模型33 两垂一圆构造直角三角形（解析版）(1)

【模型】 平面内有两点，B，再找一点，使得ΔB 为直角三角形． 【结论】分类讨论： 若∠＝90°，则点在过点且垂直于B 的直线上(除点外)； 若∠B＝90°，则点在过点B 且垂直于B 的直线上(除点B 外)； 若∠＝90°，则点在以B 为直径的圆上(除点，B 外)．以上简称“两垂一圆”． “两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去，B 两点 【例1】．在平面直角坐标系中，有两点（3，0），B（9，0）及一条直线 ，若 点在已知直线上，且使△B 为直角三角形，则点的坐标是 （ 3 ， ），（ 9 ， 6 ），（ ， ） ． 解；当点在1处时，△B 为直角三角形，的坐标是（3， ）， 当点在2处时，△B 为直角三角形，的坐标是（9，6） 当点在3处时，△B 为直角三角形，过3作3M⊥B， 设3的横坐标是x， 则3M＝ ，M＝x 3 ﹣，BM＝9﹣x， ∵△3B 是直角三角形， 模型介绍 例题精讲 ∴△M3∽△3MB， ∴M：3M＝3M：BM， ∴3M2＝M•BM， ∴（ ）2＝（x 3 ﹣）（9﹣x）， 解得：x＝ ， 点的纵坐标是： ﹣ ＝ ， ∴点的坐标是：（ ， ）； 故答为：（3， ），（9，6），（ ， ）． 变式训练 【变式1-1】在平面直角坐标系中，点的坐标是（﹣8，﹣8），点B 在坐标轴上，且△B 是 等腰直角三角形，则点B 的坐标不可能是（ ） ．（0，﹣8） B．（﹣8，0） ．（﹣16，0） D．（0，8） 解：如图，△B 是等腰直角三角形， ∵（﹣8，﹣8）， ∴B＝8， ∴B（﹣8，0）； 如图，△B 是等腰直角三角形， ∵（﹣8，﹣8）， ∴B＝16， ∴B（﹣16，0）； 如图，△B 是等腰直角三角形， ∵（﹣8，﹣8）， ∴B＝8， ∴B（0，﹣8）． 故B 点的坐标不可能是（0，8）， 故选：D． 【变式1-2】．在平面直角坐标系xy 中，点的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，4）， 直线l 经过（﹣1，0）并且与x 轴垂直于点D，请你在直线l 上找一点，使△B 为直角三 角形，并求出点的坐标． 解：设点的坐标为（﹣1，b）， B2＝22+42＝20， 2＝32+b2， B2＝（4﹣b）2+12， 当∠B＝90°时，（4﹣b）2+12+20＝32+b2， 解得，b＝ ； 当∠B＝90°时，（4﹣b）2+12＝20+32+b2， 解得，b＝﹣ ； 当∠B＝90°时，（4﹣b）2+12+32+b2＝20， 解得b1＝1，b2＝3， ∴△B 为直角三角形时，点的坐标为（﹣1， ），（﹣1，﹣ ），（﹣1，1），（﹣ 1，3）． 【例2】．如图，在平面直角坐标系中，已知（4，0），B（0，3），以B 为一边在△B 外 部作等腰直角△B．则点的坐标为 （ 7 ， 4 ）或（ 3 ， 7 ）或（ ） ． 解：如图，当B＝，∠B＝90°时，作E⊥x 轴于E． ∵∠B＝∠B＝∠E＝90°， ∴∠B+∠B＝90°，∠B+∠E＝90°， ∴∠B＝∠E， ∵B＝， ∴△B≌△E（S）， ∴E＝B＝3，E＝＝4， ∴（7，4）， 同法可得，当B＝B′，∠B′＝90°，′（3，7）， 当B 是等腰直角三角形的斜边时，″是B 的中点，″（ ， ）， 综上所述，满足条件的点的坐标为（7，4）或（3，7）或（ ， ）． 故答为：（7，4）或（3，7）或（ ， ）． 变式训练 【变式2-1】．如图，在5×4 的正方形格中，每个小正方形的边长均为1，点、B 均在格点 上．在格点上确定点，使△B 为直角三角形，且面积为4，则这样的点的共有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 解：点的位置如图所示，共有3 个． 故选：． 【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xy 中，点，B 的坐标分别为（0，2），B（8， 8），点（m，0）为x 轴正半轴上一个动点． （1）当m＝4 时，写出线段＝ 2 ，B＝ 4 ． （2）求△B 的面积．（用含m 的代数式表示） （3）当点在运动时，是否存在点使△B 为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的 面积；如果不存在，请说明理由． 解：（1）如图，过点B 作BE⊥x 轴于E， ∵点（0，2），点B（8，8），点（4，0） ∴BE＝8，E＝8，＝2，＝4， ∴E＝4， ∴＝ ＝ ＝2 ，B＝ ＝4 ， 故答为：2 ，4 ； （2）当点在E 上时， ∵点（0，2），点B（8，8），点（m，0） ∴BE＝8，E＝8，＝2，＝m， ∴S△B＝ ×（+BE）×E﹣ ××﹣ ×BE×E， ∴S△B＝ ×（2+8）×8﹣ ×2×m﹣ ×8×（8﹣m）＝8+3m； 当点在线段E 的延长线上时， ∵S△B＝ ×（+BE）×E+ ×BE×E﹣ ×× ∴S△B＝ ×（2+8）×8+ ×8×（m 8 ﹣）﹣ ×2×m＝3m+8， 综上所述：S△B＝3m+8； （3）当∠B＝90°时，B2＝B2+2， 则64+（8﹣m）2＝64+（8 2 ﹣）2+4+m2， 解得m＝ ， ∴S△B＝3× +8＝ ； 当∠B＝90°时，B2＝2+B2， 则64+（8 2 ﹣）2＝4+m2+64+（8﹣m）2， 解得m＝4， ∴S△B＝3×4+8＝20； 当∠B＝90°时，2＝B2+B2， 则4+m2＝64+（8 2 ﹣）2+64+（8﹣m）2， 解得m＝14， ∴S△B＝3×14+8＝50； 综上所述：存在m 的值为 或4 或14，使△B 为直角三角形，面积为 或20 或50． 1．在平面直角坐标系中，点、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），点P 在反比例函数 y＝ 的图象上．若△PB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为（ ） ．2 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 解：设点P 的坐标为（x，y）， 当∠PB＝90°时，以B 为直径作圆，如图所示， ∵圆与双曲线无交点， ∴点P 不存在； 当∠PB＝90°时，x＝﹣3， y＝ ＝﹣3， ∴点P 的坐标（﹣3，﹣3）； 当∠PB＝90°时，x＝3， y＝ ＝3， ∴点P 的坐标为（3，3）． 综上所述：满足条件的点P 有2 个． 故选：． 2．如图，已知（2，6）、B（8，﹣2），为坐标轴上一点，且△B 是直角三角形，则满足条 件的点有（ ）个． ．6 B．7 ．8 D．9 解：分三种情况考虑： ①当为直角顶点时，过作⊥B，交x 轴于点1，交y 轴于点2，此时满足题意的点为1， 2； ②当B 为直角顶点时，过B 作B⊥B，交x 轴于点3，交y 轴于点4，此时满足题意的点 为3，4； ③当为直角顶点时，以B 为直径作圆，由（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与y 轴相 切， 则此圆与y 轴有1 个交点，与x 轴有2 个交点，分别为5，6，7． 综上，所有满足题意的有7 个． 故选：B． 3．如图，已知点（﹣1，0）和点B（1，2），在y 轴正半轴上确定点P，使得△BP 为直角 三角形，则满足条件的点P 的坐标为 （ 0 ， 3 ）或（ 0 ， 1+ ） ． 解：如图，过B 作BP⊥B，交y 轴于P，过B 作BD⊥P 于D，则∠BP＝90°，BD＝1， ∵点（﹣1，0）和点B（1，2）， ∴直线B 的表达式为y＝x+1， 令x＝0，则y＝1， ∴（0，1），即＝1＝， ∴△是等腰直角三角形， ∴∠＝45°＝∠BP， ∴△BP 是等腰直角三角形， ∴P＝2BD＝2， ∴P＝1+2＝3， ∴P（0，3）； 如图，当∠PB＝90°时，△BP 是直角三角形， ∵点（﹣1，0），点B（1，2），点（0，1）， ∴为B 的中点，B＝2 ， ∴P＝ B＝ ， ∴P＝1+ ， ∴P（0，1+ ）， 综上所述，点P 的坐标为（0，3）或（0，1+ ）． 故答为：（0，3）或（0，1+ ）． 4．如图，请在所给格中按下列要求操作： （1）请在格中建立平面直角坐标系，使点坐标为（0，2），B 点坐标为（﹣2，0）； （2）在y 轴上画点，使△B 为直角三角形，请画出所有符合条件的点，并直接写出相应 的点坐标． 解：（1）如图所示： （2）满足条件的点有2 个，（0，﹣2）或（0，0）． 5．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（6，0），点B 坐标为（2，﹣2），直线B 与y 轴交于点． （1）求直线B 的函数表达式及线段的长； （2）点B 关于y 轴的对称点为点D． ①请直接写出点D 的坐标为 （﹣ 2 ，﹣ 2 ） ； ②在直线BD 上找点E，使△E 是直角三角形，请直接写出点E 的横坐标为 或 7 或 3+ 或 3﹣ ． 解：（1）设直线B 的解析式为y＝kx+b， ∴ ， 解得： ， ∴直线B 的解析式为y＝ x 3 ﹣； 令x＝0，则y＝﹣3， ∴（0，﹣3）． ∴＝3， ∵点坐标为（6，0）， ∴＝6， ∴＝ ＝ ＝3 ； （2）①∵点B 与点D 关于y 轴的对称， ∴D（﹣2，﹣2）； 故答为：（﹣2，﹣2）； ②当∠E＝90°时，如图， ∵E⊥， ∴直线E 的解析式为y＝﹣2x 3 ﹣， 令y＝﹣2，则﹣2x 3 ﹣＝﹣2， ∴x＝﹣ ， ∴E（ ，﹣2）； 当∠E＝90°时，如图， ∵E⊥， ∴设直线E 的解析式为y＝﹣2x+m， 0 ∴＝﹣2×6+m＝0， ∴m＝12， ∴直线E 的解析式为y＝﹣2x+12， 令y＝﹣2，则﹣2＝﹣2x+12， ∴x＝7， E（7，﹣2）； 当∠E＝90°时，如图， 过点E 作EF⊥x 轴于点F，过点作G⊥FE，交FE 的延长线于点G， ∵∠E＝90°， ∴∠FE+∠EG＝90°， ∵G⊥FE， ∴∠GE+∠EG＝90°， ∠GE＝∠FE， ∵∠GE＝∠FE＝90°， ∴△GE∽△EF， ∴ ． 由题意得：G＝F＝6+F，EF＝＝2，EG＝＝1， ∴ ． ∴F＝ ﹣3． ∴F＝3+ ， ∴E（3+ ，﹣2）， 同理可求当点E 在y 轴左侧时，E（3﹣ ，﹣2）． 综上，在直线BD 上找点E，使△E 是直角三角形，点E 的横坐标为 或7 或3+ 或 3﹣ ． 故答为： 或7 或3+ 或3﹣ ． 6．图1、图2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为 1，点，B 在小正方形的顶点上． （1）在图1 中画出△B（点在小正方形的顶点上），使△B 为直角三角形，并且面积为 4；（画一个即可） （2）在图1 中画出△B（点在小正方形的顶点上），使△B 为钝角三角形，并且面积为 4．（画一个即可） 解：（1）如图1： （2）如图2： 7．如图，在平面直角坐标系中，△B 为等腰直角三角形，∠B＝90°，＝B，点的坐标为 （3，1）． （1）求点B 的坐标； （2）在x 轴上找一点P，使得P+PB 的值最小，求出点P 的坐标； （3）在第四象限是否存在一点M，使得以点，，M 为顶点的三角形是等腰直角三角形， 若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）过点作⊥x 轴于点，过点B 作BD⊥x 轴于点D， ∵点的坐标为（3，1）， ∴＝3，＝1， 又∵⊥x 轴，BD⊥x 轴， ∴∠＝∠BD＝90°， + ∴∠∠＝90°， 又∵∠B＝90°， ∴∠BD+∠＝90°， ∴∠＝∠BD， 又∵＝B， ∴△≌△BD（S）， ∴＝BD＝3，＝D＝1， ∴点B 的坐标为（﹣1，3）； （2）如图2，作点B 关于x 轴的对称点B'，连接B'交x 轴于点P，连接BP， 由对称性可知BP＝B'P， ∴P+BP＝P+B'P≥B'， ∴当、B'、P 三点共线时P+PB 的值最小， 连接BB'交x 轴于点E，则E（﹣1，0）， ∵点B 与B'关于x 轴对称， ∴点B'的坐标为（﹣1，﹣3）， 设直线B'的解析式为y＝kx+b， ∴ ， ∴ ， ∴y＝x 2 ﹣， ∴P（2，0）； （3）存在一点M，使得以点，，M 为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下： ①当∠M＝90°时，＝M， 如图3，过点作F⊥y 轴交于点F，过点M 作ME⊥y 轴交于点E， ∵∠F+∠F＝90°，∠F+∠EM＝90°， ∴∠F＝∠EM， ∵＝M， ∴△F≌△EM（S）， ∴F＝EM，E＝F， ∵（3，1）， ∴F＝3，F＝1， ∴M（1，﹣3）； ②如图4，当∠M＝90°时，＝M， 过点作F⊥y 轴交于F 点，过点M 作MG⊥F 交于点G， ∵∠F+∠F＝90°，∠F+∠GM＝90°， ∴∠F＝∠GM， ∴△F≌△GM（S）， ∴F＝GM，F＝F， ∵（3，1）， ∴F＝3，F＝1， ∴M（4，﹣2）； ③如图5，当∠M＝90°时，M＝M， 过点M 作MQ⊥y 轴交于Q 点，过点作P⊥QM 交于P 点， ∵∠MQ+∠QM＝90°，∠MQ+∠M＝90°， ∴∠QM＝∠MP， ∴△QM≌△MP（S）， ∴Q＝MP，QM＝P， ∵（3，1）， ∴QM+MP＝3，1+Q＝QM， 1+ ∴ Q+Q＝3， ∴Q＝1， ∴M（2，﹣1）； 综上所述：M 点坐标为（1，﹣3）或（4，﹣2）或（2，﹣1）． 8．已知：直线y＝ +6 与x 轴、y 轴分别相交于点和点B，点在线段上．将△B 沿B 折叠 后，点恰好落在B 边上点D 处． （1）直接写出、B 两点的坐标：： （﹣ 8 ， 0 ） ，B： （ 0 ， 6 ） ； （2）求出的长； （3）如图，点E、F 是直线B 上的两点，若△EF 是以EF 为斜边的等腰直角三角形，求 点F 的坐标； （4）取B 的中点M，若点P 在y 轴上，点Q 在直线B 上，是否存在以、M、P、Q 为顶 点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q 点坐标；若不存在，请说 明理由． 解：（1）如图1，直线y＝ +6，当y＝0 时，由0＝ +6 得，x＝﹣8；当x＝0 时，y ＝6， ∴（﹣8，0），B（0，6）， 故答为：（﹣8，0），（0，6）． （2）如图1，由折叠得，DB＝B＝6，D＝，∠BD＝∠B＝90°， ∴∠D＝180°﹣∠BD＝90°，＝8﹣， ∵B＝ ＝ ＝10， ∴D＝10 6 ﹣＝4， ∵D2+D2＝2， ∴2+42＝（8﹣）2， 解得，＝3． （3）如图2，作G⊥EF 于点G，GT⊥x 轴于点T， ∵＝3， ∴B＝ ＝ ＝ ，＝8 3 ﹣＝5， 由 B•G＝ •B＝S△B得， × G＝ ×5×6，解得，G＝ ， ∵E＝F，∠EF＝90°， ∴EG＝FG， ∴G＝ EF＝EG＝FG＝ ， ∵∠G＝90°， ∴G＝ ＝ ＝ ， ∴E＝ + ＝ ， ∴E＝B， ∴点E 与点B 关于点对称， ∵（﹣3，0），B（0，6）， ∴E（﹣6，﹣6）； 由 •GT＝ G•G＝S△G得， ×5GT＝ × × ，解得，GT＝2， ∵∠TG＝90°， ∴T＝ ＝ ＝4， ∴T＝8 4 ﹣＝4， ∴G（﹣4，﹣2）， ∵F＝FG﹣G＝ ﹣ ＝ ， ∴F＝G， ∴点F 与点G（﹣4，﹣2）关于点（﹣3，0）对称， ∴F（﹣2，2）， 综上所述，点F 的坐标为（﹣6，﹣6）或（﹣2，2）． （4）存在． 如图3，四边形PQM 是平行四边形，则P∥QM，PQ∥M， 设直线P 的解析式为y＝ x+，则 ×（﹣3）+＝0，解得，＝ ， ∴y＝ x+ ， ∴P（0， ）； ∵M 是B 的中点， ∴M（﹣4，3）， 设直线M 的解析式为y＝kx+b，则 ，解得， ， ∴y＝﹣3x 9 ﹣， ∴直线PQ 的解析式为y＝﹣3x+ ， 由 得， ， ∴Q（﹣1， ）； 如图3，四边形P′Q′M 是平行四边形，则P′Q′∥M∥PQ，P′Q′＝M＝PQ， ∴∠BP′Q′＝∠BPQ，∠BQ′P′＝∠BQP， ∴△BP′Q′≌△BPQ（S）， ∴BQ′＝BQ， ∴点Q′与点Q 关于点B（0，6）对称， ∴Q′（1， ）； 如图3，L 为M 的中点，PL 的延长线交B 于点Q1，连接Q1， ∵∠LQ1M＝∠LP，∠LMQ1＝∠MP，ML＝L， ∴△LMQ1≌△LP（S）， ∴Q1M＝P， ∵Q1M∥P， ∴四边形PMQ1是平行四边形， ∴点Q1与点P 关于点L 对称， ∵L（ ， ），P（0， ）， ∴Q1（﹣7， ）， 综上所述，点Q 的坐标为（﹣1， ）或（1， ）或（﹣7， ）． 9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+经过（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y 轴相交于点，直 线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点、点的距离之和最短时，求点P 的坐标； （3）点M 也是直线l 上的动点，且△M 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标． 解：∵抛物线y＝x2+bx+经过（﹣1，0）、B（3，0）两点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣， （2）如图1，∵点，B 关于直线l 对称， ∴连接B 交直线l 于点P， 由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣， ∴直线l：x＝1，（0，﹣3）， ∵B（3，0）， ∴直线B 的解析式为y＝x 3 ﹣， 当x＝1 时，y＝﹣2， ∴P（1，﹣2）， （3）设点M（1，m）， ∵（﹣1，0），（0，﹣3）， ∴2＝10，M2＝m2+4，M2＝（m+3）2+1＝m2+6m+10， ∵△M 为直角三角形， ∴当∠M＝90°时，∴2+M2＝M2， 10+ ∴ m2+6m+10＝m2+4， ∴m＝﹣ ， ∴M（1，﹣ ） 当∠M＝90°时，∴2+M2＝M2， 10+ ∴ m2+4＝m2+6m+10， ∴m＝ ， ∴M（1， ） 当∠M＝90°时，M2+M2＝2， ∴m2+4+m2+6m+10＝10， ∴m＝﹣1 或m＝﹣2， ∴M（1，﹣1）或（1，﹣2）， 即：满足条件的点M 的坐标为（1，﹣ ）或（1， ）或（1，﹣1）或（1，﹣2）． 10．如图1，抛物线y＝x2+bx+6 与x 轴交于点（﹣2，0），B（6，0），与y 轴交于点，顶 点为D，直线D 交y 轴于点E． （1）求抛物线的解析式． （2）如图2，将△E 沿直线D 平移得到△MP． ①当点M 落在抛物线上时，求点M 的坐标． ②在△MP 移动过程中，存在点M 使△MBD 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的 点M 的坐标． 解：（1）抛物线的表达式为：y＝（x+2）（x 6 ﹣）＝（x2 4 ﹣x 12 ﹣ ）＝x2 4 ﹣x 12 ﹣ ， 即：﹣12＝