于E、 F、G，则 矩形两边B＝

应用切线长定理求证 考点三 三角形内切圆与外接圆 题型01 判断三角形外接圆圆心位置 题型02 求外心坐标 题型03 已知外心的位置判断三角形形状 题型04 求特殊三角形外接圆的半径 题型05 由三角形的内切圆求长度 题型06 由三角形的内切圆求角度 题型07 由三角形的内切圆求周长、面积 题型08 求三角形的内切圆半径 题型09 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系 题型10 圆外切四边形模型 圆外切四边形模型 题型11 三角形内心有关的应用 题型12 三角形外接圆与内切圆综合 考点要求 新课标要求 命题预测 点、直线与圆 的位置关系  探索并掌握点与圆的位置关系  能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作 圆  了解直线与圆的位置关系 本专题内容也是各地中考数学中的必考 考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位 置关系、切线的性质和判定、三角形的内切 圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查 点、动图的形式给出，难度较大关键是掌握 基础知识、基本方法，力争拿到全分． 切线的性质与 判定  掌握切线的概念  探索并证明切线长定理 三角形内切圆 与外接圆  了解三角形的内心与外心  通过尺规作作三角形的外接圆、内切圆 考点一 点、直线与圆的位置关系 1 点和圆的位置关系 已知⊙的半径为r，点P 到圆心的距离为d，则： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外

求外心坐标 题型20 求特殊三角形外接圆的半径 题型21 由三角形的内切圆求长度 题型22 由三角形的内切圆求角度 题型23 由三角形的内切圆求周长、面积 题型24 求三角形的内切圆半径 题型25 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系 题型26 三角形内心有关的应用 题型27 三角形外接圆与内切圆综合 题型01 判断点和圆的位置关系 1．（2023·广东广州·统考 与抛物线对称轴的交点为，当直线b 与直线 重合时运动停止，请直接写出点的运动总路程． 题型21 由三角形的内切圆求长度 72．（2022·陕西西安·校考模拟预测）在△B 中，B＝4，∠＝45°，则❑ √2+B 的最大值为 ． 73．（2022·四川泸州·二模）如图，△B 的内切圆⊙与B，B，相切于点D，E，F，已知B＝6，＝5，B＝ 7，则DE 的长是（ ） ．12❑ √7 75．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）如图上，Δ ABC 中,∠C=90 ∘, AC=8,BC=6, 为内心，过点的直线分别与、B 相交于D、E，若DE=D+BE，则线段D 的长为 题型22 由三角形的内切圆求角度 76．（2022·山东烟台·统考一模）如图，点是△ABC的内心，若∠I=116°，则∠A等于（ ） ．50° B．52° ．54° D．56° 77．（2022·湖南长沙·长沙市

应用切线长定理求证 考点三 三角形内切圆与外接圆 题型01 判断三角形外接圆圆心位置 题型02 求外心坐标 题型03 已知外心的位置判断三角形形状 题型04 求特殊三角形外接圆的半径 题型05 由三角形的内切圆求长度 题型06 由三角形的内切圆求角度 题型07 由三角形的内切圆求周长、面积 题型08 求三角形的内切圆半径 题型09 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系 题型10 圆外切四边形模型 圆外切四边形模型 题型11 三角形内心有关的应用 题型12 三角形外接圆与内切圆综合 考点要求 新课标要求 命题预测 点、直线与圆 的位置关系  探索并掌握点与圆的位置关系  能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作 圆  了解直线与圆的位置关系 本专题内容也是各地中考数学中的必考 考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位 置关系、切线的性质和判定、三角形的内切 圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查 点、动图的形式给出，难度较大关键是掌握 基础知识、基本方法，力争拿到全分． 切线的性质与 判定  掌握切线的概念  探索并证明切线长定理 三角形内切圆 与外接圆  了解三角形的内心与外心  通过尺规作作三角形的外接圆、内切圆 考点一 点、直线与圆的位置关系 1 点和圆的位置关系 已知⊙的半径为r，点P 到圆心的距离为d，则： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外

求外心坐标 题型20 求特殊三角形外接圆的半径 题型21 由三角形的内切圆求长度 题型22 由三角形的内切圆求角度 题型23 由三角形的内切圆求周长、面积 题型24 求三角形的内切圆半径 题型25 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系 题型26 三角形内心有关的应用 题型27 三角形外接圆与内切圆综合 题型01 判断点和圆的位置关系 1．（2023·广东广州·统考 以为圆心，OH为半径作圆． 则⊙O即为所求． ∵OH ⊥AB , OH为⊙O的半径， ∴AB与⊙O相切， ∵⊙O和菱形ABCD都是中心对称图形，且⊙O的圆心与菱形ABCD的对称中心重合， ∴⊙O为菱形ABCD的内切圆； 【点睛】本题考查菱形的性质，基本作图—作垂线，切线的判定．熟练掌握切线的判定是解题的关键． 53．（2023·福建莆田·统考二模）（1）如图1，Rt △ABC中，∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式，直角三角形外 接圆圆心为斜边中点，胡不归问题的解决方法，以及勾股定理和二次函数图象上点的坐标特征和勾股定理． 题型21 由三角形的内切圆求长度 72．（2022·陕西西安·校考模拟预测）在△B 中，B＝4，∠＝45°，则❑ √2+B 的最大值为 ． 【答】4 ❑ √10. 【分析】根据题意，画出Δ ABC的外接圆，当1为圆的直径时，❑

径定理和锐角三角函数的定义． 6．已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为π r 2，则△ABC的面积为（ ） ．1 2 rl B．1 2 πrl ．rl D．πrl 【答】 【分析】由题意可得S△AOB=1 2 AB×OE=1 2 AB×r，S△BOC=1 2 BC ×r，S△AOC=1 2 AC ×r，由面积关 系可求解． 【详解】解：如图，设内切圆O与△ABC相切于点D，点E，点F，连接OA，OB，OC，OE，OF， 1 2 AC ×r=1 2 ( AB+BC+ AC )×r， ∵l=AB+BC+ AC， ∴S=1 2 lr， 故选 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键． 7．【创新题】如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r， ∠A=α，则(BF+CE−BC )的值和∠FDE的大小分别为（ ） ．2r，90°−α 【详解】解：如图，连接IF ，IE． ∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴BF=BD，CD=CE，IF ⊥AB，IE⊥AC， ∴BF+CE−BC=BD+CD−BC=BC−BC=0，∠AFI=∠AEI=90°， ∴∠EIF=180°−α， ∴∠EDF=1 2 ∠EIF=90°−1 2 α． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性

； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆 心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心． R2．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 模型介绍 R4．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到 中，∠＝90°，＝6，B＝8．则△B 的内切圆半径r＝ ． 解：如图， 在Rt△B，∠＝90°，＝6，B＝8； 根据勾股定理B＝ ＝10； 四边形EF 中，E＝F，∠E＝∠F＝∠＝90°； ∴四边形EF 是正方形； 由切线长定理，得：D＝F，BD＝BE，E＝F； ∴E＝F＝ （+B﹣B）； 即：r＝ （6+8 10 ﹣ ）＝2． 变式训练 【变式3-1】．⊙是△B 的内切圆，且∠＝90°，切点为D，E，F，若F，BE