模型32 三角形中的四心问题（重心、外心、内心、垂心）（原卷版）

R1．三角形的五心 三角形的五心定义 外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆 心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心． R2．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等． ③重心到三角形3 个顶点距离的和最小．（等边三角形） R3．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角 三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接 圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 模型介绍 R4．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． R5 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心 考点一：三角形重心问题 【例1】．如图，△B 的中线BD、E 相交于点F，若四边形EFD 的面积为6，则△BF 的面积 为 ． 例题精讲 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，＝B，⊥B 于点，中线E 与相交 于点F，则 的值为 ． 【变式1-2】．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣2，3），点在x 轴负半轴，B＝B， 点M 为△B 的重心，若将△B 绕着点旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为 ． 考点二：三角形外心问题 【例2】．如图，点是△B 的外心，连接B，若∠B＝17°，则∠的度数为 °． 变式训练 【变式2-1】．已知△B 的三边，b，满足| 4|+ ﹣ b+2 10 ﹣ ＝4 30 ﹣ ，则△B 的外接圆半径 的长为 ． 【变式2-2】．如图，△B 的外接圆的圆心坐标为 ． 考点三：三角形内心问题 【例3】．如图，Rt△B 中，∠＝90°，＝6，B＝8．则△B 的内切圆半径r＝ ． 变式训练 【变式3-1】．⊙是△B 的内切圆，且∠＝90°，切点为D，E，F，若F，BE 的长是方程x2﹣ 13x+30＝0 的两个根，则S△B的值为（ ） ．30 B．15 ．60 D．13 【变式3-2】．如图所示，在矩形BD 中，BD＝10，△BD 的内切圆半径为2，切三边于E、 F、G，则 矩形两边B＝ ，D＝ ． 考点四：三角形垂心问题 【例4】．如图，是锐角△B 的垂心（3 条高的交点），若＝B，则∠B 的度数是 ． 变式训练 【变式4-1】．如图，在△B 中，已知B＝5，＝7，B＝6，为垂心，则＝ ． 【变式4-2】．如图，在△B 中M 为垂心，为外心，∠B＝60°，且△B 外接圆直径为10，则 M＝ ． 1．如图，△B 中，∠B＝70°，∠B＝45°，点是△B 的外接圆的圆心，则∠B 等于（ ） ．65° B．90° ．130° D．140° 2．如图，△B 中，B＝B＝＝3，是它的内心，以为中心，将△B 旋转180°得到△′B′′，则△B 与 △′B′′重叠部分的面积为（ ） ． B． ． D． 3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6m 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上， 若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ） ．2 m B．4 m ．6 m D．8 m 4．如图所示，△B 的内切圆⊙与B、B、分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠的度 数是（ ） ．52° B．76° ．26° D．128° 5．如图，四边形BD 中，B＝D，B＝D，∠＝90°，∠＝60°．若B＝5 ．则△BD 外心与 △BD 内心的距离是（ ） ．5 B． ． D． 6．如图，若正△1B11内接于正△B 的内切圆，则 的值为（ ） ． B． ． D． 7．如图，已知Rt△B 的直角边＝24，斜边B＝25，一个以点P 为圆心、半径为1 的圆在△B 内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P 一直保持与△B 的边相切，当点P 第一次回到 它的初始位置时所经过路径的长度是（ ） ． B．25 ． D．56 8．如图，点G 是△B 的重心，且△DG 的面积为4，则△B 的面积为 ． 9．如图所示，△B 是⊙的内接三角形，D⊥B 于D 点，且＝5，D＝3，B＝ ，则⊙的直 径等于 ． 10．如图，点D 是等腰Rt△B 的重心，其中∠B＝90°，将线段D 绕点逆时针旋转90°得到线 段E，连结DE．若△B 的周长为6 ，则△DE 的周长为 ． 11．如图，⊙与△B 的边B、、B 分别切于E、F、D 三点，若⊙的半径是1，∠＝60°，B＝ 5，则△B 的周长为 ． 12．如图，点P 是△B 的重心，过P 作B 的平行线DE，分别交于点D、交B 于点E；作 DF∥B，交B 于点F，若△B 的面积为36，则四边形BEDF 的面积为 ． 13．如图所示，是△B 的内心，∠B＝100°，则∠B＝ 度． 14．一个直角三角形的两条边长是方程x2 7 ﹣x+12＝0 的两个根，则此直角三角形外接圆的 半径等于 ． 15．如图，△B 中，已知B＝8，B＝5，＝7，则它的内切圆的半径为 ． 16．如图，G 为△B 的重心，点D 在B 延长线上，且BD＝ B，过D、G 的直线交于点E， 则 ＝ ． 17．在半径为1 的⊙中内接有锐角△B，是△B 的垂心，角平分线L 垂直于，则B＝ ． 18．如图，⊙的半径为 ，△B 是⊙的内接等边三角形，将△B 折叠，使点落在⊙上，折痕 EF 平行B，则EF 长为 ． 19．如图，在矩形BD 中，B＝5，B＝12，⊙1 和⊙2 分别是△B 和△D 的内切圆，则12＝ ． 20．如图，在△B 中，＝3，B＝4，若，B 边上的中线BE，D 垂直相交于点，则B＝ ． 21．若△B 的外接圆半径为2，是△B 垂心，则△B 的外接圆半径长是 22．如图，剪一个边长为2 的等边三角形，让它沿直线l 在桌面上向右滚动，当等边三角 形第9 次落在直线l 上时，等边三角形的内心运动过的路程长为 ． 23．如图，，分别为△B 的外心和垂心，到B 边的距离为2，到B 边的距离为E＝3，则B 边 上的高为 ． 24．如图，正△B 的面积是8，取正△B 的内心1，以1B 为边长作正△1BP1，再取正△1BP1的内 心2，以2B 为边长作正△2BP2，…，依次规律作第2009 个正△2009BP2009．则△2009BP2009的 面积是 ． 25．如图，点P 为△B 的重心，点B 在x 轴的正半轴上，函数 （k＞0）图象经过点， P，且交B 于点，则点，P 的纵坐标之比是 ，：B 的值为 ． 26．如图，已知锐角△B 的外接圆半径等于2，∠B＝60°，、分别为△B 的外心和垂心，连接 与B 的延长线交于点P，则•P＝ ． 27．如图，B＝2，B＝1，△B 与△EBD 为全等的Rt△（∠B＝∠EBD＝90°），F 为直线E 和直 线D 的交点，求线段BF 的取值范围为 ． 28．如图，在△B 中，B＝＝10，B＝16，点是△B 的重心，将线段绕点逆时针旋转至'，点D 为线段′的中点，连接BD，则BD 的最大值为 ． 29．如图，等边△B 的边长为4 ，点为△B 的三条中线的交点，点D，E 分别为边B，B 上 的点，若∠DE＝120°，则DE 的最小值为 ． 30．如图，锐角三角形B 内接于半径为R 的⊙，是三角形B 的垂心，的延长线与B 交于点 M，若⊥，B＝10，＝6，则M 的长＝ ． 31．如图，半径为3 的⊙分别与x 轴，y 轴交于，D 两点，⊙上两个动点B，，使∠B＝45°恒 成立，设△B 的重心为G，则DG 的最小值是 ． 32．如图，线段＝7，半圆D 的直径B＝4，点B 在射线B 上运动． （1）当半圆D 恰好经过边的中点时，B＝ ； （2）当△B 的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，t＝ ． 33．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形B 的 上，有一个动点P，P⊥，垂足为，△P 的重心为G． （1）当点P 在 上运动时，线段G、GP、G 中，有无长度保持不变的线段？如果有， 请指出这样的线段，并求出相应的长度； （2）如果△PG 是直角三角形，试求G：PG：G 的值； （3）如果△PG 是等腰三角形，试求出线段P 的长． 34．如图，B 为半圆的直径，是半圆弧上一点，正方形DEFG 的一边DG 在直径B 上，另 一边DE 过△B 的内切圆圆心，且点E 在半圆弧上． ①若正方形的顶点F 也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是 ； ②若正方形DEFG 的面积为100，且△B 的内切圆半径r＝4，则半圆的直径B＝ ． 35．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+的图象过点（0，﹣4）和点D（2，﹣6）， 与x 轴交于点、B（点在点B 的左边），且点D 与点G 关于坐标原点对称． （1）求该二次函数解析式，并判断点G 是否在此函数的图象上，并说明理由； （2）若点P 为此抛物线上一点，它关于x 轴，y 轴的对称点分别为M，，问是否存在这 样的P 点使得M，恰好都在直线DG 上？如存在，求出点P 的坐标，如不存在，请说明 理由； （3）若第四象限有一动点E，满足BE＝B，过E 作EF⊥x 轴于点F，设F 坐标为（t， 0），0＜t＜4，△BEF 的内心为，连接，直接写出的最小值．