模型09 逆等线最值模型（原卷版）

两线段和的最值问题, 大家首先想到的都是 “将军饮马”问题， 即要求的两条线段有公共 端点,或者平移后有公共端点 除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中, 两条动线 段始终保持着相等, 我们可以在等线段处构造全等, 从而将要求的两条线段拼接到一起，这就是 今天咱们要说的逆等线最值问题 讲逆等线模型之前我们先来一波回忆： 下图大家应该很熟： D 为动点！特殊化证明：DE+DF 的和为定值 一般化证明：DE+DF 的和为定值 只要保证DE，DF 与腰的夹角相等，总会有：DE+DF 的和为定值的结论！ 证明思路： 作G∥FD，D∥B 易得红蓝全等，黄色平四 ∴DE＋DF＝＋G＝G（定长） 另证易得：△DE∽△DFB ∵D＋BD 为定值∴DE＋DF 为定值 引申：D 在线段B 外时差为定值（证明同理） 然后将这个角一路的改变也相当于做腰的平行线！ 此图即产生了逆等线，所谓逆等线，逆向也相等！ 模型介绍 大 招 逆等线最值模型 考点一:等腰三角形中的逆等线模型 【例1】．如图，在等腰△B 中，B＝＝5，B＝6，点D、E 分别是B、上两动点，且D＝ E，连接D、BE，D+BE 最小值为 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，B＝＝8，B＝4 ，D 为B 边的中点，点E、F 分别是线 段、D 上的动点，且F＝E，则BE+F 的最小值是 ． 【变式1-2】．如图，已知直线B：y＝ 分别交x 轴、y 轴于点B、两点， （3，0），D、E 分别为线段和线段上一动点，BE 交y 轴于点，且D＝E．当BD+BE 的 值最小时，则点的坐标为（ ） 例题精讲 ．（0，4） B．（0，5） ． D． 考点二:等边三角形中的逆等线模型 【例2】如图，D 为等边△B 的高，E、F 分别为线段D、上的动点，且E＝F，当BF+E 取 得最小值时，∠FB＝ °． 变式训练 【变式2-1】．如图，是正三角形B 中B 边上的高，在点，处各有一只电子乌龟P 和Q 同 时起步以相同的速度分别沿，向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B 点距离之和 PB+QB 最小时，∠PBQ 的度数为 ． 【变式2-2】．在等边△B 中，B＝4，点E 在边B 上，点F 在∠B 的角平分线D 上，E＝F， 则E+F 的最小值为 ． 考点三：直角三角形中逆等线模型 【例3】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝6，B＝4，D，E 分别是，B 上的动点，且D ＝BE，连结BD，E，则BD+E 的最小值为 ． 变式训练 【变式3-1】．如图，Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，D，E 为B 边上的两个动点，且D＝ BE，连接D，E，若＝2，则D+E 的最小值为 ． 【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，点M，分别为B，上的动点，且 ＝M，B＝ ．当M+B 的值最小时，M 的长为 ． 考点四：一般三角形中的逆等线模型 【例4】．在△B 中，∠B＝60°，B＝8，＝10，点D、E 在B、边上，且D＝E，则D+BE 的 最小值 ． 变式训练 【问题背景】（1）如图（1），E 为△B 的边B 上的一点，E＝B，过点作D∥B，且D＝B， 连接DE，求证：△DE≌△B； 【变式迁移】（2）如图（2），在△B 中，＝B，BD 平分∠B，点E 在B 上，且E＝D，若点 分别到B，BD 的距离之比为m，求证： ； 【拓展创新】（3）如图（3），在△B 中，∠B＝45°， ，＝6，D，E 分别是，B 上 的点，且E＝D，直接写出E+BD 的最小值 考点五：正方形中的逆等线模型 【例5】如图，正方形BD 的边长为6，点E、F 分别在B、B 上，且E＝BF，E 与DF 交于 点P，连接BP，求BP 的最小值． 变式训练 【5-1】已知正方形BD 的边长为1，点E，F 分别是边B，D 上的两个动点，且满足BE＝ F，连接E，F，则E+F 的最小值为 ． 考点六：矩形中的逆等线模型 【例6】如图，矩形BD 中，B＝2，D＝3，点E、F 分别为边B、D 上的动点，且E＝F， 则BF+E 的最小值为 ． 变式训练 【6-1】如图，矩形BD 中，B＝3，D＝4，点E、F 分别是边B 和对角线BD 上的动点，且 BE＝DF，则E+F 的最小值是 ． 【6-2】如图，在矩形BD 中，D＝4，B＝4 ，E，F 分别是BD，B 上的一动点，且BF＝ 2DE，则F+2E 的最小值是 ． 考点七：菱形中的逆等线模型 【例7】．如图，菱形BD 中，∠B＝60°，B＝2，E、F 分别是边B 和对角线BD 上的动点， 且BE＝DF，则E+F 的最小值为 ． 变式训练 【7-1】如图，在菱形BD 中，∠BD＝120°，D＝4，M，分别是边B，D 的动点，满足M＝ D，连接M、，E 是边M 上的动点，F 是M 上靠近的四等分点，连接E、BE、F，当△F 面积最小时， BE+E 的最小值为 ． 【7-2】．如图，在菱形BD 中，∠BD＝120°，B＝6，连接BD． （1）求BD 的长； （2）点E 为线段BD 上一动点（不与点B，D 重合），点F 在边D 上，且BE＝ DF． ①当E⊥B 时，求四边形BEF 的面积； ②当四边形BEF 的面积取得最小值时，E+ F 的值是否也最小？如果是，求E+ F 的最小值；如果不是，请说明理由． 1．如图，在边长为 的等边△B 中，动点D，E 分别在B，边上，且保持E＝D，连接 BE，D，相交于点P，则P 的最小值为 ． 2 如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝B＝4，动点D，E 分别在B，B 边上，且BE＝ D．连 接D，E 相交于点P，连接BP，则△D∽△ ，BP 的最小值为 ． 3 如图，D 为等腰△B 的高，B＝＝5，B＝3，E、F 分别为线段D、上的动点，且E＝F，则 BF+E 的最小值为 ． 实战演练 4．如图，BD 是⊙内接矩形，半径r＝2，B＝2，E，F 分别是，D 上的动点，且E＝F，则 BE+BF 的最小值是（ ） ． B．2 ．3 D．4 5 如图，菱形BD 中，∠B＝60°，B＝3，E、F 分别是边B 和对角线BD 上的动点，且BE＝ DF，则E+F 的最小值为 ． 6．如图（1），在△B 中，B＝，∠B＝90°，边B 上的点D 从顶点出发，向顶点B 运动，同 时，边B 上的点E 从顶点B 出发，向顶点运动，D，E 两点运动速度的大小相等，设x＝ D，y＝E+D，y 关于x 的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐 标是 ． 7 如图，在△B 中，B＝＝10，B＝12，D⊥B 于点D，点E、F 分别是线段B、D 上的动点， 且BE＝F，则BF+E 的最小值为 ． 8．如图，等边△B 内部有一点D，DB＝3，D＝4，∠BD＝150°，在B、上分别有一动点E、 F，且E＝F，则DE+DF 的最小值是（ ） ．5 B．3 ．2 D．7 9 如图，△B 是等边三角形，B＝6，过点的⊙分别交、B 于点D、E，且D＝BE，则的最小值 为 ． 10．如图，M 为矩形BD 中D 边中点，E、F 分别为B、D 上的动点，且BE＝2DF，若B＝ 1，B＝2，则ME+2F 的最小值为 ．