知识必备10 圆（公式、定理、结论图表）-中考数学必背知识手册

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 知识必备10 圆（公式、定理、结论图表） 考点一、圆的有关概念 1 圆的定义 如图所示，有两种定义方式： ①在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的 图形叫做圆．固定的端点叫做圆心，以为圆心的圆记作⊙，线段叫做半径； ②圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 2 与圆有关的概念 ①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段B，B，都是弦． ②直径：经过圆心的弦叫做直径，如是⊙的直径，直径是圆中最长的弦． ③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线B、B 都是⊙中的弧，分别 记作 ， ． ④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如 是 半圆． ⑤劣弧：像 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧． ⑥优弧：像 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧． ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆． ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆． ⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠B，∠B 是圆心角． 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠B、∠B 都是圆周 角． 要点诠释： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一 半 圆内角度数等于它所夹弧的度数的和的一半 典例1：如图，B 是⊙的弦，⊥B，垂足为，D∥B，＝ D，则∠BD 的度数为（ ） ．90° B．95° ．100° D．105° 【分析】连接B，则＝ B，由⊥B，则∠B＝30°，再由D∥B，即可求出答． 【解答】解：如图： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 连接B，则B＝D， ∵＝ D， ∴＝ B， ∵⊥B， ∴∠B＝30°， ∵D∥B， ∴∠BD＝∠B＝30°， ∴∠BD＝∠DB＝75°， ∠BD＝30°+75°＝105°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确 作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键． 考点二、圆的有关性质 1 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆 心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2 垂径定理 ①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧． ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示． 要点诠释：在图中(1)直径D，(2)D⊥B，(3)M＝MB，(4) ，(5) ． 若上述5 个条件有2 个成立，则另外3 个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制B 不能为直径． 3 弧、弦、圆心角之间的关系 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； ②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余 各组量也相等． 4 圆周角定理及推论 ①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半． ②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直 径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 典例2：石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有 1400 年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2 是根据某石拱桥的实物图画出的几何图 形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 ．桥的跨度（弧所对的弦长）B＝26m，设 所在 圆的圆心为，半径⊥B，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）D＝5m．连接B． （1）直接判断D 与BD 的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）． 【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论； （2）设主桥拱半径为R，在Rt△BD 中，根据勾股定理列出R 的方程便可求得结果． 【解答】解：（1）∵⊥B， ∴D＝BD； （2）设主桥拱半径为R，由题意可知B＝26，D＝5， ∴BD＝ B＝13， D＝﹣D＝R 5 ﹣， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∵∠DB＝90°， ∴D2+BD2＝B2， ∴（R 5 ﹣）2+132＝R2， 解得R＝194≈19， 答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m． 【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理．此题难度不大，解题的关键是方程思想的应 用． 典例3：牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有 个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子 爬来爬去，如图是月亮洞的截面示意图． （1）科考队测量出月亮洞的洞宽D 约是28m，洞高B 约是12m，通过计算截面所在圆 的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到01m）； （2）若∠D＝162°，点M 在 上，求∠MD 的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大 圣”点M 在洞顶 上巡视时总能看清洞口D 的情况． 【分析】（1）设＝＝Rm，利用勾股定理求出R 即可； （2）补全⊙，在D 的下方取一点，连接，D，M，DM，利用圆周角定理，圆内接四边 形的性质求解即可． 【解答】解：（1）设＝＝Rm， ∵⊥D， ∴B＝BD＝ D＝14m， 在Rt△B 中，2＝B2+B2， ∴R2＝142+（R 12 ﹣ ）2， ∴R＝ ， ∴＝ ≈142m． （2）补全⊙，在D 的下方取一点，连接，D，M，DM， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∵∠＝ ∠D＝81°， ∵∠MD+∠＝180°， ∴∠MD＝99°． ∵∠MD＝99°不变，是定值， “ ∴齐天大圣”点M 在洞顶 上巡视时总能看清洞口D 的情况． 【点评】本题考查垂径定理的应用，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的 关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 典例4：如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β 的比值为黄金比时， 扇子会显得更加美观，若黄金比取06，则β﹣α 的度数是 90° ． 【分析】根据已知，列出关于α，β 的方程组，可解得α，β 的度数，即可求出答． 【解答】解：根据题意得： ， 解得 ， ∴β﹣α＝225° 135° ﹣ ＝90°， 故答为：90°． 【点评】本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360°和已知，列出方程组． 典例5：如图，四边形BD 内接于⊙，BD 为⊙的直径，平分∠BD，D＝2 ，点E 在B 的延 长线上，连接DE． （1）求直径BD 的长； （2）若BE＝5 ，计算图中阴影部分的面积． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 【分析】（1）由BD 为⊙的直径，得到∠BD＝90°，平分∠BD，得到∠B＝∠D，所以B＝ D，△BD 是等腰直角三角形，即可求出BD 的长； （2）因为B＝D，所以阴影的面积等于三角形DE 的面积． 【解答】解：（1）∵BD 为⊙的直径， ∴∠BD＝∠DE＝90°， ∵平分∠BD， ∴∠B＝∠D， ∴B＝D＝2 ， ∴BD＝2 × ＝4； （2）∵BE＝5 ， ∴E＝3 ， ∵B＝D， ∴S 阴影＝S△DE＝ ×2 × ＝6． 【点评】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算， 熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 考点三、与圆有关的位置关系 1 点与圆的位置关系 如图所示．d 表示点到圆心的距离，r 为圆的半径．点和圆的位置关系如下表： 点与圆的位置关系 d 与r 的大小关系 点在圆内 d＜r 点在圆上 d＝r 点在圆外 d＞r 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 要点诠释： (1)圆的确定： ①过一点的圆有无数个，如图所示． ②过两点、B 的圆有无数个，如图所示． ③经过在同一直线上的三点不能作圆． ④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示． (2)三角形的外接圆 经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做 三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的 内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距 离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示． 2 直线与圆的位置关系 ①设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ②圆的切线． 切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点． 切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 友情提示：直线l 是⊙的切线，必须符合两个条件：①直线l 经过⊙上的一点；② ⊥l． 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连 线平分这两条切线的夹角． ③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心 叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角 平分线的交点． 要点诠释： 找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点． 三角形外心、内心有关知识比较 3 圆与圆的位置关系 在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5 种位置关系，其中R、r 为两圆半径 (R≥r)．d 为圆心距． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 要点诠释： ①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况． ③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． “r ④ 1－r2”时，要特别注意，r1＞r2． 典例6：如图，△B 是⊙的内接三角形，∠B＝60°，D 经过圆心交⊙于点E，连接BD，∠DB ＝30°． （1）判断直线BD 与⊙的位置关系，并说明理由； （2）若B＝4 ，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接BE，根据圆周角定理得到∠EB＝∠＝60°，连接B，根据等边三角形 的性质得到∠BD＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到∠BE＝90°，解直角三角形得到B，根据扇形和三角形的面积 公式即可得到结论． 【解答】解：（1）直线BD 与⊙相切， 理由：连接BE， ∵∠B＝60°， ∴∠EB＝∠＝60°， 连接B， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∵B＝E， ∴△BE 是等边三角形， ∴∠BD＝60°， ∵∠DB＝30°， ∴∠BD＝180° 60° 30° ﹣ ﹣ ＝90°， ∴B⊥BD， ∵B 是⊙的半径， ∴直线BD 与⊙相切； （2）∵E 是⊙的直径， ∴∠BE＝90°， ∵B＝4 ， s ∴∠EB＝s60°＝ ＝ ＝ ， ∴E＝8， ∴B＝4， ∴BD＝ B＝4 ， ∴图中阴影部分的面积＝S△BD﹣S 扇形BE＝ 4× ﹣ ＝8 ﹣ ． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形， 扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 典例7：如图，B 是⊙的直径，为⊙上一点，过点的切线与B 的延长线交于点P，若＝P＝3 ，则PB 的长为（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ． B． ． D．3 【分析】连结，根据切线的性质得到∠P＝90°，根据＝，得到∠＝∠，根据＝P，得到∠P ＝∠，在△P 中，根据三角形内角和定理求得∠P＝30°，根据含30 度角的直角三角形的性 质得到P＝2＝2r，在Rt△P 中，根据tP＝ 求出⊙的半径r 即可得出答． 【解答】解：如图，连结， ∵P 是⊙的切线， ∴∠P＝90°， ∵＝， ∴∠＝∠， ∵＝P， ∴∠P＝∠， 设∠＝∠＝∠P＝x°， 在△P 中，∠+∠P+∠P＝180°， ∴x+x+90+x＝180， ∴x＝30， ∴∠P＝30°， ∵∠P＝90°， ∴P＝2＝2r， 在Rt△P 中，tP＝ ， ∴ ＝ ， ∴r＝3， ∴PB＝P﹣B＝2r﹣r＝r＝3． 故选：D． 【点评】本题考查了切线的性质，体现了方程思想，在△P 中，根据三角形内角和定理 求得∠P＝30°是解题的关键． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 典例8：如图，以线段B 为直径作⊙，交射线于点，D 平分∠B 交⊙于点D，过点D 作直线 DE⊥于点E，交B 的延长线于点F．连接BD 并延长交于点M． （1）求证：直线DE 是⊙的切线； （2）求证：B＝M； （3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF 的长． 【分析】（1）连接D，由∠D＝∠D＝∠D 证明D∥，得∠DF＝∠ED＝90°，即可证明直线 DE 是⊙的切线； （2）由线段B 是⊙的直径证明∠DB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠BM，则 B＝M； （3））由∠EF＝90°，∠F＝30°证明∠BM＝60°，则△BM 是等边三角形，所以∠M＝60°， 则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2． 【解答】（1）证明：连接D，则D＝， ∴∠D＝∠D， ∵D 平分∠B， ∴∠D＝∠D， ∴∠D＝∠D， ∴D∥， ∵DE⊥， ∴∠DF＝∠ED＝90°， ∵D 是⊙的半径，且DE⊥D， ∴直线DE 是⊙的切线． （2）证明：∵线段B 是⊙的直径， ∴∠DB＝90°， ∴∠DM＝180°﹣∠DB＝90°， ∴∠M+∠DM＝90°，∠BM+∠DB＝90°， ∵∠DM＝∠DB， ∴∠M＝∠BM， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∴B＝M． （3）解：∵∠EF＝90°，∠F＝30°， ∴∠BM＝60°， ∴△BM 是等边三角形， ∴∠M＝60°， ∵∠DEM＝90°，ME＝1， ∴∠EDM＝30°， ∴MD＝2ME＝2， ∴BD＝MD＝2， ∵∠BDF＝∠EDM＝30°， ∴∠BDF＝∠F， ∴BF＝BD＝2． 【点评】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰 三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 典例9：如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，是B 边上一点，以为圆心，B 为半径的圆与B 相交 于点D，连接D，且D＝． （1）求证：D 是⊙的切线； （2）若∠＝60°，＝2 ，求 的长． 【分析】（1）连接D．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠＝∠D，∠B＝∠BD．再根 据余角性质及三角形的内角和定理可得∠D＝180°﹣（∠D+∠BD）＝90°．最后由切线的 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 判定定理可得结论； （2）根据等边三角形的判定与性质可得∠D＝∠B﹣∠D＝30°．再由解直角三角形及三角 形内角和定理可得∠BD 的度数，最后根据弧长公式可得答． 【解答】（1）证明：连接D． ∵＝D， ∴∠＝∠D． ∵B＝D， ∴∠B＝∠BD． ∵∠B＝90°， + ∴∠∠B＝90°． ∴∠D+∠BD＝90°． ∴∠D＝180°﹣（∠D+∠BD）＝90°． 又∵D 是⊙的半径， ∴D 是⊙的切线． （2）解：∵＝D＝ ，∠＝60°， ∴△D 是等边三角形． ∴∠D＝60°． ∴∠D＝∠B﹣∠D＝30°． 在Rt△D 中，D＝Dt∠D＝ t30°＝2． ∵∠B＝90°﹣∠＝30°，B＝D， ∴∠DB＝∠B＝30°． ∴∠BD＝180°﹣（∠B+∠BD）＝120°． ∴ 的长＝ ． 【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅 助线是解决此题的关键． 考点四、正多边形和圆 1 正多边形的有关概念 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半 径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这 个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于 ． 要点诠释： 通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径． 2 正多边形的性质 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对 称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之 比等于它们的边长(半径或边心距)之比． 3 正多边形的有关计算 定理：正边形的半径和边心距把正边形分成2 个全等的直角三角形． 正边形的边长、边心距r、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算． ， ， ， ， ， ． 典例10：（2022•黔东南州）（1）请在图1 中作出△B 的外接圆⊙（尺规作图，保留作图痕 迹，不写作法）； （2）如图2，⊙是△B 的外接圆，E 是⊙的直径，点B 是 的中点，过点B 的切线与的 延长线交于点D． ①求证：BD⊥D； ②若＝6，t∠B＝ ，求⊙的半径． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 【分析】（1）利用尺规作图分别作出B、的垂直平分线交于点，以为圆心、为半径作圆 即可； （2）①连接B，根据切线的性质得到B⊥BD，证明B∥D，根据平行线的性质证明结论； ②连接E，根据圆周角定理得到∠E＝∠B，根据正切的定义求出E，根据勾股定理