1 如图所示为一块含有30°角的三角板，则∠=______°，∠B=_______°，∠＝ _____°。 2 如图所示为一块含有45°角的三角板，则∠=______°，∠B=_______°，∠＝ _____°。 方法点睛 我们知道一副三角板是由一块含有锐角分别为30°，60°的直角三角板和另一块含 有两个锐角45°的等腰直角三角板组成,它们提供了较为直观的30°，45°，60°以及 及 90°,此外这些角度还可以进行一些拼凑。依据平行线的性质，我们可以得到同位角、 内错角、同旁内角之间的关系，今天我们就来学习下由平行线与三角板构成的些位置 角的计算或证明问题 模型介绍 【例1】．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另 外两个锐角顶点，并测得∠1＝45°，则∠2 的度数为______ 解：如图所示： 3 ∠＝180° 60° 45° 解：如图，∠2＝45°，∠3＝60°， 2+ 3 ∴∠ ∠＝45°+60°＝105°， ∵∥b， 1 ∴∠＝180° 105° ﹣ ＝75°． 故答为：75°． 变式训练 【变式2-1】．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝43°，则∠2＝ （ ） ．40° B．43° ．45° D．47° 解：如图， ∵∠1＝43°，∠4＝45°， 3 ∴∠＝∠1+ 4 ∠＝88°， ∵直尺对边平行，

1 如图所示为一块含有30°角的三角板，则∠=______°，∠B=_______°，∠＝ _____°。 2 如图所示为一块含有45°角的三角板，则∠=______°，∠B=_______°，∠＝ _____°。 方法点睛 我们知道一副三角板是由一块含有锐角分别为30°，60°的直角三角板和另一块含 有两个锐角45°的等腰直角三角板组成,它们提供了较为直观的30°，45°，60°以及 及 90°,此外这些角度还可以进行一些拼凑。依据平行线的性质，我们可以得到同位角、 内错角、同旁内角之间的关系，今天我们就来学习下由平行线与三角板构成的些位置 角的计算或证明问题 模型介绍 【例1】．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另 外两个锐角顶点，并测得∠1＝45°，则∠2 的度数为______ 解：如图所示： 3 ∠＝180° 60° 45° 解：如图，∠2＝45°，∠3＝60°， 2+ 3 ∴∠ ∠＝45°+60°＝105°， ∵∥b， 1 ∴∠＝180° 105° ﹣ ＝75°． 故答为：75°． 变式训练 【变式2-1】．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝43°，则∠2＝ （ ） ．40° B．43° ．45° D．47° 解：如图， ∵∠1＝43°，∠4＝45°， 3 ∴∠＝∠1+ 4 ∠＝88°， ∵直尺对边平行，

1 如图所示为一块含有30°角的三角板，则∠=______°，∠B=_______°，∠＝ _____°。 2 如图所示为一块含有45°角的三角板，则∠=______°，∠B=_______°，∠＝ _____°。 方法点睛 我们知道一副三角板是由一块含有锐角分别为30°，60°的直角三角板和另一块含 有两个锐角45°的等腰直角三角板组成,它们提供了较为直观的30°，45°，60°以及 及 90°,此外这些角度还可以进行一些拼凑。依据平行线的性质，我们可以得到同位角、 内错角、同旁内角之间的关系，今天我们就来学习下由平行线与三角板构成的些位置 角的计算或证明问题 模型介绍 【例1】．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另 外两个锐角顶点，并测得∠1＝45°，则∠2 的度数为______ 变式训练 【变式1-1】．如图，一副三角尺△B ），如果DE∥B，那么的值是 ． 【例2】．将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，若直线∥b，则∠1 的度数为 ． 例题精讲 变式训练 【变式2-1】．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝43°，则∠2＝ （ ） ．40° B．43° ．45° D．47° 【变式2-2】．在一副三角尺中∠BP＝45°，∠PD＝60°，∠B＝∠＝90°，将它们按如图所示

专题03 三角形中的倒角模型-“8”字模型、“”字模型与三角板模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“”字 模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“8”字模型 图1 ． 又 ， ． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在 中， ，现将一块直角三角板放在 上，使三角板的两条直角边分别经过点 ，直角顶点D 落在 的内部，则 （ ）． ． B． ． D． 【答】 【分析】由三角形内角和定理可得∠B+∠B+ =180° ∠ ，即∠B+∠B=180- （3）如图，由三角形外角的性质可得， ， ， ， 故答为：360°． 【点睛】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键． 模型3、三角板模型 【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠=30°，∠=60°，图②中：∠=∠=45°， 例1．（2023·山西吕梁·联考模拟预测）如图： 和 是两块直角三角尺，两直角三角尺的 斜边B、DE

专题03 三角形中的倒角模型-“8”字模型、“”字模型与三角板模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“”字 模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“8”字模型 图1 B． ． D． 例4．（2023 秋·广西·八年级专题练习）如图所示， 的两边上各有一点 ，连接 ，求证 ． 例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在 中， ，现将一块直角三角板放在 上，使三角板的两条直角边分别经过点 ，直角顶点D 落在 的内部，则 （ ）． 235 245 ． B． ． D． 例6．（2023 秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1， 为直角三角形， ？ 分析： 图中 是“”型图，于是 ，所以 = ； (2)如图（3），“七角星”形，求 ； (3)如图（4），“八角星”形，可以求得 = ； 模型3、三角板模型 【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠=30°，∠=60°，图②中：∠=∠=45°， 例1．（2023·山西吕梁·联考模拟预测）如图： 和 是两块直角三角尺，两直角三角尺的 斜边B、DE

专题03 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“”字 模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 ...........................................................................................7 模型3 三角板拼接模型............................................................................................... 分别平分 和 ，∴ ， ∴ ， ∴ ． 模型3 三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠=30°，∠=60°，图②中：∠=∠=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、 60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）：

重难点突破06 相交线与平行线的5 种模型 （三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接模型） 目 录 题型01 三线八角模型 题型02 铅笔头模型 题型03 锯齿型模型 题型04 翘脚模型 题型05 三角板拼接模型 题型01 三线八角模型 模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系 已知 图示 结论（性质） 直线B、D 被直线EF 所截，且B 与D ．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想 的应用． 题型05 三角板拼接模型 【解题方法】通过一副三角板我们能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依据平行线的性质，我们可以 得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，从而求出对应角度数 【针对训练】 例6（2022·广东深圳·统考中考真题）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ） ．5° B．10° ∴∠DCB=∠F=30°， ∴∠1=45°−30°=15°， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 变式1（2022·江苏扬州·统考中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知∠E=60°，∠C=45°， EF ∥BC，则∠BND=¿ °． 【答】105 【分析】根据平行线的性质可得∠FAN=∠B=45°，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．

专题03 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“”字 模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 ...........................................................................................4 模型3 三角板拼接模型............................................................................................... 分别平分 和 ，直接写出 与 ， 的关系 模型3 三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠=30°，∠=60°，图②中：∠=∠=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、 60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）：

重难点突破06 相交线与平行线的5 种模型 （三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接模型） 目 录 题型01 三线八角模型 题型02 铅笔头模型 题型03 锯齿型模型 题型04 翘脚模型 题型05 三角板拼接模型 题型01 三线八角模型 模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系 已知 图示 结论（性质） 直线B、D 被直线EF 所截，且B 与D 平分∠PD，若∠P+ ∠PB＝∠PD，求∠D 的度数． 题型05 三角板拼接模型 【解题方法】通过一副三角板我们能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依据平行线的性质，我们可以 得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，从而求出对应角度数 【针对训练】 例6（2022·广东深圳·统考中考真题）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ） ．5° B．10° B．10° ．15° D．20° 变式1（2022·江苏扬州·统考中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知∠E=60°，∠C=45°， EF ∥BC，则∠BND=¿ °． 变式2（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中 ∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠≝¿45°，AB/¿ DE，则∠AFD的度数是（

．将一直角三角板的直角顶点放在点处（ ），一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方． (1)当 时，请解决一下问题； ①将图1 中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平分 ．求 的度数． ②将图1 中的三角板绕点以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线 恰好平分锐角 ，则t 的值为 （直接写出结果）． ③将图1 中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使 在 上方且 ，当三角板绕点顺时针旋转（旋转角度 ），试探究 三者之间的数量关系． 【变式训练1】以直线 上一点为端点，在直线 的上方作射线 ，使 ， 将一个直角三角板 的直角顶点放在处，即 ，直角三角板 可绕顶点转 动，在转动的过程中，直角三角板 所有部分始终保持在直线 上或上方． (1)如图1，若直角三角板 的一边 在射线 上，则 ______； (2)将直角三角板 绕点转动后，使其一边 绕点转动后，使其一边 在 的内部，如图2 所示， ①若 恰好平分 ，求此时 的度数； ②若 ，求此时 的度数； (3)直角三角板 在绕点转动的过程中， 与 之间存在一定的数量关系，请 直接写出来，不必说明理由． 【变式训练2】如图，点在直线 上，在同一平面内，以为顶点作直角 ．射线 、 射线 分别平分 、 ． (1)如图1，当 时， ________ ， ________ ． (2)如图1，猜想 与