模型44 三角板拼接模型（解析版）(1)

1 如图所示为一块含有30°角的三角板，则∠=______°，∠B=_______°，∠＝ _____°。 2 如图所示为一块含有45°角的三角板，则∠=______°，∠B=_______°，∠＝ _____°。 方法点睛 我们知道一副三角板是由一块含有锐角分别为30°，60°的直角三角板和另一块含 有两个锐角45°的等腰直角三角板组成,它们提供了较为直观的30°，45°，60°以及 90°,此外这些角度还可以进行一些拼凑。依据平行线的性质，我们可以得到同位角、 内错角、同旁内角之间的关系，今天我们就来学习下由平行线与三角板构成的些位置 角的计算或证明问题 模型介绍 【例1】．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另 外两个锐角顶点，并测得∠1＝45°，则∠2 的度数为______ 解：如图所示： 3 ∠＝180° 60° 45° ﹣ ﹣ ＝75°， 因为∠1＝45°， 所以∠2＝180° 1 3 ﹣∠﹣∠＝180° 45° 75° ﹣ ﹣ ＝60°． 变式训练 【变式1-1】．如图，一副三角尺△B 与△DE 的两条斜边在一条直线上，直尺的一边GF∥， 则∠DFG 的度数为 105° ． 解法一：∵GF∥，∠＝90°， ∴∠FG＝180° 90° ﹣ ＝90°， 又∵D，F 交于一点，∠＝∠D， ∴∠D＝∠FD＝60° 45° ﹣ ＝15°， ∴∠DFG＝∠FD+∠FG＝15°+90°＝105°． 解法二：∵GF∥，∠B＝60°， ∴∠FGE＝60°， 又∵∠DFG 是△EFG 的外角，∠FEG＝45°， ∴∠DFG＝∠FGE+∠FEG＝60°+45°＝105°， 例题精讲 故答为：105°． 【变式1-2】．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点与F 重合，边与边FE 叠合，顶点 B、、D 在一条直线上）．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转°后（0＜＜180 ），如果DE∥B，那么的值是 75° ． 解：如图： ∵顺时针旋转°后，DE∥B， ∴D'E'∥B， 延长、E'D'交于点G， ∴∠GD'＝∠B＝45°， ∵∠D'E'＝60°， ∴∠GD'＝15°， ∵∠GD'+∠D'E'+∠E'＝180°，∠D'E'＝90°， ∴∠E'＝75°， ∴的值为75． 故答为：75°． 【例2】．将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，若直线∥b，则∠1 的度数为 75° ． 解：如图，∠2＝45°，∠3＝60°， 2+ 3 ∴∠ ∠＝45°+60°＝105°， ∵∥b， 1 ∴∠＝180° 105° ﹣ ＝75°． 故答为：75°． 变式训练 【变式2-1】．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝43°，则∠2＝ （ ） ．40° B．43° ．45° D．47° 解：如图， ∵∠1＝43°，∠4＝45°， 3 ∴∠＝∠1+ 4 ∠＝88°， ∵直尺对边平行， 5 ∴∠＝∠3＝88°， 6 ∵∠＝45°， 2 ∴∠＝180° 45° 88° ﹣ ﹣ ＝47°，故选：D． 【变式2-2】．在一副三角尺中∠BP＝45°，∠PD＝60°，∠B＝∠＝90°，将它们按如图所示 摆放在量角器上，边PD 与量角器的0°刻度线重合，边P 与量角器的180°刻度线重合． 将三角尺PD 绕点P 以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺BP 绕点P 以每秒2°的速 度顺时针旋转，当三角尺PD 的P 边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当 运动时间t＝ 6 、 9 、 15 、 33 秒时，两块三角尺有一组边平行． ①当P∥D 时，∠PD+∠D＝180°． ∵∠D＝30°， ∴∠PD＝150°． 180° 5 ∴ ﹣t＝150°． t＝6． ②当B∥PD 时，∠+∠PD＝180°． ∵∠＝45°， ∴∠PD＝135°， 180° 5 ∴ ﹣t＝135°， t＝9． ③当B∥D 时，∠PD＝105°＝180° 5 ﹣t， ∴t＝15． ④当 B∥P 时，∠PB＝90°， ∴∠PD＝60°+45° 90° ﹣ ＝180° 5 ﹣t， ∴t＝33． ⑤当P∥D 时，∠+∠P＝180°， ∴∠PD＝90°， ∴∠PD＝30°＝5t 180° ﹣ ， ∴t＝42＞40（舍去）． 故答为：6，9，15，33． 1．将一副三角板按如图所示方式叠放在一起，其中直角顶点重合于点，若B∥D，则∠1 的 度数为（ ） ．60° B．65° ．70° D．75° 解：由题意可知， ∠B＝45°，∠D＝30°， ∵B∥D， ∴∠BD＝∠B＝45°， 1 ∵∠＝∠BD+∠D， 1 ∴∠＝45°+30°＝75°， 故选：D． 2．一把直尺与一块三角板如图放，若∠1＝49°，则∠2 的度数为（ ） ．41° B．49° ．131° D．139° 解：如图， 根据三角形外角性质可得：∠3＝90°+ 1 ∠＝90°+49°＝139°， 根据平行线的性质可得：∠2＝∠3＝139°． 故选：D． 3．如图，直线m∥，三角尺的直角顶点在直线m 上，且三角尺的直角被直线m 平分，若∠1 ＝60°，则下列结论正确的是（ ） ．∠2＝65° B．∠3＝45° ．∠4＝125° D．∠5＝130° 解：如图： ∵三角尺的直角被直线m 平分， 6 ∴∠＝∠7＝45°， 1 ∵∠＝60°， 4 ∴∠＝∠6+ 1 ∠＝45°+60°＝105°， ∵m∥， 3 ∴∠＝∠7＝45°，∠2＝180° 4 ﹣∠＝75°， 5 ∴∠＝180° 3 ﹣∠＝180° 45° ﹣ ＝135°， ∴选项、、D 不符合题意，选项B 符合题意， 故选：B． 4．将一副三角板按如图所示的位置摆放B∥D，则∠1 的度数为（ ） ．45° B．60° ．75° D．105° 解：如图， 由题意得：∠D＝45°，∠B＝30°， ∵B∥D， ∴∠M＝∠D＝45°， ∴∠BE＝∠M＝45°， 1 ∵∠是△BE 的外角， 1 ∴∠＝∠B+∠BE＝75°． 故选：． 5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线∥b，则∠1 的大小为（ ） ．105° B．75° ．60° D．45° 解：如图： ∠B＝45°+60°＝105°， ∵∥b， 1+ ∴∠ ∠B＝180°， 1 ∴∠＝180° 105° ﹣ ＝75°． 故选：B． 6．一副三角板按如图所示的位置叠放在一起，则图中∠α 的度数是（ ） ．5° B．10° ．15° D．20° 解：如图， 由题意得：∠＝45°，∠2＝60°， 2 ∵∠是△B 的外角， ∴∠α＝∠2﹣∠＝15°． 故选：． 7．将一副三角板按如图所示的位置摆放，∠＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，点D 在 边B 上，边DE，B 交于点G．若EF∥B，则∠DE 的度数为（ ） ．105° B．100° ．95° D．75° 解：∵EF∥B，∠E＝45°， ∴∠BGD＝∠E＝45°， ∵∠DE 是△BDG 的外角，∠B＝60°， ∴∠DE＝∠B+∠BGD＝105°． 故选：． 8．将一副直角三角板按如图所示方式叠放，现将含30°角的三角板固定不动，把含45°角 的三角板绕点按每秒15°的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行 时，则三角板旋转的时间为（ ）秒． ．5 B．7 ．5 或17 D．7 或19 解：如图，当斜边B∥D 时，∠D＝∠＝30°， ∵∠DE＝45°， ∴旋转角E＝180°﹣D﹣∠DE＝105°， 105°÷15°＝7（秒）； 如图，将△BE 继续逆时针旋转180°，可得斜边B∥D′， 此时，旋转角为105°+180°＝285°， 285°÷15°＝19； 故选：D． 9．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△B）的长直角边与含45°角的三角尺 （△D）的斜边恰好重合，已知B＝4 ，P、Q 分别是、B 上的动点，当四边形DPBQ 为平行四边形时，平行四边形DPBQ 的面积是（ ） ．9 B． ．6 D．3 解：∵∠B＝90°，∠B＝30°，B＝4 ， ∴＝B•s30°＝4 × ＝6， ∵四边形DPBQ 为平行四边形， ∴DP∥B， ∴∠DP＝∠B＝90°， ∵D＝D，∠D＝90°， ∴点P 是的中点， ∴DP＝P＝ ＝3， ∴平行四边形DPBQ 的面积＝DP•P ＝3×3 ＝9， 故选：． 10．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D 在边上，B∥EF，则∠DE 的大小为 75 度． 解：如图，∠＝30°，∠E＝45°， ∵B∥EF， 1 ∴∠＝∠E＝45°， ∴∠DE＝∠1+∠＝45°+30°＝75°， 故答为：75． 11．已知：如图，B∥D，一副三角板按如图所示放置，∠EG＝30°．求∠FD 的度数． 解：过点G 作B 平行线交EF 于P， 由题意易知，B∥GP∥D， ∴∠EGP＝∠EG＝30°， ∴∠PGF＝60°， ∴∠GF＝∠PGF＝60°， ∴∠FD＝180°﹣∠GF﹣∠GFP﹣∠EF＝45°． 12．将一副三角板如图拼接：含30°角的三角板（△B）的长直角边与含45°角的三角板 （△D）的斜边恰好重合．已知B＝2 ，P 是上的一个动点，连接DP． （1）当点P 运动到∠B 的平分线上时，求DP 的长； （2）当点P 在运动过程中出现PD＝B 时，求此时∠PD 的度数． 解：（1）在Rt△B 中，B＝2 ，∠B＝30° ∴B＝ ，＝3． 如图（1），作DF⊥ Rt ∵ △D 中，D＝D ∴DF＝F＝F＝ ， ∵BP 平分∠B ∴∠PB＝30° ∴P＝B•t30°＝1 ∴PF＝ ∴DP＝ ＝ ． （2）当P 点位置如图（2）所示时， 根据（1）中结论，DF＝ ，∠DF＝45° 又PD＝B＝ s ∴∠PDF＝ ＝ ∴∠PDF＝30° ∴∠PD＝∠DF﹣∠PDF＝15° 当P 点位置如图（3）所示时， 同（2）可得∠PDF＝30°． ∴∠PD＝∠DF+∠PDF＝75°． 13．小聪把一副三角尺B，DE 按如图1 的方式摆放，其中边B，D 在同一条直线上，过点 向右作射线P∥DE． （1）如图2，求∠P 的度数； （2）如图3，点Q 是线段B 上一点，若 ，求∠QB 的度数． 解：（1）∵P∥DE， ∴∠PB+∠D＝∠BD， ∵∠D＝30°，∠BD＝90°，∠B＝45°， ∴∠P＝15°． （2）∵P∥DE， ∴∠PQ+∠D＝∠QB， ∵∠QB＝ ∠PQ， ∴设∠PQ＝x，则∠QB＝ x， ∴x+30°＝ x， 解得x＝45°， ∴∠QB＝75°， ∴∠QB＝90° 75° ﹣ ＝15°． 14．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起： （1）若∠DE＝35°，则∠B 的度数为 145° ； （2）若∠B＝140°，求∠DE 的度数； （3）猜想∠B 与∠DE 的大小关系，并说明理由； （4）三角尺D 不动，将三角尺BE 的E 边与边重合，然后绕点按顺时针或逆时针．方 向任意转动一个角度，当∠E（0°＜∠E＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边 互相垂直，直接写出∠E 角度所有可能的值，不用说明理由． 解：（1）∵∠D＝∠EB＝90°， ∴∠B＝180° 35° ﹣ ＝145°． （2）∵∠D＝∠EB＝90°， ∴∠DE＝180° 140° ﹣ ＝40°． （3）∵∠E+∠ED+∠DB+∠ED＝180． ∵∠E+∠ED+∠DB＝∠B， ∴∠B+∠DE＝180°，即∠B 与∠DE 互补． （4）30°、45°、60°、75°． 15．将一副三角尺按如图①方式拼接：含30°角的三角尺的长直角边与含45°角的三角尺的 斜边恰好重合（在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°；在Rt△D 中，∠D＝90°∠D＝45°）已 知B＝2 P 是上的一个动点． （1）当PD＝B 时，求∠PD 的度数； （2）如图②，若E 是D 的中点，求△DEP 周长的最小值； （3）如图③，当DP 平分∠D 时，在△B 内存在一点Q，使得∠DQ＝∠DP，且Q＝ ，求PQ 的长． 解：（1）如图1，过点D 作DM⊥交于M， 在Rt△B 中，∠B＝30°， ∴B：：B＝1： ：2，且B＝2 ， ∴B＝ ，＝3， 在Rt△D 中，D：D：＝1：1： ， ∴M＝M＝DM＝15； 在Rt△PDM 中，PD＝B＝ ， ∴PM＝ ＝ ， ∴PM＝ PD， ∴∠PDM＝30°， ∴∠PD＝45° 30° ﹣ ＝15°； 当点P 位于DM 右侧时，∠PD＝45°+30°＝75°． （2）如图2，作△D 关于直线对称，D 的对称点为D′， 则四边形D′D 是正方形， 连接D′E，PD， 此时PD+PE＝D′E， ∴△PDE 的周长最小， 易得D＝D′＝ ，E＝DE＝ ， 则D′E＝ ＝ ， ∴△PDE 的周长的最小值为 + ； （3）如图3，作∠QP＝90°，交DQ 于点， 由∠DQ＝∠DP＝90°知∠PD＝∠PQ， 由∠DPQ＝∠DP+90°＝∠PQ+90°知∠DP＝∠PQ， 又DP＝P， ∴△DP≌△PQ（S）， ∴P＝PQ， ∴△PQ 是等腰直角三角形， ∴∠PQ＝∠PQ＝45°， ∴∠PQ＝45°+90°＝135°＝∠PD， ∴D＝Q＝ ， 在Rt△DQ 中，DQ＝ ＝2， ∴Q＝2﹣ ， 在等腰直角三角形PQ 中，PQ：P：Q＝1：1： ， ∴PQ＝ ﹣ ． 16．（1）如图1，线段M＝30m，M＝G＝3m，点P 从点M 开始绕着点以15°/s 的速度顺时 针旋转一周回到点M 后停止，点Q 同时出发沿射线M 自点向M 点运动，若点P、Q 两 点能恰好相遇，则点Q 运动的速度为 125 m / s 或 2 m/s； （2）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，∠D ＝∠EB＝90°，∠＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．将三角尺△D 固定，另一三角尺 △EB 的E 边从边开始绕点转动，转动速度与（1）问中P 点速度相同，当∠E＜180°且点 E 在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请写出∠E 有可 能的值及对应转动的时间；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵点P 在⊙上绕点旋转的速度为15°/s， ∴点P 到达点G 的时间为180°÷15°＝12s， 回到点M 的时间为360°÷15°＝24s， ∵点Q 在射线M 上运动， ∴点P、Q 相遇的地点只有G、M， ∴点Q 运动的速度为（30 3×2 ﹣ ）÷12＝2m/s， 或30÷24＝125m/s， 故答为：125m/s 或2m/s； （2）存在， 当∠E＝30°时，D∥B，用时30°÷15°＝2s， 当∠E＝∠E＝45°时，∥BE，用时45°÷15°＝3s， 当∠E＝120°时，D∥E，用时120°÷15°＝8s， 当∠E＝135°时，BE∥D，用时135°÷15°＝9s， 当∠E＝165°时，BE∥D，用时165°÷15°＝11s．