模型24 辅助圆系列最值模型（解析版）(1)

R【点睛1】触发隐圆模型的条件 （1）动点定长模型 若P 为动点，但B==P 原理：圆中，B==P 则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 备注：常转全等或相似证明出定长 （2）直角圆周角模型 固定线段B 所对动角∠恒为90° 原理：圆中，圆周角为90°所对弦是直径 则、B、三点共圆，B 为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 （3）定弦定角模型 固定线段B 所对动角∠P 为定值 原理：弦B 所对同侧圆周角恒相等 则点P 运动轨迹为过、B、三点的圆 备注：点P 在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型① 模型介绍 若动角∠+动角∠=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则、B、、D 四点共圆 备注：点与点在线段B 异侧 （5）四点共圆模型② 固定线段B 所对同侧动角∠P= ∠ 原理：弦B 所对同侧圆周角恒相等 则、B、、P 四点共圆 备注：点P 与点需在线段B 同侧 R【点睛2】圆中旋转最值问题 条件：线段B 绕点旋转一周，点M 是线段B 上的一动点，点是定点 （1）求M 最小值与最大值 （2）求线段B 扫过的面积 （3）求 最大值与最小值 作法：如图建立三个同心圆，作M B ⊥，B、、M 运动路径分别为大圆、中圆、小圆 R 结论： ①M1最小，M3最大 ②线段B 扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积 ③ 最小值以B 为底，M1为高；最大值以B 为底，M2为高 考点一：定点定长构造隐圆 【例1】．如图，已知B＝＝D，∠BD＝2∠BD，∠B＝44°，则∠D 的度数为 ． 解：∵B＝＝D， ∴B，，D 在以为圆心，B 为半径的圆上， ∴∠D＝2∠BD，∠B＝2∠BD， ∵∠BD＝2∠BD，∠B＝44°， ∴∠D＝2∠B＝88°．故答为：88° 变式训练 【变式1-1】．如图所示，四边形BD 中，D∥B，B＝1，B＝＝D＝2．则BD 的长为（ ） ． B． ． D． 解：以为圆心，B 长为半径作圆，延长B 交⊙于F，连接DF． ∵D∥B， ∴ ＝ ， ∴DF＝B＝1，BF＝2+2＝4， ∵FB 是⊙的直径， ∴∠FDB＝90°， ∴BD＝ ＝ ． 故选：B． 例题精讲 【变式1-2】．如图，点，B 的坐标分别为（4，0），B（0，4），为坐标平面内一点，B ＝2，点M 为线段的中点，连接M，M 的最大值为 ． 解：∵为坐标平面内一点，B＝2， ∴点的运动轨迹是在半径为2 的⊙B 上， 如图，取D＝＝4，连接D， ∵点M 为线段的中点， ∴M 是△D 的中位线， ∴M＝ ， ∴M 最大值时，D 取最大值，此时D、B、三点共线， 此时在Rt△BD 中，BD＝ ＝4 ， ∴D＝2+4 ， ∴M 的最大值是1+2 ． 故答为：1+2 ． 考点二：定弦定角构造隐圆 【例2】．如图，在△B 中，B＝2，点为动点，在点运动的过程中始终有∠B＝45°，则△B 面 积的最大值为 ． 解：如图，△B 的外接圆⊙，连接B、， ∵∠B＝45°， ∴∠B＝2∠B＝2×45°＝90°， 过点作D⊥B，垂足为D， ∵B＝， ∴BD＝D＝ B＝1， ∵∠B＝90°，D⊥B， ∴D＝ B＝1， ∴B＝ ＝ ， ∵B＝2 保持不变， ∴B 边上的高越大，则△B 的面积越大，当高过圆心时，最大， 此时B 边上的高为： +1， ∴△B 的最大面积是： ×2×（ +1）＝ +1． 故答为： +1． 变式训练 【变式2-1】．如图，P 是矩形BD 内一点，B＝4，D＝2，P⊥BP，则当线段DP 最短时， P＝ ． 解：以B 为直径作半圆，连接D，与半圆交于点P′，当点P 与P′重合时，DP 最短， 则＝P′＝B＝ B＝2， ∵D＝2，∠BD＝90°， ∴D＝2 ，∠D＝∠D＝∠D＝45°， ∴DP′＝D﹣P′＝2 2 ﹣， 过P′作P′E⊥D 于点E，则 P′E＝DE＝ DP′＝2﹣ ， ∴E＝D﹣DE＝ +2， ∴P′＝ ． 故答为：2 ． 【变式2-2】．如图，边长为4 的正方形BD 外有一点E，∠EB＝90°，F 为DE 的中点，连 接F，则F 的最大值为 ． 解：如图，以B 为直径作圆， ∵∠EB＝90°， ∴点E 在这个⊙上， 延长D 至P，使D＝P，连接BE，E，P，过作M⊥D 于M， ∵EF＝DF，D＝P， ∴F＝ PE， Rt△EB 中，∵是B 的中点， ∴E＝ B＝2， Rt△PM 中，由勾股定理得：P＝ ＝ ＝2 ， ∵PE≤E+P＝2+2 ， 当P，E，三点共线时，PE 最大，F 最大， ∴F 的最大值是 +1 考点三：对角互补构造隐圆 【例3】．如图，在矩形BD 中，B＝3，B＝5，点E 在对角线上，连接BE，作EF⊥BE， 垂足为E，直线EF 交线段D 于点F，则 ＝__________ 解：如图，连接BF，取BF 的中点，连接E，． ∵四边形BD 是矩形，EF⊥BE， ∴四边形EFB 对角互补， ∴B，，F，E 四点共圆， ∴∠BEF＝∠BF＝90°，B＝D＝3，B＝D＝5， ∵B＝F， ∴E＝B＝F＝， ∴B，，F，E 四点在以为圆心的圆上， ∴∠EBF＝∠EF， t ∴∠EBF＝t∠D， ∴ ＝ ＝ 变式训练 【变式3-1】．如图，在四边形BD 中，∠BD＝∠BD＝90°，∠D＝30°，D＝2，E 是的中点， 连接DE，则线段DE 长度的最小值为 ． 解：∵∠BD＝∠BD＝90°， ∴、B、、D 四点共圆，且BD 为直径，取BD 中点，则圆心为点， 连接、，取中点F，连接EF，DF， ∵∠D＝30°， ∴∠D＝60°， ∵＝D， ∴△D 为等边三角形， ∴＝D＝＝D＝2， ∴∠FD＝90°，则DF＝ ， ∵EF 是△的中位线， ∴EF＝ ＝1， 在△DEF 中，DF﹣EF≤DE， ∴当D、E、F 三点共线时，DE 取到最小，最小值为 ． ∴DE 的最小值为 ． 【变式3-2】．如图，正方形BD 的边长为2，点E 是B 边上的一动点，点F 是D 上一点， 且E＝DF，F、DE 相交于点，B＝B，则的值为 ． 解：如图 ∵四边形BD 是正方形， ∴D＝D，∠DF＝∠ED＝∠B＝90°， ∵DF＝E， ∴△DF≌△DE， ∴∠DF＝∠ED， ∵∠ED+∠D＝90°， ∴∠DF+∠D＝90°， ∴∠D＝90°， ∴四边形BE 对角互补， ∴、B、E、四点共圆， 取E 的中点K，连接BK、K，作M⊥D 于M． 则KB＝K＝KE＝K， ∵B＝B， ∴∠B＝∠B＝∠EB＝∠DE， ∵B＝D，∠BE＝∠DE，∠EB＝∠DE， ∴△BE≌△DE， ∴BE＝E＝1， ∴DF＝E＝F＝1， ∴DE＝ ＝ ， ∵△DF∽△DE， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴D＝ ，F＝ ， ∵ •D•F＝ •DF•M， ∴M＝ ， ∴MF＝ ＝ ， ∴M＝1+ ＝ ， 在Rt△M 中，＝ ＝ ， 故答为 ． 1．如图，在平面直角坐标系中，点、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），以点为圆心， 以B 长为半径画弧交x 轴上点，则点的坐标为（ ） ．（5，0） B．（2，0） ．（﹣8，0） D．（2，0）或（﹣8，0） 解：∵点、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4）， ∴＝3，B＝4， ∴B＝ ＝5， ′ ∴＝5，＝5， ′ ∴点坐标为（2，0）；点坐标为（﹣8，0）． 故选：D． 2．如图，在矩形BD 中，已知B＝3，B＝4，点P 是B 边上一动点（点P 不与B，重合）， 连接P，作点B 关于直线P 的对称点M，则线段M 的最小值为（ ） ．2 B． ．3 D． 实战演练 解：连接M， ∵点B 和M 关于P 对称， ∴B＝M＝3， ∴M 在以圆心，3 为半径的圆上， ∴当，M，三点共线时，M 最短， ∵＝ ，M＝B＝3， ∴M＝5 3 ﹣＝2， 故选：． 3．如图，在矩形BD 中，B＝8，B＝6，点P 在矩形的内部，连接P，PB，P，若∠PB＝ ∠PB，则P 的最小值是（ ） ．6 B． ﹣3 ．2 4 ﹣ D．4 4 ﹣ 解：∵四边形BD 是矩形， ∴∠B＝90°， ∴∠BP+∠PB＝90°， ∵∠PB＝∠PB， ∴∠PB+∠PB＝90°， ∴∠PB＝90°， ∴点P 在以B 为直径的圆上运动，设圆心为，连接交⊙于P，此时P 最小， ∵＝ ＝ ＝2 ， ∴P 的最小值为2 4 ﹣， 故选：． 4．如图所示，∠M＝45°，Rt△B，∠B＝90°，B＝6，＝8，当、B 分别在射线M、上滑动时， 的最大值为（ ） ．12 B．14 ．16 D．14 解：如图，在Rt△B 中，由勾股定理得B＝ ， 在B 的下方作等腰直角△QB，∠QB＝90°，作B⊥Q 于， ∴点在以点Q 为圆心，QB 为半径的圆上， ∵∠QB+∠B＝180°， ∴点、、B、Q 共圆， ∴∠BQ＝∠BQ＝45°， ∴B＝＝3 ， 在Rt△BQ 中，由勾股定理得Q＝4 ， ∴Q＝7 ， 当点、Q、共线时，最大， ∴的最大值为Q+Q＝5 +7 ＝12 ， 故选：． 5．如图，已知B＝＝D，∠BD＝2∠BD，∠B＝44°，则∠D 的度数为 ． 解：∵B＝＝D， ∴B，，D 在以为圆心，B 为半径的圆上， ∴∠D＝2∠BD，∠B＝2∠BD， ∵∠BD＝2∠BD，∠B＝44°， ∴∠D＝2∠B＝88°． 故答为：88°． 6．如图示，，B 两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点在y 轴上，且∠B＝45°，则 点的坐标为 ． 解：在x 轴的上方作等腰直角△BF，FB＝F，∠BF＝90°，以F 为圆心，F 为半径作⊙F 交y 轴于，连接B，． ∵∠B＝ ∠FB＝45°， ∵B（﹣2，0），（3，0），△BF 是等腰直角三角形， ∴F（ ， ），F＝FB＝F＝ ，设（0．m）， 则（ ）2+（ ﹣m）2＝（ ）2， 解得m＝6 或﹣1（舍弃） ∴（0，6）， 根据对称性可知′（0，﹣6）也符合条件， 综上所述，点的坐标为（0，6）或（0，﹣6）． 故答为（0，6）或（0，﹣6）． 7．如图，Rt△B 中，B⊥B，B＝6，B＝4，P 是△B 内部的一个动点，且满足∠PB+∠PB＝ 90°，则线段P 长的最小值为 2 ． 解：∵∠PB+∠PB＝90°， ∴∠PB＝90°， ∴P 在以B 为直径的圆周上（P 在△B 内部）， 连接，交⊙于P，此时P 的值最小，如图， ∵B＝6， ∴B＝3， ∵B＝4， ∴由勾股定理得：＝5， ∴P＝5 3 ﹣＝2， 故答为：2． 8．在△B 中，B＝4，∠＝45°，则 +B 的最大值为 ． 解：过点B 作BD⊥于点D， ∵∠＝45°， ∴△BD 为等腰直角三角形， ∴BD＝D， 设BD＝D＝，延长至点F，使得F＝， t ∵∠FB＝ ＝ ， 作△BF 的外接圆⊙，过点作E⊥B 于点E，则E＝ B＝2，∠E＝∠FB， t ∴∠E＝ ， ∴E＝4，＝ ＝ ， ∴ +B＝ （+ B）＝ （+F）＝ ≤ （+F）， ∴ +B 的最大值为 × ＝4 ． 故答为： ． 9．如图，等边△B 中，B＝6，点D、点E 分别在B 和上，且BD＝E，连接D、BE 交于点 F，则F 的最小值为 ． 解：如图，∵△B 是等边三角形， ∴B＝B＝，∠B＝∠B＝∠BE＝60°， ∵BD＝E， ∴△BD≌△BE（SS） ∴∠BD＝∠BE， 又∵∠FE＝∠BD+∠BE， ∴∠FE＝∠BE+∠BE＝∠B， ∴∠FE＝60°， ∴∠FB＝120°， ∴点F 的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动（∠B＝120°，＝2 ）， 连接交⊙于，当点F 与重合时，F 的值最小，最小值＝﹣＝4 2 ﹣ ＝2 ． 故答为2 ． 10．如图，正方形BD 中，B＝2，动点E 从点出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向 点运动，点E、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段 F、BE 相交于点P，则线段DP 的最小值为 ． 解：如图： ， ∵动点F，E 的速度相同， ∴DF＝E， 又∵正方形BD 中，B＝2， ∴D＝B， 在△BE 和△DF 中， ， ∴△BE≌△DF， ∴∠BE＝∠DF． ∵∠BE+∠BE＝90°， ∴∠FD+∠BE＝90°， ∴∠PB＝90°， ∵点P 在运动中保持∠PB＝90°， ∴点P 的路径是一段以B 为直径的弧， 设B 的中点为G，连接G 交弧于点P，此时P 的长度最小， G＝BG＝ B＝1． 在Rt△BG 中，DG＝ ＝ ＝ ， ∵PG＝G＝1， ∴DP＝DG﹣PG＝ ﹣1 即线段DP 的最小值为 ﹣1， 故答为： ﹣1． 11．如图，四边形BD 中，∠B＝∠D＝∠D＝45°，△DB 的面积为8，则B 长为 ． 解：如图，作D⊥B 交B 的延长线于，取D 的中点，连接，B． ∵D⊥B， ∴∠D＝90°， ∴四边形D 对角互补， ∴，，，D 四点共圆， ∵∠D＝90°，＝D， ∴＝D＝＝， ∴，，，D 四点在以为圆心的圆上， ∵＝D， ∴∠＝∠D＝45°，（没有学习四点共圆，可以这样证明：过点作M⊥D 于M，过点作 ⊥B 于，证明△MD≌△，推出M＝，推出平分∠M 即可） ∵∠B＝45°， ∴∠B＝90°， ∴B＝， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠B＝∠D， ∵＝D，B＝， ∴△B≌△D（SS）， ∴B＝D， ∴S△BD＝ ×B×D＝ ×B2＝16， ∴B＝4 或﹣4（舍弃）， 故答为4． 12．已知：在△B 中，B＝＝6，∠B＝30°，E 为B 上一点，BE＝2E，DE＝D，∠D＝60°，则 D 的长 ． 解：连接E，过点作⊥B 于点，在Rt△B 中， ∵∠B＝30°，∴＝ B＝3． 利用勾股定理可得B＝3 ， 根据等腰三角形性质可知＝B＝3 ，B＝6 ． ∴E＝ B＝2 ． ∴E＝﹣E＝ ． 在Rt△E 中，由勾股定理可求E＝2 ． 所以E＝E，∠E＝∠B＝30°， 所以∠EB＝60°＝∠D， ∴四边形ED 对角互补， ∴点、D、、E 四点共圆， ∴∠DE＝∠E＝30°， 所以∠DE＝∠D﹣∠DE＝30°． ∵DE＝D，∴∠DE＝75°． ∴∠ED＝120° 75° ﹣ ＝45°． 过点作M⊥DE 于M 点， 则M＝ E＝ ． 在Rt△MD 中，∠DM＝30°， ∴D＝2M＝ ． 故答为2 ． 13．如图，在正方形BD 中，D＝6，点E 是对角线上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED， 连接DF 交于点G，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM．连接DM．交EF 于点．若F＝ 2．则△EM 的面积是 ． 解：如图，取DF 的中点K，连接K，EK．连接GM 交EF 于． ∵四边形D 是正方形， ∴D＝B＝6，∠DB＝90°，B∥D，∠D＝∠B＝45°， ∵DE⊥EF， ∴∠DEF＝∠DF＝90°， ∴四边形FED 对角互补， ∴，F，E，D 四点共圆， ∵DK＝KF， ∴K＝KD＝KF＝KE， ∴∠DFE＝∠DE＝45°， ∴∠EDF＝∠EFD＝45°， ∴DE＝EF， ∵F＝2，D＝6， ∴DF＝ ＝2 ， ∴DE＝DF＝2 ， ∵F∥D， ∴ ＝ ＝ ， ∴FG＝FM＝ ， ∴GM＝ FM＝ ， ∴F＝G＝M＝ ， ∵EF⊥GM， ∴G＝M＝ ， ∴E＝EF﹣F＝2 ﹣ ＝ ， ∵M∥DE， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴E＝ E＝ ， ∴S△EM＝ •E•M＝ • • ＝ ． 故答为 ． 14．如图，在正方形BD 中，D＝8，点E 是对角线上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED， 交B 于点F，连接DF，交于点G，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM，连接DM，交EF 于点，若点F 是B 的中点，则FM＝ ， ＝ ． 解：∵将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM， ∴FG＝FM， ∵四边形BD 是正方形， ∴B∥D， ∴△GF∽△GD， ∴ ， ∵点F 是B 的中点， ∴F＝ D， ∴ ， ∵D＝8， ∴F＝4， ∴DF＝ ＝4 ， ∴FM＝FG＝ ； ∵是正方形BD 的对角线， ∴∠D＝45°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°＝∠BD， ∴∠BD+∠DEF＝180°， ∴点，D，E，F 四点共圆， ∴∠DFE＝∠D＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴DE＝EF＝ DF＝2 ， 连接GM，交EF 于P， 由折叠知，PG＝PM，GM⊥EF， ∵DE⊥EF， ∴GM∥DE， ∴△FPG∽△FED， ∴ ， ∴PF＝ EF＝ ， ∴PE＝EF﹣PF＝ ， ∵GM∥DE， ∴△MP∽△DE， ∴ ， ∴ ， ∴E＝ PE＝ ， 在Rt△DE 中， ， 故答为： ； ． 15．如图，在矩形BD 中，B＝6，D＝8，点E，F 分别是边D，B 上的动点，且∠FE＝90° （1）证明：△BF∽△FE； （2）当DE 取何值时，∠ED 最大． （1）证明：∵四边形BD 是矩形， ∴∠B＝∠＝90°， ∵∠FE＝90°， ∴∠FB+∠EF＝90°，∵∠EF+∠FE＝90°， ∴∠FB＝∠FE， ∴△BF∽△FE． （2）取E 的中点，连接D、F． ∵∠FE＝∠DE＝90°（对角互补）， ∴、D、E、F 四点共圆， ∴∠ED＝∠FD， ∴当⊙与B 相切时，∠FD 的值最大，易知BF＝F＝4， ∵△BF∽△FE， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴E＝ ， ∴DE＝D﹣E＝6﹣ ＝ ． ∴当DE＝ 时，∠ED 的值最大． 16．如图，将两张等腰直角三角形纸片B 和D 放置在平面直角坐标系中，点（0，0）， （0，4）．将Rt△D 绕点顺时针旋转，连接，BD，直线与BD 相交于点P． （1）求证：P⊥BP； （2）若点Q 为的中点，求PQ 的最小值．