模型33 两垂一圆构造直角三角形（原卷版）(1)

【模型】 平面内有两点，B，再找一点，使得ΔB 为直角三角形． 【结论】分类讨论： 若∠＝90°，则点在过点且垂直于B 的直线上(除点外)； 若∠B＝90°，则点在过点B 且垂直于B 的直线上(除点B 外)； 若∠＝90°，则点在以B 为直径的圆上(除点，B 外)．以上简称“两垂一圆”． “两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去，B 两点 【例1】．在平面直角坐标系中，有两点（3，0），B（9，0）及一条直线 ，若 点在已知直线上，且使△B 为直角三角形，则点的坐标是 ． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，点的坐标是（﹣8，﹣8），点B 在坐标轴上，且△B 是 等腰直角三角形，则点B 的坐标不可能是（ ） ．（0，﹣8） B．（﹣8，0） ．（﹣16，0） D．（0，8） 【变式1-2】．在平面直角坐标系xy 中，点的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，4）， 直线l 经过（﹣1，0）并且与x 轴垂直于点D，请你在直线l 上找一点，使△B 为直角三 角形，并求出点的坐标． 模型介绍 例题精讲 【例2】．如图，在平面直角坐标系中，已知（4，0），B（0，3），以B 为一边在△B 外 部作等腰直角△B．则点的坐标为 ． 【变式2-1】．如图，在5×4 的正方形格中，每个小正方形的边长均为1，点、B 均在格点 上．在格点上确定点，使△B 为直角三角形，且面积为4，则这样的点的共有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xy 中，点，B 的坐标分别为（0，2），B（8， 8），点（m，0）为x 轴正半轴上一个动点． （1）当m＝4 时，写出线段＝ ，B＝ ． （2）求△B 的面积．（用含m 的代数式表示） （3）当点在运动时，是否存在点使△B 为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的 面积；如果不存在，请说明理由． 1．在平面直角坐标系中，点、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），点P 在反比例函数 y＝ 的图象上．若△PB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为（ ） ．2 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 2．如图，已知（2，6）、B（8，﹣2），为坐标轴上一点，且△B 是直角三角形，则满足条 件的点有（ ）个． ．6 B．7 ．8 D．9 3．如图，已知点（﹣1，0）和点B（1，2），在y 轴正半轴上确定点P，使得△BP 为直角 三角形，则满足条件的点P 的坐标为 ． 4．如图，请在所给格中按下列要求操作： （1）请在格中建立平面直角坐标系，使点坐标为（0，2），B 点坐标为（﹣2，0）； （2）在y 轴上画点，使△B 为直角三角形，请画出所有符合条件的点，并直接写出相应 的点坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（6，0），点B 坐标为（2，﹣2），直线B 与y 轴交于点． （1）求直线B 的函数表达式及线段的长； （2）点B 关于y 轴的对称点为点D． ①请直接写出点D 的坐标为 ； ②在直线BD 上找点E，使△E 是直角三角形，请直接写出点E 的横坐标为 ． 6．图1、图2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为 1，点，B 在小正方形的顶点上． （1）在图1 中画出△B（点在小正方形的顶点上），使△B 为直角三角形，并且面积为 4；（画一个即可） （2）在图1 中画出△B（点在小正方形的顶点上），使△B 为钝角三角形，并且面积为 4．（画一个即可） 7．如图，在平面直角坐标系中，△B 为等腰直角三角形，∠B＝90°，＝B，点的坐标为 （3，1）． （1）求点B 的坐标； （2）在x 轴上找一点P，使得P+PB 的值最小，求出点P 的坐标； （3）在第四象限是否存在一点M，使得以点，，M 为顶点的三角形是等腰直角三角形， 若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知：直线y＝ +6 与x 轴、y 轴分别相交于点和点B，点在线段上．将△B 沿B 折叠 后，点恰好落在B 边上点D 处． （1）直接写出、B 两点的坐标：： ，B： ； （2）求出的长； （3）如图，点E、F 是直线B 上的两点，若△EF 是以EF 为斜边的等腰直角三角形，求 点F 的坐标； （4）取B 的中点M，若点P 在y 轴上，点Q 在直线B 上，是否存在以、M、P、Q 为顶 点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q 点坐标；若不存在，请说 明理由． 9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+经过（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y 轴相交于点，直 线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点、点的距离之和最短时，求点P 的坐标； （3）点M 也是直线l 上的动点，且△M 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标． 10．如图1，抛物线y＝x2+bx+6 与x 轴交于点（﹣2，0），B（6，0），与y 轴交于点，顶 点为D，直线D 交y 轴于点E． （1）求抛物线的解析式． （2）如图2，将△E 沿直线D 平移得到△MP． ①当点M 落在抛物线上时，求点M 的坐标． ②在△MP 移动过程中，存在点M 使△MBD 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的 点M 的坐标． 11．如图，顶点为（﹣4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P 在该图象上，P 交 其对称轴l 于点M，点M、关于点对称，连接P，． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点P 的坐标是（﹣6，3），求△P 的面积； （3）当点P 在对称轴l 左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题： ①求证：∠PM＝∠M； ②若△P 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+的对称轴为经过点（1，0）的直线， 其图象与x 轴交于点、B，且过点（0，﹣3），其顶点为D． （1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标； （2）在y 轴上找一点P（点P 与点不重合），使得∠PD＝90°，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，将△PD 沿直线D 翻折得到△QD，求点Q 的坐标． 13．如图，一次函数y＝ x+1 的图象与x 轴交于点，与y 轴交于点B，二次函数y＝ x2+bx+的图象与一次函数y＝ x+1 的图象交于B、两点，与x 轴交于D、E 两点，且D 点坐标为（1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在x 轴上找一点P，使|PB﹣P|最大，求出点P 的坐标； （3）在x 轴上是否存在点P，使得△PB 是以点P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求 出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴交于（2，0）、B（﹣4，0）两点，交y 轴于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上，是否存在点P，使得△PB 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PB 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△Q 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1， ），点B 的坐标（﹣2，0），点为 原点． （1）求过点，，B 的抛物线解析式； （2）在x 轴上找一点，使△B 为直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标； （3）将原点绕点B 逆时针旋转120°后得点′，判断点′是否在抛物线上，请说明理由； （4）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P 作x 轴的垂线，交直线B 于点E， 线段E 把△B 分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPE 面积比为2：3，若 存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．