【模型】已知点，B 是平面内两点，再找一点，使得△B 为等腰三角形 【结论】分类讨论： 若B＝，则点在以点为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若B＝B，则点在以点B 为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若＝B，则点在线段B 的垂直平分线PQ 上．以上简称“两圆一中垂”． “两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点，B，还要除去因共线无法 构成三角形的点M，以及线段B 中点E(共除去5 （0，﹣2）； 将点的坐标表示出来，如图： 综上所述：点在x 轴上，△B 是等腰三角形，符合条件的点共有5 个． 变式训练 【变式1-1】．直线y＝﹣x+2 与x 轴、y 轴的正半轴分别交、B 两点，点P 是直线y＝﹣ x+2 上的一点，当△P 为等腰三角形时，则点P 的坐标为 （ 0 ， 2 ），（ 1 ， 1 ），（ 2﹣ ， ），（ 解：依题意得（2，0），B（0，2），△P 为等腰三角形，有三种情况： 当点为顶点，为腰时；以为半径画弧交直线B 于点P，P（0，2）符合题意； 当点为顶点，为腰时，以点为圆心，为半径画弧交直线B 于两点，过P 点作x 轴的垂线， 由解直角三角形得点P 坐标是（2﹣ ， ），（2+ ，﹣ ）； 当为底时，作线段的中垂线交直线B 于P 点，则P（1，1）． 故答为：（0，2），（1，1），（2﹣

【模型】 平面内有两点，B，再找一点，使得ΔB 为直角三角形． 【结论】分类讨论： 若∠＝90°，则点在过点且垂直于B 的直线上(除点外)； 若∠B＝90°，则点在过点B 且垂直于B 的直线上(除点B 外)； 若∠＝90°，则点在以B 为直径的圆上(除点，B 外)．以上简称“两垂一圆”． “两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去，B 两点 【例1】．在平面直角坐标系中，有两点（3，0），B（9，0）及一条直线 同理可求当点E 在y 轴左侧时，E（3﹣ ，﹣2）． 综上，在直线BD 上找点E，使△E 是直角三角形，点E 的横坐标为 或7 或3+ 或 3﹣ ． 故答为： 或7 或3+ 或3﹣ ． 6．图1、图2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为 1，点，B 在小正方形的顶点上． （1）在图1 中画出△B（点在小正方形的顶点上），使△B 为直角三角形，并且面积为 4；（画一个即可） 轴分别相交于点和点B，点在线段上．将△B 沿B 折叠 后，点恰好落在B 边上点D 处． （1）直接写出、B 两点的坐标：： （﹣ 8 ， 0 ） ，B： （ 0 ， 6 ） ； （2）求出的长； （3）如图，点E、F 是直线B 上的两点，若△EF 是以EF 为斜边的等腰直角三角形，求 点F 的坐标； （4）取B 的中点M，若点P 在y 轴上，点Q

【模型】已知点，B 是平面内两点，再找一点，使得△B 为等腰三角形 【结论】分类讨论： 若B＝，则点在以点为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若B＝B，则点在以点B 为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若＝B，则点在线段B 的垂直平分线PQ 上．以上简称“两圆一中垂”． “两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点，B，还要除去因共线无法 构成三角形的点M，以及线段B 中点E(共除去5 （0，﹣2）； 将点的坐标表示出来，如图： 综上所述：点在x 轴上，△B 是等腰三角形，符合条件的点共有5 个． 变式训练 【变式1-1】．直线y＝﹣x+2 与x 轴、y 轴的正半轴分别交、B 两点，点P 是直线y＝﹣ x+2 上的一点，当△P 为等腰三角形时，则点P 的坐标为 （ 0 ， 2 ），（ 1 ， 1 ），（ 2﹣ ， ），（ 解：依题意得（2，0），B（0，2），△P 为等腰三角形，有三种情况： 当点为顶点，为腰时；以为半径画弧交直线B 于点P，P（0，2）符合题意； 当点为顶点，为腰时，以点为圆心，为半径画弧交直线B 于两点，过P 点作x 轴的垂线， 由解直角三角形得点P 坐标是（2﹣ ， ），（2+ ，﹣ ）； 当为底时，作线段的中垂线交直线B 于P 点，则P（1，1）． 故答为：（0，2），（1，1），（2﹣

【模型】 平面内有两点，B，再找一点，使得ΔB 为直角三角形． 【结论】分类讨论： 若∠＝90°，则点在过点且垂直于B 的直线上(除点外)； 若∠B＝90°，则点在过点B 且垂直于B 的直线上(除点B 外)； 若∠＝90°，则点在以B 为直径的圆上(除点，B 外)．以上简称“两垂一圆”． “两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去，B 两点 【例1】．在平面直角坐标系中，有两点（3，0），B（9，0）及一条直线 同理可求当点E 在y 轴左侧时，E（3﹣ ，﹣2）． 综上，在直线BD 上找点E，使△E 是直角三角形，点E 的横坐标为 或7 或3+ 或 3﹣ ． 故答为： 或7 或3+ 或3﹣ ． 6．图1、图2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为 1，点，B 在小正方形的顶点上． （1）在图1 中画出△B（点在小正方形的顶点上），使△B 为直角三角形，并且面积为 4；（画一个即可） 轴分别相交于点和点B，点在线段上．将△B 沿B 折叠 后，点恰好落在B 边上点D 处． （1）直接写出、B 两点的坐标：： （﹣ 8 ， 0 ） ，B： （ 0 ， 6 ） ； （2）求出的长； （3）如图，点E、F 是直线B 上的两点，若△EF 是以EF 为斜边的等腰直角三角形，求 点F 的坐标； （4）取B 的中点M，若点P 在y 轴上，点Q

【模型】已知点，B 是平面内两点，再找一点，使得△B 为等腰三角形 【结论】分类讨论： 若B＝，则点在以点为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若B＝B，则点在以点B 为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若＝B，则点在线段B 的垂直平分线PQ 上．以上简称“两圆一中垂”． “两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点，B，还要除去因共线无法 构成三角形的点M，以及线段B 中点E(共除去5 ，B（4，0）．若在坐标轴上取点，使 △B 为等腰三角形，你能否将点的坐标表示出来？ 变式训练 模型介绍 例题精讲 【变式1-1】．直线y＝﹣x+2 与x 轴、y 轴的正半轴分别交、B 两点，点P 是直线y＝﹣ x+2 上的一点，当△P 为等腰三角形时，则点P 的坐标为 ． 【变式1-2】．如图，在矩形BD 中，B＝5，B＝3，点P 图象上的一点，连接并延长交双曲线 的另一分支于点B，点P 是x 轴上一动点；若△PB 是等腰三角形，则点P 的坐标是 ． 变式训练 【变式2-1】．直线y＝﹣x+4 与x 轴、y 轴的正半轴分别交、B 两点，点P 是直线y＝﹣ x+4 上的一点，当△P 为等腰三角形时，则点P 的坐标为 ． 【变式2-2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+ 与直线y＝ x+ 交于点B， 与x 轴交于点．

【模型】 平面内有两点，B，再找一点，使得ΔB 为直角三角形． 【结论】分类讨论： 若∠＝90°，则点在过点且垂直于B 的直线上(除点外)； 若∠B＝90°，则点在过点B 且垂直于B 的直线上(除点B 外)； 若∠＝90°，则点在以B 为直径的圆上(除点，B 外)．以上简称“两垂一圆”． “两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去，B 两点 【例1】．在平面直角坐标系中，有两点（3，0），B（9，0）及一条直线 （2）点B 关于y 轴的对称点为点D． ①请直接写出点D 的坐标为 ； ②在直线BD 上找点E，使△E 是直角三角形，请直接写出点E 的横坐标为 ． 6．图1、图2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为 1，点，B 在小正方形的顶点上． （1）在图1 中画出△B（点在小正方形的顶点上），使△B 为直角三角形，并且面积为 4；（画一个即可） 8．已知：直线y＝ +6 与x 轴、y 轴分别相交于点和点B，点在线段上．将△B 沿B 折叠 后，点恰好落在B 边上点D 处． （1）直接写出、B 两点的坐标：： ，B： ； （2）求出的长； （3）如图，点E、F 是直线B 上的两点，若△EF 是以EF 为斜边的等腰直角三角形，求 点F 的坐标； （4）取B 的中点M，若点P 在y 轴上，点Q 在直线B 上，是否存在以、M、P、Q

圆 模型（三十八）——垂径定理模型 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ◎结论：如图，D 是直径，D⊥B，则①M＝MB，② ＝ 垂径定理中的五元素： ①过圆心;②垂直弦;③平分弦（不是直径）;④平分优弧;⑤平分劣弧 知二推三：这五个元素中，知道任意两个，可得其它三个 【注意】平分弦（不是直径）的原因：任意两条直径互相平分，但无法推出垂直, 找残缺圆的圆心方法：知二推三组合 作法：在圆弧上找两条不平行的线段，圆心在弦的垂直平分线上，交点为 1．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙的直径B 垂直弦D 于点P，且P 为半径B 的中 点，若D＝6，则直径B 的长为（ ） ．2 B．6 ．4 D．6 【答】 【分析】根据垂径定理可知B 垂直平分D，连接，根据勾股定理即可求出半径，最后求出直径即可． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”并构建直角三角形求解是解 题的关键． 2．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）如图， 的半径D 垂直弦B 于点，若 ， ，则 的半径 为（ ） ． B．3 ．4 D．5 【答】D 【分析】根据垂径定理可得 ,再利用勾股定理直接求得 的长，即可得出答． 【详解】解：设 半径为， ， ， 根据垂径定理得：

圆 模型（三十八）——垂径定理模型 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ◎结论：如图，D 是直径，D⊥B，则①M＝MB，② ＝ 垂径定理中的五元素： ①过圆心;②垂直弦;③平分弦（不是直径）;④平分优弧;⑤平分劣弧 知二推三：这五个元素中，知道任意两个，可得其它三个 【注意】平分弦（不是直径）的原因：任意两条直径互相平分，但无法推出垂直, 如图： 找残缺圆的圆心方法：知二推三组合 作法：在圆弧上找两条不平行的线段，圆心在弦的垂直平分线上，交点为 1．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙的直径B 垂直弦D 于点P，且P 为半径B 的中 点，若D＝6，则直径B 的长为（ ） ．2 B．6 ．4 D．6 2．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）如图，

专题243 垂径定理【十大题型】 【人版】 【题型1 利用垂径定理求线段长度】.....................................................................................................................1 【题型2 利用垂径定理求角度】...................... ..................5 【题型3 利用垂径定理求最值】.............................................................................................................................9 【题型4 利用垂径定理求取值范围】................... ................ 13 【题型5 利用垂径定理求整点】...........................................................................................................................18 【题型6 利用垂径定理求面积】......................

结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：B2+D2＝D2+B2 【证明】∵⊥BD， ∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得： B2+D2＝2+B2+2+D2， D2+B2＝2+D2+B2+2，∴B2+D2＝D2+B2 方法点拨 ①对角线垂直的四边形对边的平方和相等； ②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形 模型介绍 【例1】．如图，在四边形BD ＝DE2+B2+EP2+P2 ＝PB2+PD2， ∴P2+P2＝PB2+PD2， 2 ∴2+42＝32+PD2， ∴PD＝ ． 故答为 ． 变式训练 【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形BD，对角线、BD 交于点．若D＝ ，B＝3 ，则B2+D2＝ 23 ． 解：∵⊥BD， ∴∠B＝∠D＝∠D＝∠B＝90°， ∴B2+2＝B2，2 ∴B2+D2＝BD2＝4，E2+2＝E2＝ ， ∴B2+ 2＝4， B2+2＝ ， ∴ B2+ 2＝ ， ∴B2+2＝5， ∴B＝ ＝ ． 故答为 ． 1．两个矩形，小矩形绕着公共点任意旋转，在旋转到如图所示的位置时，求BE2+DK2 的 值． 解：∵∠BD＝∠KE＝90°， ∴∠BK＝∠DE， 又∵ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ， ∴△BK∽△DE，