模型30 探照灯模型（解析版）(1)

定角定高模型：如图，直线B 外一点，到直线B 距离为定值（定高），∠B 为定角，则D 有最小值，即△B 的面积有最小值 定角夹定高也叫探照灯模型 R 模型剖析 如何确定△B 面积的最小值呢？ 首先我们连接,B, 过点作⊥B 于点（如右上图） 显然+ D，当且仅当,,D 三点共线时取“=”由于∠B 的大小是一个定值， 而且它是圆的圆周角，因此它所对的圆心角∠B 的度数，也是一个定值 因此和圆的半径有一个固定关系，所以+也和圆的半径，有一个固定的等 量关系再根据我们刚才说的+ D，就可以求得圆半径的最小值 简证：+ D， ∵四边形ED 为矩形，∴=ED， 在Rt△E 中，>E，∴+=+ED>E+ED=D R 步骤指引 1 作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r 表示圆心到底边距离及 底边长； 2 根据“半径+弦心距≥定高”，求r 的取值范围； 3 用r 表示定角定高三角形面积，用r 取值范围求面积最小值 【例1】．如图，在△B 中，∠B＝60°，D⊥B 于点D，且D＝4，则△B 面积的最小值为 模型介绍 例题精讲 ． 解：作△B 的外接圆⊙，连接，B，，过点作E⊥B 于点E， ∵∠B＝60°， ∴∠B＝120°， ∵B＝， ∴∠B＝∠B＝30°， 设⊙的半径为r，则E＝ B＝ r，BE＝ B＝ r， ∴B＝ r， + ∵E≥D， ∴r+ r≥4， 解得：r≥ ， ∴B≥ ， ∴ ， ∴△B 的面积的最小值为 ， 故答为： ． 变式训练 【变式1-1】．如图，在矩形BD 中，B＝2，B＝12，点E，F 均在D 上，且∠BE+∠FD＝ 90°，则四边形BFE 面积的最大值为 20 ． 解：将△DF 向左平移，使D 与B 重合，点F 的对应点为点G， ∵∠BE+∠FD＝90°， ∴∠GBE＝90°， 作△BGE 的外接圆，连接B， 则B≥B， 当点与点重合时，B 取得最小值，最小值为2， ∴GE 的最小值为4， ∴△GBE 的面积最小＝ GE•B＝ 4×2＝4， ∵四边形BFE＝矩形BD 的面积﹣△BE 的面积﹣△DF 的面积＝矩形BD 的面积﹣△GBE 的面积， ∴当△GBE 的面积最小时，四边形BFE 的面积有最大值， ∴四边形BFE 最大＝2×12 4 ﹣＝20， ∴四边形BFE 面积的最大值为20． 故答为：20． 【变式1-2】．如图，在四边形BD 中，B＝D＝D＝4，D∥B，∠B＝60°，点E、F 分别为边 B、D 上的两个动点，且∠EF＝60°，则△EF 的面积的最小值是 4 ． 解：将△DF 绕点顺时针旋转120°到△BM， 由旋转得：BM＝DF，M＝F，∠BM＝∠D＝120°，∠MB＝∠FD， ∵∠B＝60°， ∴∠BM+∠B＝180°， ∴M、B、E 共线， ∵∠ME＝∠MB+∠BE＝∠FD+∠BE＝60°， ∠EF＝60°，E＝E， ∴△FE≌△ME（SS）， ∴∠ME＝∠FE， 过作⊥B 于，作K⊥EF 于K， ∴＝K＝B•s60°＝2 ， 作△EF 的外接圆⊙，连接、E、F， 过作⊥EF 于， ∵∠EF＝60°， ∴∠EF＝120°， ∴∠F＝60°， 设EF＝2x，则F＝x， Rt△F 中，＝ x，F＝ x， + ∴＝F+＝ x， +≥ ∵ K， ∴ x≥2 ， ∴x≥2， ∴S△EF＝ EF•K＝ ＝2 x≥4 ， ∴△EF 面积的最小值是4 ． 【例2】．如图，已知在四边形BD 中，∠B＝60°，连接、BD 交于点E，E＝2E＝4，若BE ＝2ED，则BD 的最大值为 ． 解：如图，作△B 的外接圆⊙，连接B，，，E，过点作⊥于． ∵∠＝2∠B，∠B＝60°， ∴∠＝120°， ∵E＝2E＝4，∴E＝2， ∴＝E+E＝6， ∵＝，⊥，∴＝＝3，E＝﹣E＝1， ∵∠＝∠＝30°，∴＝•t30°＝ ， ∴E＝ ＝ ＝2，＝2＝2 ， ∴B＝＝2 ， ∵BE≤B+E，∴BE≤2+2 ，∴BE 的最大值为2+2 ， ∵BE＝2DE，∴DE 的最大值为1+ ，∴BD 的最大值为3+3 ．故答为3+3 ． 变式训练 【变式2-1】．已知点为直线外一点，点到直线距离为4，点、B 是直线上的动点，且∠B ＝30° 则△B 的面积最小值为 64 16 ﹣ ． 解：如图，过点作直线l′∥直线l，则直线l 与直线l′之间的距离为4，作点B 关于直线l′的对 称点B′，连接B′，B′，B′交直线l′于点T，连接BT，过点作⊥BT 于，过点T 作T⊥B 于． 在Rt△BB′中，B＝ ＝ ， ∴B′的值最小时，B 的值最小， + ∵B＝+B′≥B′， ∴当，，B′共线时，B′的值最小，此时B 的值最小， ∵直线l 垂直平分线段BB′， ∴TB＝TB′， ∴∠TBB′＝∠TB′B， ∵∠TB+∠TBB′＝90°，∠TB+∠TB′B＝90°， ∴∠TB＝∠TB， ∴T＝TB， s ∵∠B＝s∠TB＝ ， ∴ ＝ ， ∴可以假设T＝ k，T＝TB＝2k， ∴B＝TB﹣T＝（2﹣ ）k， ∴＝k， ∴B＝ ＝ ＝2 k， ∵S△TB＝ •B•T＝ •TB•， ∴ ×2 k×4＝ ×2k×k， 解得k＝4 ， ∴△B 的面积最小值为＝∴ ×2 ×4 ×4＝64 16 ﹣ ， 故答为：64 16 ﹣ ． 1．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝3，B＝5，点D 是线段B 上一动点，连接D，以D 为 边作△DE，使△DE∽△B，则△DE 面积的最小值为 ． 解：∵∠B＝90°，B＝3，B＝5， ∴＝ ＝ ＝4， ∴S△B＝ ×B•＝6， ∵△DE∽△B， ∴ ＝（ ）2， ∴当D⊥B 时，D 有最小值，即△DE 面积有最小值， 此时，D＝ ＝ ， ∴△DE 面积的最小值＝6×（ ）2＝ ， 故答为： ． 2．如图，∠B＝45°，在边，B 上分别有两个动点、D．连接D，以D 为直角边作等腰直角 三角形DE，当D 的长度保持不变且等于2m 时，则E 的最大值是 + ． 解：如图所示，在D 的左边，以D 为斜边，作等腰直角△DF，则、F、E 三点共线时E 的值最大， ∵△DF 和△DE 是等腰直角三角形， ∴∠DF＝∠DE＝45°， ∴∠EDF＝90°， ∵D＝2， ∴DE＝2 ，DF＝ ， 由勾股定理得：EF＝ ＝ ＝ ， ∴E＝F+EF＝ + ， ∴E 的最大值是 + ， 故答为： + ． 3．如图，已知△B 中，∠B＝60°，D 平分∠B，交B 于D，且D＝4，则△B 面积的最小值为 ． 解：如图，过点D 作DE⊥B 于点E，作DF⊥于点F， ∵∠B＝60°，D 平分∠B， ∴∠BD＝∠D＝30°， 设B＝，＝b， 在Rt△DE 中，DE＝D•s∠BD＝4s30°＝2， 在Rt△G 中，G＝•s∠B＝b•s60°＝ b， ∵D 平分∠B，DE⊥B，DF⊥， ∴DE＝DF＝2， ∵S△B＝S△BD+S△D， ∴ B•G＝ B•DE+ •DF， 即： × b＝ ××2+ ×b×2， + ∴b＝ b， ∵（ ﹣ ）2≥0， + ∴b≥2 ，当且仅当b＝时取等号， ∴ b≥2 ， 解得：b≥ ， ∴S△B＝ b≥ × ＝ ， 故答为： ． 4．如图，四边形BD 中，∠BD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，D＝5，B＝6，E、F 分别为 边B 及射线D 上的动点，∠EF＝45°，△EF 面积的最小值 ． 解：如图，过点作M⊥B 于M，过点E 作E⊥F 于，⊥D，交D 的延长线于， ∵∠B＝60°，M⊥B， ∴∠BM＝30°， ∴BM＝3，M＝3 ， ∵∠D＝120°， ∴∠D＝60°， ∴∠D＝30°， ∴D＝ D＝ ，＝ ， ∵∠BD＝135°，∠EF＝45°，∠BM＝30°， ∴∠ME+∠DF＝60°， 又∵∠D＝∠DF+∠DF＝60°， ∴∠ME＝∠FD， 又∵∠ME＝∠＝90°， ∴△F∽△EM， ∴ ， 设ME＝x，则E＝ ＝ ， ∴F＝ ＝ ， ∵∠EF＝45°，E⊥F， ∴E＝ E＝ × ， ∴△EF 面积＝ ×F×E＝ ×（ ）＝ ×（ ）， ∵当，b 为正数时，（﹣b）2≥0， ∴2+b2≥2b， ∴△EF 面积＝ ×（ ）≥ ×2× ， ∴△EF 面积的最小值为 ， 故答为 ． 5．已知点D（2，）为直线y＝﹣ x+3 上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D 处旋转， 保持两直角边始终交x 轴于、B 两点，（0，﹣1）为y 轴上一点，连接，B，则四边形 BD 面积的最小值为 6 ． 解：如图， 取B 的中点F，连接DF， ∵∠DB＝90°， ∴B＝2DF ∵点D（2，）为直线y＝﹣ x+3 上一点， ∴＝﹣ ×2+3＝2， ∴D（2，2）， 过点D 作DE⊥B 于E， ∴DE＝2，E（2，0）， ∴S 四边形BD＝S△B+S△BD＝ B•+ B•DE＝ B（+DE）＝ B＝3DF， 要四边形BD 的面积最小，即DF 最小， ∵点D（2，2），点F 在x 轴上， ∴当DF⊥x 轴时，DF 最小，最小值为DE＝2， ∴S 四边形BD 最小＝3×2＝6， 故答为6． 6．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，B＝，点D 在B 上，点E 在上，且D＝E，连接DE，求 的最小值． 解：设B＝＝1， ∵∠＝90°，B＝， ∴△B 是等腰直角三角形，∠B＝45°， ∴B＝ B＝ ， 设D＝E＝x， ∴E＝BD＝1﹣x， 过点D 作DF⊥B 于F，如图所示： 则△BDF 是等腰直角三角形， ∴BF ＝DF ＝ BD ＝ （1﹣x ），DE ＝ ＝ ＝ ，F＝B﹣BF＝ ﹣ （1﹣x）＝ （x+1）， D＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， 设 ＝y，整理得：yx2 2 ﹣x+y 1 ﹣＝0， ∵x 为实数， ∴△＝（﹣2）2 4 ﹣y（y 1 ﹣）≥0，即：y2﹣y 1≤0 ﹣ ， ∴ ≤y≤ ， ∴y 最大值为 ， ∴ 的最小值为： ＝ ． 7．边长为（为常数）的正方形BD 中，动点E、F 分别在边D 和边B 上，且∠EF＝45° （1）线段EF 的最小值； （2）S△EF的最大值； （3）S△EF的最小值． 解：（1）设E＝x，F＝y， ∵（x﹣y）2≥0， ∴x2+y2≥2xy， ∵EF2＝x2+y2， ∴EF 最小时，x2+y2＝2xy， 即（x﹣y）2＝0， ∴x＝y，即E＝F， ∴EF⊥，EG＝FG， ∴垂直平分EF， ∴E＝F，∠EG＝∠FG， ∵四边形BD 是正方形， ∴B＝B＝D＝D，D⊥D，B⊥B，∠BD＝90°，∠B＝∠D＝45°， ∴DE＝BF， ∵∠EF＝45°， ∴∠DE＝∠E＝∠F＝∠BF， ∴DE＝GE＝GF＝BF，△EG 和△FG 是等腰直角三角形， 设DE＝GE＝x，则E＝ EG＝ x，EF＝2x， ∵DE+E＝D＝， ∴x+ x＝， 解得：x＝（ ﹣1）， ∴EF＝2x＝（2 2 ﹣）； 即EF 的最小值为（2 2 ﹣）； （2）当E＝F＝ （ ﹣1）＝（2﹣ ）时，S△EF最大， ∴S△EF的最大值＝ E×F＝ （2﹣ ）×（2﹣ ）＝（3 2 ﹣ ）2． （3）当EF 与D 或B 重合时，EF＝，边EF 上的高为0， S△EF的最小值＝ ×0＝0． 8．如图，在正方形BD 中，B＝4，点E 是D 边上一点，将△DE 沿E 折叠，得到△PE，点D 的对应点，为点P，连接EP 并延长，交B 于点F，连接F、P． （1）求证：∠EF＝45°； （2）当F∥P 时，求DE 的长； （3）试探究△EF 的面积是否存在最小值，若存在，求出△EF 面积的最小值；若不存在， 请说明理由． （1）证明：∵将△DE 沿E 折叠，得到△PE， ∴D＝P，∠D＝∠PE＝90°，∠DE＝∠PE，DE＝PE， ∴∠B＝∠PF＝90°，P＝D＝B， 又∵F＝F， Rt ∴ △BF Rt ≌ △PF（L）， ∴∠BF＝∠PF， ∴∠EF＝∠PF+∠PE＝ ∠BD＝45°； （2）解：∵Rt△BF Rt ≌ △PF， ∴∠FB＝∠FP，BF＝PF， ∵F∥P， ∴∠FP＝∠FP，∠FB＝∠FP， ∴∠FP＝∠FP， ∴PF＝F， ∴PF＝F＝BF＝ B＝2， ∵EF2＝F2+E2， ∴（2+DE）2＝4+（4﹣DE）2， ∴DE＝ ； （3）解：如图，作△EF 的外接圆⊙，连接，E，F，过点作⊥EF 于， 设⊙的半径r， ∵∠EF＝2∠EF＝90°，E＝F＝r，⊥EF， ∴EF＝ E＝ r，＝ EF＝ r， +≥ ∵ P， ∴r+ r≥4， ∴r≥8 4 ﹣ ， ∴当点，点，点三点共线时，r 有最小值为8 4 ﹣ ， 此时，EF 最小值为8 8 ﹣， ∴△EF 面积的最小值＝ ×EF•P＝ ×4×（8 8 ﹣）＝16 16 ﹣ ， ∴△EF 面积的最小值为16 16 ﹣ ． 9．如图，平面直角坐标系中，为原点，点、B 分别在y 轴、x 轴的正半轴上．△B 的两条外 角平分线交于点P，P 在反比例函数y＝ 的图象上．P 的延长线交x 轴于点，PB 的延 长线交y 轴于点D，连接D． （1）求∠P 的度数及点P 的坐标； （2）求△D 的面积； （3）△B 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 解：（1）如图，作PM⊥于M，P⊥B 于，P⊥B 于． ∴∠PM＝∠P＝90°， ∵∠PM＝∠P，P＝P， ∴△PM≌△P（S）， ∴PM＝P，∠PM＝∠P， 同理可证：△BP≌△BP， ∴P＝P，∠BP＝∠BP， ∴PM＝P， ∵∠PM＝∠M＝∠P＝90°， ∴四边形PM 是矩形， ∴∠MP＝90°， ∴∠PB＝∠P+∠BP＝ （∠MP+∠P）＝45°， ∵PM＝P， ∴可以假设P（m，m）， ∵P（m，m）在y＝ 上， ∴m2＝9， ∵m＞0， ∴m＝3， ∴P（3，3）． （2）设＝，B＝b，则M＝＝3﹣，B＝B＝3﹣b， ∴B＝6﹣﹣b， ∵B2＝2+B2， ∴2+b2＝（6﹣﹣b）2， 可得b＝6+6b 18 ﹣ ， 3+3 ∴ b 9 ﹣＝ b， ∵PM∥， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴＝ ，同法可得D＝ ， ∴S△D＝ ••D＝ • ＝ • ＝ • ＝9． 解法二：连接P． ∵∠P＝∠PB＝∠PD＝45°， ∴∠P＝∠PD＝135°， ∵∠PB＝∠P+∠P＝45°，∠P+∠PD＝45°， ∴∠P＝∠PD， ∴△P∽△PD， • ∴D＝P2＝18，可求△D 的面积等于9． （3）设＝，B＝b，则M＝＝3﹣，B＝B＝3﹣b， ∴B＝6﹣﹣b， + ∴B+B＝6， + ∴b+ ＝6， 2 ∴ + ≤6， ∴（2+ ） ≤6， ∴ ≤3（2﹣ ）， ∴b≤54 36 ﹣ ， ∴S△B＝ b≤27 18 ﹣ ， ∴△B 的面积的最大值为27 18 ﹣ ． 10．在四边形BD 中，点E 在B 边上（不与B、重合）． （1）如图（1），若四边形BD 是正方形，E⊥EF，E＝EF，连F． ①求∠BF 的大小； ②如图（2），点G 是F 的中点，连DG、ED，若DE＝6，求DG 的长； （2）如图（3），若四边形BD 是矩形，点M 在D 边上，∠EM＝60°，D＝9，求线段M 的最小值． 解：（1）①如图（1），在B 上取一上点，使＝E，连接E， ∵四边形BD 是正方形， ∴B＝B，∠B＝90°， ∴BE＝B， ∴∠BE＝45°， ∴∠E＝135°， ∵∠EF＝90°， ∴∠EB+∠EF＝90°， ∵∠EB+∠BE＝90°， ∴∠BE＝∠EF， ∵E＝EF， ∴△E≌△EF（SS）， ∴∠BF＝∠E＝135°； ②如图（2），在B 上取一上点，使＝E，连接E，BD， 由①知：△E≌△EF， ∴E＝F， 设BE＝2x，则E＝F＝2 x， ∵G 是F 的中点， ∴G＝ x， ∴ ＝ ＝ ， ∵四边形BD 是正方形， ∴BD＝ D， ∴ ＝ ， ∵∠DBE＝∠DG＝45°， ∴△DBE∽△DG， ∴ ＝ ＝ ， ∵DE＝6， ∴ ＝ ， ∴DG＝3 ； （2）如图（3），作△EM 的外接圆，过点作⊥M 于，连接，E，M， ∵∠EM＝60°， ∴∠M＝120°， ∵⊥M， ∴＝M，∠＝∠M＝60°， ∴∠＝∠M＝30°， 设＝，则＝2，＝ ， 则E+≥B， 即当E，，三点共线时，最小，此时M 最小， +2 ∴ ＝9， ∴＝3， ∴M 的最小值是6 ． 11．如图，在Rt△B 中，＝8 ，∠B＝90°，∠＝30°，D⊥B 于点D，点E、F 分别在B、边 上，且∠EDF＝120°，连接EF． （1）如图①，当DE⊥B 时，求DF 的长； （2）如图②，过点D 作DG⊥DE 交于点G．连接EG． ①求证：EG∥DF； ②求△DEF 面积的最小值． （1）解：∵∠B＝90°，∠＝30°， ∴∠B＝60°， ∵DE⊥B， ∴∠EDB＝30°， ∵∠EDF＝120°， ∴∠FD＝180° 30° 120° ﹣ ﹣ ＝30°， ∴∠FD＝∠＝30°， ∴FD＝F， ∵D⊥B， ∴∠D＝∠FD＝60°， ∴F＝FD＝F＝4 ； （2）①证明：如图②中，EG 的中点，连接，D． ∵DG⊥DE， ∴∠EDG＝∠EG＝90°， ∵E＝G， ∴＝G＝E＝D， ∴，E，D，G 四点共圆， ∴∠EGD＝∠BD＝30°， ∵∠EDF＝120°，∠EDG＝90°， ∴∠FDG＝∠EGD＝30°， ∴EG∥DF； ②解：如图③中，过点D 作D⊥于点，作△DGF 的外接圆⊙，连接G，F，D，过点作 T⊥于点T． ∵EG∥DF， ∴S△DEF＝S△DFG＝ •FG•D， ∵∠D＝90°，＝8 ，∠＝30°， ∴D＝ ＝4 ， ∴D＝ D＝12， ∴D＝ D＝6， ∴S△DEF＝3GF， 设FG＝x， ∵∠GF＝2∠GDF＝60°，F＝G， ∴△FG 是等边三角形， ∴D＝G＝F＝FG＝x，T＝ x， ∵D+T≥D， ∴x+ x≥6， ∴x≥24 12 ﹣ ， ∴FG 的最小值为24 12 ﹣ ， ∴△DEF 的面积的最小值为72 36 ﹣ ． 12．在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝ ，＝2，过点B 作直线m∥，将△B 绕点顺时针旋转得到 △′B′（点，B 的对应点分别为'，B′），射线′，B′分别交直线m 于点P，Q． （1）如图1，当P 与′重合时，求∠′的度数； （2）如图2，设′B′与B 的交点为M，当M 为′B′的中点时，求线段PQ 的长； （3）在旋转过程中，当点P，Q 分别在′，B′的延长线上时，试探究四边形P'B′Q 的面积 是否存在最小值．若存在，求出四边形P′B′Q 的最小面积；若不存在，请说明理由．