【答】(1) ；(2) ． 【详解】解：(1) DP ∵ 平分∠D， DP= PDF= ∴∠ ∠ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； (2) BP ∵ 平分∠B，DP 平分∠D， DP= PDF ∴∠ ∠ ，∠BP= PB ∠ ， + DP= P+ BP ∵∠∠ ∠ ∠ ， + BP= P+ PDF ∠∠ ∠ ∠ ， + =2 P ∴∠∠ ∠， =42° ∵∠ ，∠=38°， P=

． （2）当P 点位置如图（2）所示时， 根据（1）中结论，DF＝ ，∠DF＝45° 又PD＝B＝ s ∴∠PDF＝ ＝ ∴∠PDF＝30° ∴∠PD＝∠DF﹣∠PDF＝15° 当P 点位置如图（3）所示时， 同（2）可得∠PDF＝30°． ∴∠PD＝∠DF+∠PDF＝75°． 13．小聪把一副三角尺B，DE 按如图1 的方式摆放，其中边B，D 在同一条直线上，过点

． （2）当P 点位置如图（2）所示时， 根据（1）中结论，DF＝ ，∠DF＝45° 又PD＝B＝ s ∴∠PDF＝ ＝ ∴∠PDF＝30° ∴∠PD＝∠DF﹣∠PDF＝15° 当P 点位置如图（3）所示时， 同（2）可得∠PDF＝30°． ∴∠PD＝∠DF+∠PDF＝75°． 13．小聪把一副三角尺B，DE 按如图1 的方式摆放，其中边B，D 在同一条直线上，过点

的长，在Rt△PED 中，由勾股定理求得 答． （1） ∵四边形BD 是矩形， ∴B=D，∠=∠B=∠D= =90° ∠ ， 由折叠知，B=PD，∠=∠P，∠B=∠PDF=90°， ∴PD=D，∠P=∠，∠PDF =∠D， ∴∠PDF-∠EDF=∠D-∠EDF, ∴∠PDE=∠DF， 在△PDE 和△DF 中， , ∴ （S）； （2） 如图，过点E 作EG⊥B 交于点G， ∵四边形BD

（2）若BP＝2，求Q 的长； （3）记线段PQ 与线段DE 的交点为F，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长． 图1 备用图 思路点拨 1．第（2）题BP＝2 分两种情况． 2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系． 3．第（3）题探求等腰三角形PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形DQ． 满分解答 的延长线上时，PM＝5． 此时 ．所以 ． （3）如图5，如图2，在Rt△PDQ 中， ． 在Rt△B 中， ．所以∠QPD＝∠． 由∠PDQ＝90°，∠DE＝90°，可得∠PDF＝∠DQ． 因此△PDF∽△DQ． 当△PDF 是等腰三角形时，△DQ 也是等腰三角形． ①如图5，当Q＝D＝5 时，Q＝Q－＝5－4＝1（如图3 所示）． 此时 ．所以 ． ②如图6，当Q＝QD 时，由 ，可得

∴四边形EPF 为矩形， ∴∠EPF＝90°， ∴∠EP+∠PF＝90°， 又∵∠PD＝90°， ∴∠PF+∠FPD＝90°， ∴∠EP＝∠FPD＝90°﹣∠PF． 在△PE 与△PDF 中， ∵ ， ∴△PE≌△PDF（S）， ∴P＝PD． 模型四、旋转全等模型 【例4】．如图，已知：D＝B，E＝，D⊥B，E⊥．猜想线段D 与BE 之间的数量关系与位 置关系，并证明你的猜想． 解：猜想：D＝BE，D⊥BE， 即BE＝12，F＝5； （2）证明：延长ED 到P，使DP＝DE，连接FP，P， 在△BED 和△PD 中， ， ∴△BED≌△PD（SS）， ∴BE＝P，∠B＝∠DP， 在△EDF 和△PDF 中， ， ∴△EDF≌△PDF（SS）， ∴EF＝FP， ∵∠B＝∠DP，∠＝90°， ∴∠B+∠B＝90°， ∴∠B+∠DP＝90°，即∠FP＝90°， 在Rt△FP 中，根据勾股定理得：F2+P2＝PF2，

∴四边形EPF 为矩形， ∴∠EPF＝90°， ∴∠EP+∠PF＝90°， 又∵∠PD＝90°， ∴∠PF+∠FPD＝90°， ∴∠EP＝∠FPD＝90°﹣∠PF． 在△PE 与△PDF 中， ∵ ， ∴△PE≌△PDF（S）， ∴P＝PD． 模型四、旋转全等模型 【例4】．如图，已知：D＝B，E＝，D⊥B，E⊥．猜想线段D 与BE 之间的数量关系与位 置关系，并证明你的猜想． 解：猜想：D＝BE，D⊥BE， 即BE＝12，F＝5； （2）证明：延长ED 到P，使DP＝DE，连接FP，P， 在△BED 和△PD 中， ， ∴△BED≌△PD（SS）， ∴BE＝P，∠B＝∠DP， 在△EDF 和△PDF 中， ， ∴△EDF≌△PDF（SS）， ∴EF＝FP， ∵∠B＝∠DP，∠＝90°， ∴∠B+∠B＝90°， ∴∠B+∠DP＝90°，即∠FP＝90°， 在Rt△FP 中，根据勾股定理得：F2+P2＝PF2，

∴P＝PD，∠PE＝∠PDF＝45°， ∵∠PE+∠EPD＝∠DPF+∠EPD＝90°， ∴∠PE＝∠DPF， 在△PE 和△DPF 中 ∴△PE≌△DPF（S）， ∴E＝DF， ∴DE+DF＝D； （2）如图②，取D 的中点M，连接PM， ∵四边形BD 为∠D＝120°的菱形， ∴BD＝D，∠DP＝30°，∠DP＝∠DP＝60°， ∴△MDP 是等边三角形， ∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°， ∵∠PM＝30°，

DE=∠BDF，设∠CDF=∠CDO=x， 则∠BDE=∠BDF=31°+x，然后根据角的和差可得∠ADE=31°，最后根据直角三 角形的性质即可判断③；先根据三角形全等的判定证出△ADE≅△PDF， Rt △BDE≅Rt △BDF，再根据全等三角形的性质可得AE=PF ,BE=BF，然后根据线 段和差、等量代换即可判断④． 【详解】解：如图，过点D作DO⊥AC于点O， ∵BD ,CD分别平分∠ABC ∴∠EDF+∠ABC=360°−90°−90°=180°， ∵∠ADP+∠ABC=180°， ∴∠EDF=∠ADP， ∴∠EDF−∠ADF=∠ADP−∠ADF，即∠ADE=∠PDF， 在△ADE和△PDF中，¿， ∴△ADE≅△PDF (ASA )， ∴AE=PF， 由上已证：Rt △BDE≅Rt △BDF， ∴BE=BF， ∴BP−2 AE=BP−PF−AE=BF−AE=BE−AE=AB，结论④正确；

的长． 【答】4m 【详解】如图，过点P 作PF⊥B 于点F， ∵平分∠B，PE⊥，∴PF＝PE，∠EP＝∠DP ∵PD ，∠B＝30°，∴∠PDF＝∠B＝30°， ∴∠DP＝∠EP＝∠DP，∴ PD＝D＝8m 在Rt PDF △ 中，∵∠DFP=90°,∠FDP=30° ∴PF= PD=4m，∴ PF＝PE＝4m． 【变式训练1】如图， 中， ，点 分别在边 ， 上， ，