简证：+¿ D， ∵四边形ED 为矩形，∴=ED， 在Rt△E 中，>E，∴+=+ED>E+ED=D 步骤指引 1 作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r 表示圆心到底边距离及 底边长； 2 根据“半径+弦心距≥定高”，求r 的取值范围； 3 用r 表示定角定高三角形面积，用r 取值范围求面积最小值 【例1】．如图，在△B 中，∠B＝60°，D⊥B 于点D，且D＝4，则△B 面积的最小值为

2 ．4 cm 2 D．3cm 2 【答】B 【分析】取AB的中点Q，连接PQ，CQ，根据直角三角形斜边中线的性质及平行线的判定得PQ∥BC， 进而得到S△PBC=S△BCQ，再根据等底同高三角形面积相等即可得到解答． 【详解】解：取AB的中点Q，连接PQ，CQ， ∵AP⊥BP， ∴PQ=BQ， ∴∠ABP=∠QPB， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∴∠ABP=∠CBP， 18．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在△ABC和△A ' B 'C '中，AD , A ' D '分别是BC和B 'C '边上的高线，且AD=A ' D '，则 △ABC和△A ' B 'C '是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用S△ABC，S△A ' B 'C '分别表示△ABC和△A 【分析】（1）由图可知△ABD和△ADC是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答； （2）根据BE: AB=1:2，S△ABC=1和等高三角形的性质可求得S△BEC，然后根据CD:BC=1:3和等高三 角形的性质可求得S△CDE； （3）根据BE: AB=1:m，S△ABC=a和等高三角形的性质可求得S △BEC，然后根据CD:BC=1:n，和 等高三角形的性质可求得S△CDE． 【详解】（1）解：如图，过点作E⊥B，

《数学的发现》是2006 年科学出版社出版的图书，作者是（美）乔治·波利亚．本书通过对各种类型生动 而有趣的典型问题（有些是非数学的））进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型． 共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形． 共高定理：如图①，设点M 在直线 上，点P 为直线外一点，则有 下面是该结论的证明过程：证明：如图①，过点P 作 于点Q， ．．．．．． 按要求完成下列任务： (

故答为 ． 11．如图， 是 的中线，点F 在 上，延长 交 于点D．若 ，则 ______． 【答】 【详解】解：连接ED 是 的中线， ， ， 设 ， ， ， ， 与 是等高三角形， ，故答为： ． 12．如图， 是等边三角形，点 在 上， ， ， ． 是 延长线上一点， ．连接 交 于点 ，则 的值为______． 【答】 【详解】解：∵ ∴设 则 ∴ ∵

然后可得出 ，同理可得出 ，这样即可证得 ． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ， 则 ， ， ，同理可证： ， ， ．故选：D． 【点睛】本题考查了三角形面积的求法．解答该题时，主要是抓住不同底等高三角形面积间的数量关系． 例2．（23-24 九年级上·上海松江·期中）如图，已知在梯形 中， ， ，如果对角 线 与 相交于点， 、 、 、 的面积分别记作 、 、 、 ，那么下列 结论中，不正确的是（ 的面积分别为 和 ∴:=25:35=5:7 ∵B//D∴ ∽ ∴ ∴ ∴梯形的面积为： ．故选． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、梯形的性质以及三角形面积的计算方法，掌握数形结合思想、 等高三角形的面积比等于对应底的比以及相似三角形的面积比等于相似比的平方成为解答本题的关键． 2．（24-25 八年级上·山东德州·阶段练习）如图所示， 中，点 、 、 分别在三边上， 是 的中点， 、 ．12 D．16 【答】B 【分析】本题考查线段中点，平行四边形性质，三角形相似判定与性质，根据点 为 的中点，得出 ，根据平行四边形 性质，得出 ， ，可证 ，利用相似三 角形性质得出 ，根据等高三角形面积比得出 即可． 【详解】解： 点 为 的中点， ， 在平行四边形 中 ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 10．（23-24 九年级·重庆·课后作业）如图，

利的有（ ） ①小丽爸爸在外地企业就业，每月的工资是他的主要收入来源 ②小明在学校认真学习，成绩优异，获得“三好学生”荣誉称号 ③邻居吴奶奶在八十岁后，每月收到民政部门发放的高龄津贴 ④高三学生小李年满18 周岁参加区人大代表的选举 ．①② B．②④ ．①③ D．③④ 19．（2023·吉林长春·一模）2023 年春节前夕，国务院根治拖欠农民工工资工作领导小组组织全国开展根 治欠 ②李某举报某企业偷排工业废水 ③张某驾车变道受阻，辱骂后车司机 ④李某擅自将奥林匹克标志用于广告宣传 ．①② B．①③ ．②④ D．③④ 40．（2023·河北邢台·二模）寻亲男孩因暴致死、高三学生因誓师大会上激情澎湃的发言遭受暴……近年来 发生的多起络暴力事件，不断刺痛着人们的心，也对络空间的秩序和安全造成挑战。为此，广大民要（ ） ①尊重社会公德伦理道德 ②严格遵守国家法律法规 谩骂、造谣诽谤、侵犯隐私等违法信息及其他不友善信息。侵害他人合法权益，扰乱正常络秩序。 材料二 2023 年2 月20 日央视评:因杂粉色头发不堪暴女孩自杀;旅行博主因不堪忍受暴喝农药自杀:高三女 生代表在警师大会发言遭遇暴……“舌上有龙泉，杀人不见血”。每个人都要为自己的言论负责，当地信 和公安部门很快介入调查，对散布负面信息的人员进行追踪，87 个违规微博账号被禁言，155 个短视频账

②， 由①-②得： ． 故选：． 7．如图， 是 的中线，点F 在 上，延长 交 于点D．若 ，则 ______． 【答】 【详解】解：连接ED 是 的中线， ， 设 ， 与 是等高三角形， ，故答为： ． 8．如图，在 中， ， 、 分别平分 、 ，M、、Q 分别在 、 、 的延长线上， 、 分别平分 、 ， 、 分别平分 、 ，则 _______． 【答】52° 【详解】解：

简证：+ D， ∵四边形ED 为矩形，∴=ED， 在Rt△E 中，>E，∴+=+ED>E+ED=D R 步骤指引 1 作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r 表示圆心到底边距离及 底边长； 2 根据“半径+弦心距≥定高”，求r 的取值范围； 3 用r 表示定角定高三角形面积，用r 取值范围求面积最小值 【例1】．如图，在△B 中，∠B＝60°，D⊥B 于点D，且D＝4，则△B 面积的最小值为

简证：+ D， ∵四边形ED 为矩形，∴=ED， 在Rt△E 中，>E，∴+=+ED>E+ED=D R 步骤指引 1 作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r 表示圆心到底边距离及 底边长； 2 根据“半径+弦心距≥定高”，求r 的取值范围； 3 用r 表示定角定高三角形面积，用r 取值范围求面积最小值 【例1】．如图，在△B 中，∠B＝60°，D⊥B 于点D，且D＝4，则△B 面积的最小值为

坐标为 ， 过点P 作PQ⊥x 轴交B 于点Q， 则点Q 坐标为（m，-m+3）， ， ， 分类讨论去绝对值解方程即可得m 的值． 思路2：构造等积变形 P Q A B C 同底等高三角形面积相等． 取B 作水平宽可知水平宽为3，根据△PB 面积为3， 可知铅垂高为2， 在y 轴上取点Q 使得Q=2，过点Q 作B 的平行线， 交点即为满足条件的P 点． Q2 Q1 P4