模型03 全等三角形中的常见五种基本模型（解析版）

全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲 解，这里就不在重复 模型一、截长补短模型 ①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。 如图所示，在BF 上截取BM=DF，易证△BM≌△DF（SS），则M=F=FG， ∠BM=∠DF， 可得△MF 为等腰直角三角形，又可证∠FE=45°，∠FG=90°， ∠FG=∠MF，FG∥M，可得四边形GFM 为平行四边形，则G=MF，于是 BF=BM+MF=DF+G ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。 如图所示，延长G 至，使=DF，易证△DF≌△B（SS）， 可得F=FG=B，∠DF=∠B=135°， 又知∠FG=45°，可证B∥FG，于是四边形BFG 为平行四边形，得BF=G， 所以BF=G=+G=DF+G 模型介绍 模型二、平移全等模型 模型三、对称全等模型 模型四、旋转全等模型 模型五、手拉手全等模型 模型一、截长补短模型 【例1】如图，D⊥B，B+BD＝D，∠B＝54°，则∠＝ 27° ． 解：在D 上截取DE＝BD，连接E， ∵D⊥B，DE＝BD， ∴D 是BE 的垂直平分线， ∴B＝E， ∴∠B＝∠EB＝54°， ∵B+BD＝D，DE+E＝D， ∴B＝E， ∴E＝E， ∴∠＝∠E， + ∵∠∠E＝∠EB＝54°， ∴∠＝∠E＝ ∠EB＝27°，故答为：27°． 变式训练 【变式1-1】．如图，点P 是△B 三个内角的角平分线的交点，连接P、BP、P，∠B＝60°， 且+P＝B，则∠B 的度数为（ ） 例题精讲 ．60° B．70° ．80° D．90° 解：如图，在B 上截取E＝，连接PE， ∵∠B＝60°， ∴∠B+∠B＝120° ∵点P 是△B 三个内角的角平分线的交点， ∴∠P＝∠BP＝ ∠B，∠BP＝∠BP＝ ∠B，∠P＝∠BP， ∴∠BP+∠BP＝60° ∵＝E，∠P＝∠BP，P＝P ∴△P≌△EP（SS） ∴P＝PE，∠P＝∠EP + ∵P＝B，且B＝E+BE， ∴P＝BE， ∴BE＝PE， ∴∠EPB＝∠EBP， ∴∠PE＝∠EBP+∠EPB＝2∠PBE＝∠P ∴∠PB＝2∠PB，且∠BP+∠BP＝60°， ∴∠PB＝40°， ∴∠B＝80°故选：． 【变式1-2】．如图，在四边形BD 中，B＞B，D＝D，BD 平分∠B， 求证：∠+∠＝180°． 证明：在线段B 上截取BE＝B，连接DE，如图所示． ∵BD 平分∠B， ∴∠BD＝∠EBD． 在△BD 和△EBD 中， ， ∴△BD≌△EBD（SS），∴D＝ED，∠＝∠BED． ∵D＝D， ∴ED＝D，∴∠DE＝∠． ∵∠BED+∠DE＝180°，∴∠+∠＝180°． 【变式1-3】．如图，△B 为等腰直角三角形，B＝，∠B＝90°，点D 在线段B 上，连接D， ∠D＝60°，D＝2，过作E⊥D，且E＝D，连接DE，交B 于F． （1）求△DE 的面积； （2）证明：DF+F＝EF． （1）解：在Rt△D 中，∵D＝2，∠D＝60°， ∴∠D＝30°， ∴D＝E＝2D＝4， ∵E⊥D， ∴∠ED＝90°， ∴S△ED＝ •D•E＝ ×4×4＝8． （2）证明：在EF 上取一点M，使得EM＝DF， ∵E＝D，∠E＝∠DF＝45°， ∴△EM≌△DF， ∴M＝F， ∵∠D＝60°， ∠FDB＝180° 60° 45° ﹣ ﹣ ＝75°， ∴∠DFB＝∠FM＝180° 75° 45° ﹣ ﹣ ＝60°， ∴△FM 是等边三角形， ∴F＝MF， ∴EF＝EM+MF＝DF+F． 模型二、平移全等模型 【例2】．如图，在四边形BD 中，E 是B 的中点，D∥E，∠ED＝∠B． （1）求证：△ED≌△EB． （2）当B＝6 时，求D 的长． （1）证明：∵D∥E，∴∠＝∠BE， ∵E 是B 中点，∴E＝EB， ∵∠ED＝∠B，∴△ED≌△EB． （2）解：∵△ED≌△EB，∴D＝E， ∵D∥E，∴四边形ED 是平行四边形，∴D＝E， ∵B＝6，∴D＝ B＝3． 变式训练 【变式2-1】．如图1，，B，，D 在同一直线上，B＝D，DE∥F，且DE＝F，求证： △F≌△DEB．如果将BD 沿着D 边的方向平行移动，如图2，3 时，其余条件不变，结论 是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 解：∵B＝D， ∴B+B＝D+B， 即＝BD． ∵DE∥F， ∴∠＝∠D． 在△F 和△DEB 中， ， ∴△F≌△DEB（SS）． 在（2），（3）中结论依然成立． 如在（3）中，∵B＝D， ∴B﹣B＝D﹣B， 即＝BD， ∵F∥DE， ∴∠＝∠D． 在△F 和△DEB 中， ， ∴△F≌△DEB（SS）． 【变式2-2】．如图，D，BF 相交于点，B∥DF，B＝DF，点E 与点在BF 上，且BE＝F． （1）求证：△B≌△DFE； （2）求证：点为BF 的中点． 证明：（1）∵B∥DF， ∴∠B＝∠F， ∵BE＝F， ∴B＝EF， 在△B 和△DFE 中， ， ∴△B≌△DFE（SS）； （2）∵△B≌△DFE， ∴＝DE，∠B＝∠DEF， 在△和△DE 中， ， ∴△≌△DE（S）， ∴E＝， ∴点为BF 的中点． 【变式2-3】．如图，△B 和△D 均为等腰直角三角形，∠B＝∠D＝90°，D 在B 上． （1）求证：△≌△BD； （2）若D＝1，∠D＝60°，求D 的长． （1）证明：∵△B 和△D 均为等腰直角三角形， ∴∠B＝∠D＝90°，＝B，＝D， ∴∠BD+∠D＝90°，∠+∠D＝90°， ∴∠BD＝∠， 在△和△BD 中， ， ∴△≌△BD（SS）； （2）解：∵△≌△BD， ∴∠＝∠DB＝45°， 又∠B＝45°， ∴∠D＝90°， ∵D＝1，∠D＝60°，∴D＝2D＝2． 模型三、对称全等模型 【例3】．如图，D∥B，∠D＝90°，∠PB＝30°，∠DB 的角平分线与∠B 的角平分线相交于点 P，且D，P，在同一条直线上． （1）求∠PD 的度数； （2）求证：P 是线段D 的中点． （1）解：∵D∥B， ∴∠＝180°﹣∠D＝180° 90° ﹣ ＝90°， ∵∠PB＝30°， ∴∠PB＝90°﹣∠B＝60°， ∵PB 平分∠B， ∴∠B＝2∠PB＝120°， ∵D∥B， ∴∠DB+∠B＝180°， ∴∠DB＝180° 120° ﹣ ＝60°， ∵P 平分∠DB， ∴∠PD＝ ∠DB＝30°； （2）证明：过P 点作PE⊥B 于E 点，如图， ∵P 平分∠DB，PD⊥D，PE⊥B， ∴PE＝PD， ∵BP 平分∠B，P⊥B，PE⊥B， ∴PE＝P， ∴PD＝P， ∴P 是线段D 的中点． 变式训练 【变式3-1】．如图，B＝，D、E 分别是B、的中点，M⊥D 于M，⊥BE 干． 求证：M＝． 解：∵B＝，D、E 分别是B、的中点， ∴D＝BD＝E＝E，∠B＝∠， 在△DB 和△EB 中 ∴△DB≌△EB， ∴∠BD＝∠BDE， ∵∠BD＝∠DM，∠BE＝∠E， ∴∠DM＝∠E， 在△MD 和△E 中 ∵ ∴△MD≌△E ∴M＝． 【变式3-2】．如图，已知点E、F 分别是正方形BD 中边B、B 上的点，且B＝12，E＝6， 将正方形分别沿DE、DF 向内折叠，此时D 与D 重合为DG，求F 的长度． 解：设F＝x，则FG＝x，FB＝12﹣x， ∵B＝12，E＝6， ∴BE＝6，EG＝6， ∴EF＝6+x， 在Rt△BEF 中， BE2+BF2＝EF2， 62+（12﹣x）2＝（x+6）2， x＝4， 即F 的长为4． 【变式3-3】．如图，∠B＝90°，M 平分∠B，将直角三角板的顶点P 在射线M 上移动，两 直角边分别与、B 相交于点、D，问P 与PD 相等吗？试说明理由． 解：P 与PD 相等．理由如下： 过点P 作PE⊥于点E，PF⊥B 于点F． ∵M 平分∠B，点P 在M 上，PE⊥，PF⊥B， ∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等） 又∵∠B＝90°，∠PE＝∠PF＝90°， ∴四边形EPF 为矩形， ∴∠EPF＝90°， ∴∠EP+∠PF＝90°， 又∵∠PD＝90°， ∴∠PF+∠FPD＝90°， ∴∠EP＝∠FPD＝90°﹣∠PF． 在△PE 与△PDF 中， ∵ ， ∴△PE≌△PDF（S）， ∴P＝PD． 模型四、旋转全等模型 【例4】．如图，已知：D＝B，E＝，D⊥B，E⊥．猜想线段D 与BE 之间的数量关系与位 置关系，并证明你的猜想． 解：猜想：D＝BE，D⊥BE， 理由如下：∵D⊥B，E⊥， ∴∠DB＝∠E＝90°． ∴∠DB+∠B＝∠E+∠B，即∠D＝∠EB， 在△D 和△EB 中， ， ∴△D≌△EB（SS）， ∴D＝BE，∠D＝∠BE， ∵∠GD＝∠FGB， ∴∠BFD＝∠BD＝90°，即D⊥BE． 变式训练 【变式4-1】．已知△B 和△DE 均为等腰三角形，且∠B＝∠DE，B＝，D＝E． （1）如图1，点E 在B 上，求证：B＝BD+BE； （2）如图2，点E 在B 的延长线上，求证：B＝BD﹣BE． （1）证明：∵∠B＝∠DE， ∴∠B﹣∠BE＝∠DE﹣∠BE， 即∠DB＝∠E， 又∵B＝，D＝E， ∴△DB≌△E（SS）， ∴BD＝E， ∴B＝BE+E＝BD+BE； （2）证明：∵∠B＝∠DE， ∴∠B+∠EB＝∠DE+∠EB， 即∠DB＝∠E， 又∵B＝，D＝E， ∴△DB≌△E（SS）， ∴BD＝E， ∴B＝E﹣BE＝BD﹣BE． 【变式4-2】．如图所示，已知P 是正方形BD 外一点，且P＝3，PB＝4，则P 的最大值是 3+4 ． 解：如图，过点B 作BE⊥BP，且BE＝PB，连接E、PE、P， 则PE＝ PB＝4 ， ∵∠BE＝∠BP+90°，∠BP＝∠BP+90°， ∴∠BE＝∠BP， 在△BE 和△BP 中， ， ∴△BE≌△BP（SS）， ∴E＝P， 由两点之间线段最短可知，点、P、E 三点共线时E 最大， 此时E＝P+PE＝3+4 ， 所以，P 的最大值是3+4 ． 故答为：3+4 ． 模型五、手拉手全等模型 【例5】．如图，△B 与△DE 是以点为公共顶点的两个三角形，且D＝E，B＝，∠DE＝∠B ＝90°，且线段BD、E 交于F． （1）求证：△E≌△DB． （2）猜想E 与DB 之间的关系，并说明理由． （1）证明：∵∠B＝∠DE， ∴∠B+∠D＝∠DE+∠D， ∴∠BD＝∠E， 在△BD 与△E 中， ， ∴△BD≌△E（SS）； （2）解：E＝DB，E⊥DB． 理由：由（1）知，△BD≌△E， ∴∠BD＝∠E，BD＝E， ∵∠B＝90°， ∴∠BF+∠BF＝∠B+∠B＝90°，∴∠BF＝90°，∴E⊥BD． 变式训练 【变式5-1】．如图，为线段E 上一动点（不与点，E 重合），在E 同侧分别作正三角形B 和正三角形DE、D 与BE 交于点，D 与B 交于点P，BE 与D 交于点Q，连接PQ．以下 五个结论：①D＝BE；②P＝BQ；③DE＝DP；④∠B＝60°．恒成立的结论有几个（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 解：①∵正△B 和正△DE， ∴＝B，D＝E，∠B＝∠DE＝60°， ∵∠D＝∠B+∠BD，∠BE＝∠DE+∠BD， ∴∠D＝∠BE， ∴△D≌△BE（SS）， ∴D＝BE，∠D＝∠EB，（故①正确）； ②又∵＝B，∠P＝∠BQ＝60°，∠D＝∠EB， ∴△DP≌△EQ（S）． ∴P＝BQ，（故②正确）； ③∵△P≌△BQ， ∴P＝QB， ∵△D≌△BE ∴D＝BE， ∴D﹣P＝BE﹣QB， ∴DP＝EQ， ∵DE＞QE，且DP＝QE， ∴DE＞DP，（故③错误）； ④∠B＝∠DE+∠E＝∠DE+∠D＝∠DE＝60°，（故④正确）． ∴正确的有：①②④．故选：． 【变式5-2】．如图，∠BD＝∠E＝90°，B＝D，E＝，F⊥B，垂足为F． （1）求证：△B≌△DE； （2）求∠FE 的度数； （3）求证：D＝2BF+DE． 证明：（1）∵∠BD＝∠E＝90°， ∴∠B+∠D＝90°，∠D+∠DE＝90°， ∴∠B＝∠DE， 在△B 和△DE 中， ， ∴△B≌△DE（SS）； （2）∵∠E＝90°，＝E， ∴∠E＝45°， 由（1）知△B≌△DE， ∴∠B＝∠E＝45°， ∵F⊥B， ∴∠F＝90°， ∴∠F＝45°， ∴∠FE＝∠F+∠E＝45°+90°＝135°； （3）延长BF 到G，使得FG＝FB， ∵F⊥BG， ∴∠FG＝∠FB＝90°， 在△FB 和△FG 中， ， ∴△FB≌△FG（SS）， ∴B＝G，∠BF＝∠G， ∵△B≌△DE， ∴B＝D，∠B＝∠ED，B＝ED， ∴G＝D，∠BF＝∠D， ∴∠G＝∠D， ∵∠G＝∠D＝45°， 在△G 和△D 中， ， ∴△G≌△D（S）， ∴G＝D， ∵G＝B+BF+FG＝B+2BF＝DE+2BF， ∴D＝2BF+DE． 【变式5-3】．（1）如图1，等腰△B 与等腰△DE 有公共点，且∠B＝∠ED，连接BE、D， 若B＝，E＝D，求证：BE＝D． （2）若将△DE 绕点旋转至图2、图3、图4 情形时，其余条件不变，BE 与D 还相等吗？ 为什么？ 证明：（1）∵∠B＝∠ED， ∴∠B﹣∠E＝∠ED﹣∠E， ∴∠BE＝∠D， 在△BE 和△D 中， ， ∴△BE≌△D（SS）， ∴BE＝D． 解：（2）图2、图3、图4 中，BE 和D 还相等， 理由是：如图图2、图3、图4，∵∠B＝∠ED，∠D+∠B＝180°，∠ED+∠BE＝180°， ∴∠BE＝∠D， 在△BE 和△D 中， ， ∴△BE≌△D（SS）， ∴BE＝D． 1 如图，已知 ， ，且 ， ， ， 则 的度数为（ ） ． B． ． D． 在△B 和△DE 中 ∴ △B≌△DE（SS）∴∠B=∠DE ∵∠EB=∠B+∠DE+∠D=120°∴∠B=∠DE ∴∠BF=∠B+∠D=65°∴在△FB 中，∠FB=180°-∠B-∠BF=90°∴∠GFD=90° 在△FGD 中，∠EGF=∠D+∠GFD=115°故选： 2．如图，在△B 和△D 中，＝B，＝D，＜，∠B＝∠D＝36°．连接，BD 交于点M，连接M． 下列结论： ①∠MB＝36°，②＝BD，③M 平分∠D，④M 平分∠MD．其中正确的结论个数有（ ）个． 实战演练 ．4 B．3 ．2 D．1 解：∵∠B＝∠D＝36°， ∴∠B+∠B＝∠D+∠B， 即∠＝∠BD， 在△和△BD 中， ∴△≌△BD（SS）， ∴∠＝∠DB，＝BD，故②正确； ∵∠＝∠BD， 由三角形的外角性质得： ∠MB+∠BD＝∠+∠B， ∴∠MB＝∠B＝36°，故①正确； 法一：作G⊥M 于G，⊥DM 于，如图所示， 则∠G＝∠B＝90°， ∵△≌△BD， ∴G＝， ∴M 平分∠MD，故④正确； 法二：∵△≌△BD， ∴∠＝∠BD， ∴、B、M、四点共圆， ∴∠M＝∠B＝72°， 同理可得：D、、M、四点共圆， ∴∠DM＝∠D＝72°＝∠M， ∴M 平分∠MD， 故④正确； 假设M 平分∠D，则∠DM＝∠M， 在△M 与△DM 中， ， ∴△M≌△DM（S）， ∴＝D， ∵＝D， ∴＝， 而＜，故③错误； 正确的个数有3 个；故选：B． 3．如图，在△B 中，∠B＝30°，且B＝，P 是△B 内一点，若P+BP+P 的最小值为4 ，则 B2＝ 32 16 ﹣ ． 解：如图将△BP 绕点顺时针旋转60°得到△MG．连接PG，M， 则B＝＝M，MG＝PB，G＝P，∠GP＝60°， ∴△GP 是等边三角形， ∴P＝PG， ∴P+PB+P＝P+PG+GM， ∴当M，G，P，共线时，P+PB+P 的值最小，最小值为线段M 的长， ∵P+BP+P 的最小值为4 ， ∴M＝4 ， ∵∠BM＝60°，∠B＝30°， ∴∠M＝90°， ∴M＝＝4， 作B⊥于．则B＝ B＝2，＝2 ，＝4 2 ﹣ ， ∴B2＝B2+2＝22+（4 2 ﹣ ）2＝32 16 ﹣ ， 故答为：32 16 ﹣ ． 4．正方形BD 中，B＝6，点E 在边D 上，E＝2DE，将△DE 沿E 折叠至△FE，延长EF 交B 于点G，连接G，F．下列结论：①△BG≌△FG； ②S△FG＝6；③EG＝DE+BG；④BG ＝G．其中正确的有 ①③④ （填序号）． 解：∵正方形BD 的边长为6，E＝2DE， ∴DE＝2，E＝4， ∵将△DE 沿E 折叠至△FE， ∴F＝D＝6，EF＝ED＝2，∠FE＝∠D＝90°，∠FE＝∠DE， 在Rt△BG 和Rt△FG 中，B＝F，G＝G， Rt ∴ △BG Rt ≌ △FG（L）， ∴①正确； ∴GB＝GF，∠BG＝∠FG， 设BG＝x，则： GF＝x，G＝B﹣BG＝6﹣x， 在Rt△GE 中， GE＝x+2，E＝4，G＝6﹣x， ∵G2+E2＝GE2， ∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2， 解得：x＝3， ∴BG＝GF＝3，G＝6 3 ﹣＝3， ∴BG＝G， ∴④正确； ∵EF＝ED，GB＝GF， ∴GE＝GF+EF＝BG+DE， ∴③正确； ∵S△GE＝ G•E＝ ×3×4＝6， ∵GF＝3，EF＝ED＝2，△GF 和△FE 等高， ∴S△GF：S△FE＝3：2， ∴S△GF＝ ×6＝ ≠3， ∴②不正确， 故答为：①③④． 5．如图，在矩形BD 中，B＝8，B＝4，将矩形沿对角线折叠，点D 落在D′处． （1）求证：F＝F （2）求F 的长度． （1）证明：依题意可知，矩形沿对角线对折后有： ∠D′＝∠B＝90°，∠FD′＝∠FB，B＝D′， ∴△D′F≌△BF（S）， ∴F＝F； （2）解：设F＝F＝x， ∴BF＝8﹣x， 在Rt△BF 中有B2+BF2＝F2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得x＝5， ∴F 的长度为5． 6．如图，在△B 中，∠B＝90°，＝B，延长B 至点D，使DB＝B，连接D，以D 为直角边作 等腰三角形DE，其中∠DE＝90°，连接BE． （1）求证：△D≌△BE； （2）若B＝3m，则BE＝ 6 m． （3）BE 与D