标题：恋人分手后朋友圈的表现，都分别有什么意义呢？ 开头：恋人分手后朋友圈的表现，都分别有什么意义呢？ 正文：一、分手后，一言不发 他在和你分手之后，开始也许并没有在朋友圈里大张旗鼓的说 自己已经分手。甚至，可能什么都没有说，什么动静都没有。 但是，之后却开始分享一些失恋或者伤情的鸡汤文。那么，其 实是代表他还放不下你。 你们之间的分手，在他看来是因为承受了些许压力和不解。这 样的男人，往往是更为痴情的。

条件：点M、分别为线段B、B 的中点，结论： 证明：①当点B 在线段上，如图1， 图1 ∵M、分别为B、B 的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）； ∵M=BM+B，∴ ； ②当点B 在线段的延长线上，如图2， 图2 ∵M、分别为B、B 的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）； ∵M=BM-B，∴ ； ③当点B 在线段的延长线上 图3 ∵M、分别为B、B 的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）； ∵M=B-BM，∴ ； 例1．（23-24 七年级上·江苏扬州·期末）如图，点在线段 上，点M、分别是 的中点． (1)若 ，求 的长；(2)若 ，求 的长； 例2．（23-24 七年级上·江西赣州·期末）如图，点在线段 上，点M，分别是线段 的中点． (1)若 ，求线段 的长；(2)若 ，求线段 的长度． 例3．（23-24 七年级·山东淄博·期末）已知点 的三等分点．若线段 ，则线段 的长为（ ） ． B． ． 或 D． 或 例4．（23-24 七年级上·安徽黄山·期末）如图，，D 是线段 上两点（点D 在点右侧），E，F 分别是线 段 的中点．下列结论： ① ； ②若 ，则 ；③ ； ④ ． 其中正确的结论是（ ） ．①② B．②③ ．②④ D．③④ 例5．（23-24 七年级上·贵州遵义·期末）已知线段

条件：点M、分别为线段B、B 的中点，结论： 证明：①当点B 在线段上，如图1， 图1 ∵M、分别为B、B 的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）； ∵M=BM+B，∴ ； ②当点B 在线段的延长线上，如图2， 图2 ∵M、分别为B、B 的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）； ∵M=BM-B，∴ ； ③当点B 在线段的延长线上 图3 ∵M、分别为B、B 的中点，∴ 七年级上·江苏扬州·期末）如图，点在线段 上，点M、分别是 的中点． (1)若 ，求 的长；(2)若 ，求 的长； 【答】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义． （1）因为点 、 分别是 、 的中点，所以 ， ，已知 ， 可得 的长， ，可得 的长；（2）因为点 、 分别是 、 的中点，所以 ， ，已知 ，可得 的长． 【详解】（1）解： 点 、 分别是 、 的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解： 点 、 分别是 、 的中点， ， ， ， ． 例2．（23-24 七年级上·江西赣州·期末）如图，点在线段 上，点M，分别是线段 的中点． (1)若 ，求线段 的长；(2)若 ，求线段 的长度． 【答】(1) (2) 【分析】（1）根据线段中点的性质，可得 ，再根据线段的和以及线段的差，可得答； （2）根据线段中点的性质，可得 ，再根据线段的和以及线段的差，可得答．

角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形BD 是正方形，∠EF=45°； 结论：①△BE≌△DG；②△EF≌△GF；③EF＝BE＋DF；④ EF 的周长=2B； ⑤E、F 分别平分∠BEF 和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件： B 是等腰直角三角形，∠DE=45°； 结论：①△BD≌△G；②△DE≌△GE；③∠EG=90°；④DE2＝BD2＋E2； 3 B 是等边三角形， BD 是等腰三角形，且BD=D，∠BD=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△DG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋F；④ EF 的周长=2B； ⑤DE、DF 分别平分∠BEF 和∠EF。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件： B 是等边三角形，∠ED=30°； 结论：①△BD≌△F；②△DE≌△FE；③∠EF=120°；④DE2＝( BD＋E)2+ 例1．（2022·黑龙江·九年级阶段练习）已知四边形BD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与 点重合，将此三角板绕点旋转时，两边分别交直线B，D 于M，． (1)如图1，当M，分别在边B，D 上时，求证：BM+D=M (2)如图2，当M，分别在边B，D 的延长线上时，请直接写出线段BM，D，M 之间的数量关系 (3)如图3，直线与B 交于P 点，M=10，=6，M=8，求P 的长．

中，B＝＝5，B＝6，点D、E 分别是B、上两动点，且D＝ E，连接D、BE，D+BE 最小值为 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，B＝＝8，B＝4 ，D 为B 边的中点，点E、F 分别是线 段、D 上的动点，且F＝E，则BE+F 的最小值是 ． 【变式1-2】．如图，已知直线B：y＝ 分别交x 轴、y 轴于点B、两点， （3，0），D、E 分别为线段和线段上一动点，BE ． D． 考点二:等边三角形中的逆等线模型 【例2】如图，D 为等边△B 的高，E、F 分别为线段D、上的动点，且E＝F，当BF+E 取 得最小值时，∠FB＝ °． 变式训练 【变式2-1】．如图，是正三角形B 中B 边上的高，在点，处各有一只电子乌龟P 和Q 同 时起步以相同的速度分别沿，向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B 点距离之和 PB+QB 最小时，∠PBQ 的度数为 中，∠B＝90°，B＝6，B＝4，D，E 分别是，B 上的动点，且D ＝BE，连结BD，E，则BD+E 的最小值为 ． 变式训练 【变式3-1】．如图，Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，D，E 为B 边上的两个动点，且D＝ BE，连接D，E，若＝2，则D+E 的最小值为 ． 【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，点M，分别为B，上的动点，且 ＝M，B＝

中，B＝＝5，B＝6，点D、E 分别是B、上两动点，且D＝ E，连接D、BE，D+BE 最小值为 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，B＝＝8，B＝4 ，D 为B 边的中点，点E、F 分别是线 段、D 上的动点，且F＝E，则BE+F 的最小值是 ． 【变式1-2】．如图，已知直线B：y＝ 分别交x 轴、y 轴于点B、两点， （3，0），D、E 分别为线段和线段上一动点，BE ． D． 考点二:等边三角形中的逆等线模型 【例2】如图，D 为等边△B 的高，E、F 分别为线段D、上的动点，且E＝F，当BF+E 取 得最小值时，∠FB＝ °． 变式训练 【变式2-1】．如图，是正三角形B 中B 边上的高，在点，处各有一只电子乌龟P 和Q 同 时起步以相同的速度分别沿，向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B 点距离之和 PB+QB 最小时，∠PBQ 的度数为 中，∠B＝90°，B＝6，B＝4，D，E 分别是，B 上的动点，且D ＝BE，连结BD，E，则BD+E 的最小值为 ． 变式训练 【变式3-1】．如图，Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，D，E 为B 边上的两个动点，且D＝ BE，连接D，E，若＝2，则D+E 的最小值为 ． 【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，点M，分别为B，上的动点，且 ＝M，B＝

转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 1）正方形半角模型 条件：四边形BD 是正方形，∠EF=45°；结论：①△BE △ ≌DG；②△EF △ ≌GF；③EF＝BE＋DF；④ EF 的 周长=2B；⑤E、F 分别平分∠BEF 和∠EFD。 证明：将△BE 绕点逆时针旋转90°至△DG，即△BE △ ≌DG， ∴∠EB=∠GD，∠B=∠DG=90°，BE＝DG，E＝G； ∵BD 是正方形，∴∠B=∠DF =B＋D=2B，过点作⊥EF，则∠E=90°， ∵△EF △ ≌GF，∴D=（全等三角形对应边上的高相等），再利用L 证得：△BE △ ≌E， ∴∠E=∠BE，同理可证：∠F=∠DF，即E、F 分别平分∠BEF 和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件： B 是等腰直角三角形（∠B=90°，B＝），∠DE=45°； 结论：①△BD △ ≌G；②△DE △ ≌GE；③∠EG==90°；④DE2＝BD2＋E2； 是等边三角形， BD 是等腰三角形，且BD=D，∠BD=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE △ ≌DG；②△EDF △ ≌GDF；③EF＝BE＋F；④ EF 的周长=2B； ⑤DE、DF 分别平分∠BEF 和∠EF。 证明：将△DBE 绕点D 顺时针旋转120°至△DG，即△BDE △ ≌DG， ∴∠EDB=∠GD，∠DBE=∠DG，BE＝G，DE＝DG； ∵∠BD=120°，∠E

类型二特殊四边形证明（专题训练） 1．（2023·四川自贡·统考中考真题）在平行四边形 中，点E、F 分别在边 和 上，且 ． 求证： ． 2．（2023·山东·统考中考真题）如图，在 中， 平分 ，交 于点E； 平分 ，交 于点F．求证： ． 3 如图，点E，F 分别在菱形BD 的边B，D 上，且BE＝DF．求证：∠BE＝∠DF． 4．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，在 中，点D、E 分别为 的中点， 点在线段 上，连接 ，点G、F 分别为 的中点． (1)求证：四边形 为平行四边形 (2) ，求线段 的长度． 6 如图，在菱形BD 中，将对角线分别向两端延长到点E 和F，使得E＝F．连接DE， DF，BE，BF． 求证：四边形BEDF 是菱形． 7．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在四边形 中， 与 交于点 ， ，垂足分别为点 ，且 10．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形 中，过对角线 的中点 作 的垂线 ，分别交 ， 于点 ， ． (1)证明： ； (2)连接 、 ，证明：四边形 是菱形． 11 如图，在矩形BD 中，点E、F 分别是边B、D 的中点．求证：DE=BF． 12．（2023·新疆·统考中考真题）如图， 和 相交于点 ， ， ．点 、 分别是 、 的中点． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育

是等边三角形，∴B=B=， 则 ， ∵ ； ∴PD+PE-PF=M。 例1．（2024·河北·二模）如图，P 为边长为2 的等边三角形B 内任意一点，连接P、PB、P，过P 点分别 作B、、B 边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF 等于（ ） ． B． ．2 D． 例2．（2024 八年级·广东·培优）如图，点P 为等边 外一点，设点P 到三边的距离 ，且 ，则 的面积等于（ ， ， ，以下3 个结论：① ；② ；③ ；④若点P 到 三边的距离 分别为 ， ， ，则有 ，其中正确的有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 例4．（23-24 八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在 中， 且 过作 于点P，点M 是直线 上一动点，设点M 到 两边 、 的距离分别为m，， 的高为． (1)当点M 运动到什么位置时， ，并说明理由． 的值为( ) ．15 B．2 ．25 D．3 例2．（23-24 九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形 沿EF 折叠，使点D 落在点B 处，P 为 折痕 上的任意一点，过点P 作 ，垂足分别为G，，若 ， ，则 ． 例3．（23-24 八年级下·江西吉安·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰 并标注： ， ，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答．

“十字形”，由此产生了两组相等的锐角 及一组全等的三角形。 1）如图1，在正方形BD 中，若E、F 分别是B、D 上的点，E⊥BF；则 E=BF。 2）如图2，在正方形BD 中，若E、F、G 分别是B、D、B 上的点，E⊥GF；则 E=GF。 3）如图3，在正方形BD 中，若E、F、G、分别是B、D、B、D 上的点，E⊥GF；则 E=GF。 模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直 ） ．13 B．14 ．15 D．16 例2．（2023 年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形 中， ，点E，F 分别在边 ， 上， 与 相交于点G，若 ，则 的长为 ． 例3．（2023 安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形 中，点E、F、分别是 的中 点， 交于G，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 重合），连接DE，过点作 ，交B 于点F，证明： ． （2）探究：如图②，在正方形BD 中，E，F 分别为边B，D 上的点（点E，F 不与正方形的顶点重合）， 连接EF，作EF 的垂线分别交边D，B 于点G，，垂足为．若E 为B 中点， ， ，求G 的长． （3）应用：如图③，在正方形BD 中，点E，F 分别在B，D 上， ，BF，E 相交于点G．若 ，图中阴影部分的面积与正方形BD 的面积之比为2：3，则