圆 模型（三十六）——四点共圆模型 四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一圆上，则称这四个点共圆 知识点一：四点共圆的性质 ◎结论1：如图 、B、、D 四点共圆 ①同侧共底的两个三角形顶角相等（同弧所对的圆周角相等） ∠B＝∠DB，B 为底；∠B＝∠BD，B 为底； ∠D＝∠BD，D 为底；∠BD＝∠D，D 为底； ②圆内接四边形的对角互补 知识点二：四点共圆的判定 ①若四个点到一个点的距离相等，则这四个点在同一圆上（四点共圆） 【证明】【共斜边直角三角形】： 取斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半 ＝B＝＝D， ∴、B、、D 四点共圆 ②若四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆 若∠＋∠＝180º,则、B、、D 四点共圆 ①假设点在⊙内，在上方⊙上取一点P， B,,D,P ∵ 四点共圆，∴∠P＋∠＝180°，∵∠＋∠＝180°，∴∠＝∠P 而图中∠＝∠P＋∠PB＋∠PD，即∠＞∠P 与∠＝∠P 矛盾 ∴假设不成立，点不在圆内 ②假设点在⊙外，在上方⊙上取一点P， B,,D,P ∵ 四点共圆，∴∠P＋∠＝180°，∵∠＋∠＝180°，∴∠＝∠P 而图中∠＝∠P＋∠PB＋∠PD，即∠＞∠P

圆 模型（三十六）——四点共圆模型 四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一圆上，则称这四个点共圆 知识点一：四点共圆的性质 ◎结论1：如图 、B、、D 四点共圆 ①同侧共底的两个三角形顶角相等（同弧所对的圆周角相等） ∠B＝∠DB，B 为底；∠B＝∠BD，B 为底； ∠D＝∠BD，D 为底；∠BD＝∠D，D 为底； ②圆内接四边形的对角互补 知识点二：四点共圆的判定 ①若四个点到一个点的距离相等，则这四个点在同一圆上（四点共圆） 【证明】【共斜边直角三角形】： 取斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半 ＝B＝＝D， ∴、B、、D 四点共圆 ②若四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆 若∠＋∠＝180º,则、B、、D 四点共圆 ①假设点在⊙内，在上方⊙上取一点P， B,,D,P ∵ 四点共圆，∴∠P＋∠＝180°，∵∠＋∠＝180°，∴∠＝∠P 而图中∠＝∠P＋∠PB＋∠PD，即∠＞∠P 与∠＝∠P 矛盾 ∴假设不成立，点不在圆内 ②假设点在⊙外，在上方⊙上取一点P， B,,D,P ∵ 四点共圆，∴∠P＋∠＝180°，∵∠＋∠＝180°，∴∠＝∠P 而图中∠＝∠P＋∠PB＋∠PD，即∠＞∠P

圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共 圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点 共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四 点共圆的四种重要模型。 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 简称为“四点共圆”。 模型1、定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于 定长点的集合。 条件：如图，平面内有五个点、、B、、D，使得=B==D， 结论：、B、、D 四点共圆（其中圆心为）。 例1．（2023 春·广东梅州·九年级校考期中）如图，量角器的直径与直角三角板B 的斜边 重合（ ），其中量角器0 与量角器的半圆弧交于点E，第20 秒时点E 在量角器上运动路径长是 ． 【答】 【分析】首先连接 ，由 ，易得点 ， ， ，共圆，然后由圆周角定理，求得点E 在量角 器上对应的读数． 【详解】解：连接 ， ∵ ，∴，B，在以点为圆心，B 为直径的圆上，∴点E，，B，共圆， ∵ ，∴ ． ∴点E 在量角器上运动路径长 ，故答为：2π． 【点睛】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注

圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共 圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点 共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四 点共圆的四种重要模型。 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 称为“四点共圆”。 模型1、定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于 定长点的集合。 条件：如图，平面内有五个点、、B、、D，使得=B==D， 结论：、B、、D 四点共圆（其中圆心为）。 例1．（2023 春·广东梅州·九年级校考期中）如图，量角器的直径与直角三角板B 的斜边 重合（ ），其中量角器0 ； 若 ，则 的值为 ． 模型2、定边对双直角共圆模型 A B C D E E D C B A 同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：若平面上、B、、D 四个点满足 ， 结论：、B、、D 四点共圆，其中D 为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：若平面上、B、、D

与圆有关的6 种模型 （四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理） 目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 义） 若一个四边形的一组对角互补， 则这个四边形的四个点共圆 O A B D C 反证法 O A B D C 若一个四边形的外角等于它的内 对角，则这个四边形的四个点共 圆 O A B D C E 反证法 同侧共边三角形且公共边所对角 相等的四个顶点共圆 O B C A D 反证法 共斜边的两个直角三角形的四个 顶点共圆 适用范围：双直角三角形共斜边 模型 可得=B==D ∴点、B、、D 四点共圆 在⊙中，若弦B、D 相交于点P , 且P•DP=BP•P，则,B,,D 四点 共圆（相交弦定理的逆定理） 在△PB 和△PD 中 P•DP=BP•P ∠3=∠4 △PB∽△PD ∠1=∠2 ∴ ∴ 则、B、、D 四点共圆 在⊙中，若B、D 两线段延长后 相交于点P , 且P•BP=DP•P ， 则,B,,D 四点共圆（割线定理） 在△P 和△DPB

与圆有关的6 种模型 （四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理）目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 义） 适用范围：题目出现共端点，等 若一个四边形的一组对角互补， 则这个四边形的四个点共圆 O A B D C 反证法 若一个四边形的外角等于它的内 对角，则这个四边形的四个点共 圆 O A B D C E 反证法 同侧共边三角形且公共边所对角 相等的四个顶点共圆 O B C A D 反证法 共斜边的两个直角三角形的四个 顶点共圆 适用范围：双直角三角形共斜边 模型 连接、D 可得=B==D ∴点、B、、D 四点共圆 在⊙中，若弦B、D 相交于点P , 且P•DP=BP•P，则,B,,D 四点 共圆（相交弦定理的逆定理） 在△PB 和△PD 中 P•DP=BP•P ∠3=∠4 △PB∽△PD ∠1=∠2 ∴ ∴ 则、B、、D 四点共圆 在⊙中，若B、D 两线段延长后 相交于点P , 且P•BP=DP•P ， 则,B,,D 四点共圆（割线定理） 在△P 和△DPB

【模型精讲】 模型一、动点定长模型 若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 模型二、直角圆周角模型 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 模型三、四点共圆模型 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 【真题精选】 1（2020·成都）如图，在矩形 中， ， ， ， 分别为 与PQ 交于点M，连接BM，取BM 的中点，连接，如图2， ∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，∴ ， ∵EF=3，∴FM=1，ME=2，∴ ， ∠ ∵ BM=∠BEM=90°，∴B、E、、M 四点共圆，且圆心为点， ∴ ，∴当D、、三点共线时，D 的长度最小， 连接D，过点作⊥D 于点，作K⊥B 于点K，如图3，则K=BK=1， ∴=2，=1，∴D=3，则在Rt△D 中， ， ∴D 的最小值=D－= 即可． O P A B C C B A O P 例3（四点共圆模型）如图， ∽ ， ， ， ， 是 的中点，若点 是直线 上的动点，连接 ，则 的最小值是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：∵△B DE ∽△ ，DE＝∠BE，∴点，D，B，E 四点共圆， DE ∵∠ ＝90°，∴∠DBE＝90°，∵F 是DE 的中点，∴BF＝ DE，

考点六、四点共圆 1 四点共圆的定义 四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简 称为“四点共圆” 2 证明四点共圆一些基本方法： 1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一 点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距 2 如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆． （若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 3 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补 角的内对角时，即可肯定这四点共圆． 4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段 之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段， 若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成 的两线段之积，即可肯定这四点也共圆． 即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理 证四点共圆 典例17：综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶 点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点B，D，连接D，B，B，D，如果∠B＝∠D，那么，B，，D

原理：圆中，B==P 则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 备注：常转全等或相似证明出定长 （2）直角圆周角模型 固定线段B 所对动角∠恒为90° 原理：圆中，圆周角为90°所对弦是直径 则、B、三点共圆，B 为直径 备注：点P 在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型① 模型介绍 若动角∠+动角∠=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则、B、、D 四点共圆 备注：点与点在线段B 异侧 （5）四点共圆模型② 固定线段B 所对同侧动角∠P= 所对同侧动角∠P= ∠ 原理：弦B 所对同侧圆周角恒相等 则、B、、P 四点共圆 备注：点P 与点需在线段B 同侧 R【点睛2】圆中旋转最值问题 条件：线段B 绕点旋转一周，点M 是线段B 上的一动点，点是定点 （1）求M 最小值与最大值 （2）求线段B 扫过的面积 （3）求 最大值与最小值

原理：圆中，B==P 则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 备注：常转全等或相似证明出定长 （2）直角圆周角模型 固定线段B 所对动角∠恒为90° 原理：圆中，圆周角为90°所对弦是直径 则、B、三点共圆，B 为直径 备注：点P 在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型① 模型介绍 若动角∠+动角∠=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则、B、、D 四点共圆 备注：点与点在线段B 异侧 （5）四点共圆模型② 固定线段B 所对同侧动角∠P= 所对同侧动角∠P= ∠ 原理：弦B 所对同侧圆周角恒相等 则、B、、P 四点共圆 备注：点P 与点需在线段B 同侧 R【点睛2】圆中旋转最值问题 条件：线段B 绕点旋转一周，点M 是线段B 上的一动点，点是定点 （1）求M 最小值与最大值 （2）求线段B 扫过的面积 （3）求 最大值与最小值