模型30 探照灯模型（原卷版）(1)

定角定高模型：如图，直线B 外一点，到直线B 距离为定值（定高），∠B 为定角，则D 有最小值，即△B 的面积有最小值 定角夹定高也叫探照灯模型 模型剖析 如何确定△B 面积的最小值呢？ 首先我们连接,B, 过点作⊥B 于点（如右上图） 显然+¿ D，当且仅当,,D 三点共线时取“=”由于∠B 的大小是一个定值， 而且它是圆的圆周角，因此它所对的圆心角∠B 的度数，也是一个定值 因此和圆的半径有一个固定关系，所以+也和圆的半径，有一个固定的等 量关系再根据我们刚才说的+¿ D，就可以求得圆半径的最小值 简证：+¿ D， ∵四边形ED 为矩形，∴=ED， 在Rt△E 中，>E，∴+=+ED>E+ED=D 步骤指引 1 作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r 表示圆心到底边距离及 底边长； 2 根据“半径+弦心距≥定高”，求r 的取值范围； 3 用r 表示定角定高三角形面积，用r 取值范围求面积最小值 【例1】．如图，在△B 中，∠B＝60°，D⊥B 于点D，且D＝4，则△B 面积的最小值为 ． 模型介绍 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，在矩形BD 中，B＝2，B＝12，点E，F 均在D 上，且∠BE+∠FD＝ 90°，则四边形BFE 面积的最大值为 ． 【变式1-2】．如图，在四边形BD 中，B＝D＝D＝4，D∥B，∠B＝60°，点E、F 分别为边 B、D 上的两个动点，且∠EF＝60°，则△EF 的面积的最小值是 ． 【例2】．如图，已知在四边形BD 中，∠B＝60°，连接、BD 交于点E，E＝2E＝4，若BE ＝2ED，则BD 的最大值为 ． 变式训练 【变式2-1】．已知点为直线外一点，点到直线距离为4，点、B 是直线上的动点，且∠B ＝30° 则△B 的面积最小值为 ． 1．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝3，B＝5，点D 是线段B 上一动点，连接D，以D 为 边作△DE，使△DE∽△B，则△DE 面积的最小值为 ． 2．如图，∠B＝45°，在边，B 上分别有两个动点、D．连接D，以D 为直角边作等腰直角 三角形DE，当D 的长度保持不变且等于2m 时，则E 的最大值是 ． 3．如图，已知△B 中，∠B＝60°，D 平分∠B，交B 于D，且D＝4，则△B 面积的最小值为 ． 4．如图，四边形BD 中，∠BD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，D＝5，B＝6，E、F 分别为 边B 及射线D 上的动点，∠EF＝45°，△EF 面积的最小值 ． 5．已知点D（2，）为直线y＝﹣ x+3 上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D 处旋转， 保持两直角边始终交x 轴于、B 两点，（0，﹣1）为y 轴上一点，连接，B，则四边形 BD 面积的最小值为 ． 6．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，B＝，点D 在B 上，点E 在上，且D＝E，连接DE，求 的最小值． 7．边长为（为常数）的正方形BD 中，动点E、F 分别在边D 和边B 上，且∠EF＝45° （1）线段EF 的最小值； （2）S△EF的最大值； （3）S△EF的最小值． 8．如图，在正方形BD 中，B＝4，点E 是D 边上一点，将△DE 沿E 折叠，得到△PE，点D 的对应点，为点P，连接EP 并延长，交B 于点F，连接F、P． （1）求证：∠EF＝45°； （2）当F∥P 时，求DE 的长； （3）试探究△EF 的面积是否存在最小值，若存在，求出△EF 面积的最小值；若不存在， 请说明理由． 9．如图，平面直角坐标系中，为原点，点、B 分别在y 轴、x 轴的正半轴上．△B 的两条外 角平分线交于点P，P 在反比例函数y＝ 的图象上．P 的延长线交x 轴于点，PB 的延 长线交y 轴于点D，连接D． （1）求∠P 的度数及点P 的坐标； （2）求△D 的面积； （3）△B 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 10．在四边形BD 中，点E 在B 边上（不与B、重合）． （1）如图（1），若四边形BD 是正方形，E⊥EF，E＝EF，连F． ①求∠BF 的大小； ②如图（2），点G 是F 的中点，连DG、ED，若DE＝6，求DG 的长； （2）如图（3），若四边形BD 是矩形，点M 在D 边上，∠EM＝60°，D＝9，求线段M 的最小值． 11．如图，在Rt△B 中，＝8 ，∠B＝90°，∠＝30°，D⊥B 于点D，点E、F 分别在B、边 上，且∠EDF＝120°，连接EF． （1）如图①，当DE⊥B 时，求DF 的长； （2）如图②，过点D 作DG⊥DE 交于点G．连接EG． ①求证：EG∥DF； ②求△DEF 面积的最小值． 12．在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝ ，＝2，过点B 作直线m∥，将△B 绕点顺时针旋转得到 △′B′（点，B 的对应点分别为'，B′），射线′，B′分别交直线m 于点P，Q． （1）如图1，当P 与′重合时，求∠′的度数； （2）如图2，设′B′与B 的交点为M，当M 为′B′的中点时，求线段PQ 的长； （3）在旋转过程中，当点P，Q 分别在′，B′的延长线上时，试探究四边形P'B′Q 的面积 是否存在最小值．若存在，求出四边形P′B′Q 的最小面积；若不存在，请说明理由． 13．辅助圆之定角定高求解探究 （1）如图①，已知线段B，以B 为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，在△B 中，∠B＝60°，D 为B 边上的高，若D＝4，试判断B 是否存在最 小值，若存在，请求出B 最小值；若不存在，请说明理由； （3）如图③，某林单位要设计把四边形花划分为几个区域种植不同花草，在四边形 BD 中，∠＝45°，∠B＝∠D＝90°，B＝D＝6 ，点E、F 分别为B、D 上的点，若保持 E⊥F，那么四边形EF 的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存 在，请说明理由． 14．问题提出 （1）如图①，点是等边△B 的内心，连接B、，则∠B 的大小为 ； 问题探究 （2）如图②，在Rt△B 中，∠＝90°，点D、E 分别在边B、上，且DE∥B，点M、分别 是DE、B 的中点，连接M．若BD＝8，E＝6，求M 的长； 问题解决 （3）如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花BD，根据设计要求， 在四边形BD 中，D∥B，且B＝2D，D 与B 之间的距离为40m，∠+∠D＝225°．试求四边 形花BD 面积的最小值． 15．问题探究 （1）如图①，已知在△B 中，∠B＝∠＝30°，B＝6，则S△B＝ ． （2）如图②，已知四边形BD 中，∠B+∠D＝180°，D＝D，BD＝4 ，请求出四边形 BD 面积的最大值． 问题解决 （3）如图③，某小区有一个四边形花坛BD，D∥B，B＝D＝D＝15m，∠B＝∠＝60°． 为迎接“十四运”，艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，根据造型设计要求， 点E、F 分别在边B、D 上，且∠EF＝60°，现需要在△EF 的区域内种植甲种花卉，其余 区域种植乙种花卉．已知种植甲种花卉每平方米需200 元，乙种花卉每平方米需160 元． 试求按设计要求，完成花卉种植至少需费用多少元？（结果保留整数，参考数据： ≈17）