专题69 数与式中的新定义问题（解析版）(1)

【例1 】．定义一种新运算： ，例如 ．若 ，则k＝ ﹣ 2 ． 解：由题意得， （﹣x 2 ﹣）dx＝k 1 ﹣ 2 ﹣ 1 ﹣＝ ﹣ ＝﹣1， 即 ﹣ ＝﹣1， 解得k＝﹣2， 故答为：﹣2． 变式训练 【变1-1】．定义：对于实数，符号[]表示不大于的最大整数．例如：[57]＝5，[5]＝5， [﹣π]＝﹣4，如果 ，则x 的取值范围是（ ） ．5≤x＜7 B．5＜x＜7 ．5＜x≤7 D．5≤x≤7 解：由题意得： 3≤ ＜4， 6≤ ∴ x+1＜8， 5≤ ∴ x＜7， 故选：． 【变1-2】．规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x 的最大整数，例如：[5]＝5， [26]＝2，[02]＝0．现在有一列非负数1，2，3，…，已知1＝10，当≥2 时，＝﹣1+1 5 ﹣（[ ] [ ﹣ ]），则2022的值为 11 ． 解：∵1＝10， 例题精讲 ∴2＝1+1 5 ﹣（[ ] 0 ﹣）＝11， 3＝2+1 5 ﹣（[ ] [ ﹣ ]）＝12， 4＝3+1 5 ﹣（[ ] [ ﹣ ]）＝13， 5＝4+1 5 ﹣（[ ] [ ﹣ ]）＝14， 6＝5+1 5 ﹣（[1] [ ﹣ ]）＝10， … ∴1，2，3，…，每5 个结果循环一次， 2022÷5 ∵ ＝404…2， ∴2022＝2＝11， 故答为：11． 【例2】．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为2＝﹣1，这个数叫做虚数单位，把形如 +b 的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘 法运算与整数的加、减、乘法运算类似． 例如计算：（4+）+（6 2 ﹣）＝4+6+ 2 ﹣＝10﹣ （2﹣）（3﹣）＝6 2 3+ ﹣﹣ 2＝6 5 1 ﹣﹣＝5 5 ﹣ 根据以上信息计算（1+2）（2﹣）+（2﹣）2＝ 7﹣ ． 解：（1+2）（2﹣）+（2﹣）2＝2 +4 2 ﹣ ﹣2+4 4+ ﹣ 2＝2+3+2＝7﹣． 故答为：7﹣． 变式训练 【变2-1】．贾宪是生活在北宋年间的数学家，著有《黄帝九章算法细草》《释锁算书》 等书，但是均已失传．所谓“贾宪三角”指的是如图所示的由数字所组成的三角形，称 为“开方作法本源”图，也称为“杨辉三角”．贾宪发明的“开方作法本源“图作用之 一，是为了揭示二项式（+b）（＝1，2，3，4，5）展开后的系数规律，即 （+b）1＝+b， （+b）2＝2+2b+b2， （+b）3＝3+32b+3b2+b3， （+b）4＝4+43b+62b2+4b3+b4， （+b）5＝5+54b+103b2+102b3+5b4+b5． 则二项式（+b）（为正整数）展开后各项的系数之和为（ ） ．2 1 ﹣+1 B．2 1 ﹣+2 ．2 D．2+1 解：根据题意得： 当＝1 时，展开后各项的系数之和为：1+1＝21， 当＝2 时，展开后各项的系数之和为：1+2+1＝22， 当＝3 时，展开后各项的系数之和为：1+3+3+1＝23， 当＝4 时，展开后各项的系数之和为：1+4+6+4+1＝24， 当＝5 时，展开后各项的系数之和为：1+5+10+10+5+1＝25， 当＝6 时，展开后各项的系数之和为：1+6+15+20+15+6+1＝26， ∴猜想当＝时，展开后各项的系数之和为：2， 故选：． 【变2-2 】．已知行列（≥2 ）的数表 中，对任意的＝1 ， 2，…，，＝1，2，…，，都有＝0 或1．若当st＝0 时，总有（1t+2t+…+t）+（s1+s2+… +s）≥，则称数表为典型表，此时记表中所有的和记为S． （1）若数表 ， ，其中典型表是 ； （2）典型表中S5的最小值为 13 ． 解：（1）数表B 中12＝0， 而（12+22+32）+（11+12+13）＝0+0+1+0+0+1＝2＜3， ∴数表B 不是典型表； 对于数表中，当st＝0 时，总有（1t+2t+…+t）+（s1+s2+…+s）≥， ∴数表是典型表； 故答为：． （2）若典型表中S5 有最小值，即典型表中的1 最少且当st＝0 时，总有（1t+2t+…+t）+ （s1+s2+…+s）＝． 则＝ 或中， 则S5的最小值为13． 故答为：13． 1．对任意两个实数，b 定义两种运算：⊕b＝ ，⊗b＝ ，并且定义 运算顺序仍然是先做括号内的，例如：（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2） ⊕3）⊗2＝3⊗2＝2，则 等于（ ） ． B．3 ． D．2 解：由题意得： ＝ ⊗ ＝ ⊗3 ＝ ， 故选：． 2．对于两个不相等的实数、b，我们规定符号M{，b}表示、b 中较小的值，如M{2，4}＝ 2，按照这个规定，方程M{ }＝ 的解为（ ） ．1 或3 B．1 或﹣3 ．1 D．3 解：分两种情况： 当x＞0 时， ＜ ， ∵M{ }＝ ， ∴ ＝ ﹣1， 1＝4﹣x， 解得：x＝3， 检验：当x＝3 时，x≠0， ∴x＝3 是原方程的根； 当x＜0 时， ＞ ， ∵M{ }＝ ， ∴ ＝ ﹣1， 3＝4﹣x， 解得：x＝1，不符合题意，舍去， 综上所述：方程M{ }＝ 的解为3， 故选：D． 3．定义：如果x＝（＞0，≠1），那么x 叫做以为底的对数，记做x＝lg．例如：因为72＝ 49，所以lg749＝2；因为53＝125，所以lg5125＝3．则下列说法正确的个数为（ ） ①lg61＝0； ②lg323＝3lg32； ③若lg2（3﹣）＝lg827，则＝0； ④lg2xy＝lg2x+lg2y（x＞0，y＞0）． ．4 B．3 ．2 D．1 解：∵60＝1， lg ∴ 61＝0，说法①符合题意； 由于dm•d＝dm+，设M＝dm，＝d， 则m＝lgdM，＝lgd， 于是lgd（M）＝m+＝lgdM+lgd，说法④符合题意； 则lg323＝lg3（2×2×2）＝lg32+lg32+lg32＝3lg32，说法②符合题意； 设p＝lgb，则p＝b， 两边同时取以为底的对数， ，则plg＝lgb， 所以p＝ ，即 ， 则 ＝lg23， lg ∵ 2（3﹣）＝lg827＝lg23， ∴＝0，说法③符合题意； 故选：． 4．我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 ＝d﹣b．如 ＝2×5 3×4 ﹣ ＝ ﹣2，请你计算 的值为 20 ． 解： ＝（﹣2）×（﹣9）﹣（﹣ ）×4 ＝18﹣（﹣2） ＝18+2 ＝20， 故答为：20． 5．对于实数，b，定义运算“◎”如下：◎b＝（+b）2﹣（﹣b）2．若（m+1）◎（m 2 ﹣）＝ 16，则m＝ 3 或﹣ 2 ． 解：∵◎b＝（+b）2﹣（﹣b）2 ＝（+b+﹣b）（+b + ﹣b） ＝4b， ∴（m+1）◎（m 2 ﹣）＝4（m+1）（m 2 ﹣）＝4（m2﹣m 2 ﹣）＝16， 整理得m2﹣m 6 ﹣＝0， 解得m＝3 或m＝﹣2， 故答为：3 或﹣2． 6．设为正整数，记！＝1×2×3×4×…×（≥2），1！＝1，则 + + +…+ + ＝ 1﹣ ． 解： + + +…+ + ＝（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ）+…+（ ﹣ ） ＝1﹣ ， 故答为：1﹣ ． 7．新定义：任意两数m，，按规定y＝ ﹣m+得到一个新数y，称所得新数y 为数m，的 “愉悦数”．则当m＝2x+1，＝x 1 ﹣，且m，的“愉悦数”y 为正整数时，正整数x 的 值是 2 ． 解：当m＝2x+1，＝x 1 ﹣，且y 为数m，的“愉悦数”时， y＝ ﹣（2x+1）+（x 1 ﹣） ＝ ﹣ + ＝ ＝ ＝ ＝ + ＝﹣x+1﹣ ， ∵x 和y 均为正整数， 1 ∴＜x＜4， 当x＝2 时，y＝1， 当x＝3 时，y＝﹣ （不合题意，舍去）， 故答为：2． 8．对数的定义：一般地，若x＝（＞0 且≠1），那么x 叫做以为底的对数，记作x＝lg，比 如指数式23＝8 可以转化为对数式3＝lg28，对数式2＝lg636，可以转化为指数式62＝ 36．计算lg39+lg5125 lg ﹣ 232＝ 0 ． 解：lg39+lg5125 lg ﹣ 232 ＝2+3 5 ﹣ ＝0． 故答为：0． 9．对于正整数m，我们规定：若m 为奇数，则f（m）＝3m+3；若m 为偶数，则f（m）＝ ．例如f（5）＝3×5+3＝18，f（8）＝ ＝4．若m1＝1，m2＝f（m1），m3＝f （m2），m4＝f（m3），…，依此规律进行下去，得到一列数m1，m2，m3，m4，…， m，…（为正整数），则m1+m2+m3+…+m2021＝ 14140 ． 解：根据题意得： m1＝1， m2＝f（m1）＝f（1）＝6， m3＝f（m2）＝f（6）＝3， m4＝f（m3）＝f（3）＝12， m5＝f（m4）＝f（12）＝6， m6＝f（m5）＝f（6）＝3， m7＝f（m6）＝f（3）＝12， m8＝f（m7）＝f（12）＝6， m9＝f（m8）＝f（6）＝3， ． m2021＝6， m2022＝3， 2022÷3＝674， ∴m1+m2+m3+…+m2021＝（6+3+12）×（674 1 ﹣）+6+1＝14140． 故答为：14140． 10．如图，把平面内一条数轴x 绕原点逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y， x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B，若点在x 轴上对应的实数为，点B 在y 轴上对应的实数 为b，则称有序数对（，b）为点P 的斜坐标． （1）点P（x，y）关于原点对称的点的斜坐标是 （﹣ x ，﹣ y ） ； （2）在某平面斜坐标系中，已知θ＝60°，点P 的斜坐标为（2，4），点与点P 关于x 轴对称，则点的斜坐标是 （ 6 ，﹣ 4 ） ． 解：（1）点P（x，y）关于原点对称的点的斜坐标（﹣x，﹣y）， 故答为：（﹣x，﹣y）； （2）作P 点关于x 轴的对称点，连接P 交x 轴于点F，作∥x 轴交y 轴于点，作D∥y 轴 交x 轴于D 点， ∵P∥B∥D， ∴∠PF＝∠θ＝∠FD＝60°， ∵PF＝F，∠PF＝∠DF＝90°， ∴△PF≌△DF（S）， ∴P＝D，F＝FD， ∵点P 的斜坐标为（2，4）， ∴＝BP＝2，P＝B＝4， ∴D＝4， ∵∠PF＝60°， ∴F＝DF＝4•s60°＝2， ∴D＝4， ∴D＝2+4＝6， ∴（6，﹣4）， 故答为：（6，﹣4）． 11．欧拉是18 世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数 学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式： ＝ （其中，b，均不为零，且两两互不相等）． （1）当r＝0 时，常数p 的值为 0 ． （2）利用欧拉公式计算： ＝ 6063 ． 解：（1）当r＝0 时， ＝ + + ＝ ﹣ + ＝0， ∴p＝0， 故答为：0； （2）当＝2022，b＝2021，＝2020，r＝3 时， ＝2022+2021+2020＝6063， 故答为：6063． 12．任何一个正整数都可以进行这样的分解： （s、t 是正整数，且s≤t），如果 在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 是的最佳分解，并 规定：F（）＝ ．例如18 可以分解成1×18，2×9，3×6 这三种，这时就有F（18）＝ ＝ ．给出下列关于F（）的说法：①F（2）＝ ；②F（48）＝ ；③F（2+） ＝ ；④若非0 整数，则F（2）＝1，其中正确说法的是 ①③④ （将正确答的 序号填写在横线上）． 解：∵2＝1×2， ∴F（2）＝ ， 故语句①符合题意； 48 ∵ ＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8， ∴F（48）＝ ＝ ， 故语句②不符合题意； ∵2+＝（+1）， ∴F（2+）＝ ， 故语句③符合题意； ∵2＝×， ∴F（2）＝ ＝1， 故语句④符合题意， 故答为：①③④． 13．对于三个实数，b，，用M{，b，}表示这三个数的平均数，用m{，b，}表示这三个数 中最小的数．例如：M{1，2，9}＝ ＝4，m{1，2，﹣3}＝﹣3，m{3，1，1}＝ 1．请结合上述材料，解决下列问题： （1）m{s30°，s60°，t45°}； （2）若M{ 2 ﹣x，x2，3}＝2，求x 的值． 解：（1）m{s30°，s60°，t45°} ＝m{ ， ，1} ＝ ； （2）∵M{ 2 ﹣x，x2，3}＝2， ∴ ＝2， 整理得：x2 2 ﹣x 3 ﹣＝0， （x 3 ﹣）（x+1）＝0， x 3 ﹣＝0 或x+1＝0， x＝3 或x＝﹣1， ∴x 的值为3 或﹣1． 14．定义 为二阶行列式，规定它的运算法则为： ＝d﹣b．例如： ＝5×8﹣ 6×7＝﹣2． （1）求 的值． （2）若 ＝20，求m 的值． 解：（1）∵ ＝d﹣b， ∴ ＝20172 2018×2016 ﹣ ＝20172﹣（2017+1）×（2017 1 ﹣） ＝20172 2017 ﹣ 2+1 ＝1； （2）∵ ＝d﹣b， ＝20， ∴（m+2）（m+2）﹣（m 2 ﹣）（m 2 ﹣）＝20， 解得m＝ ． 15．材料：对于一个四位正整数m，如果满足百位上数字的2 倍等于千位与十位的数字之 和，十位上数字的2 倍等于百位与个位的数字之和，那么称这个数为“相邻数”． 例如：∵3579 中，2×5＝3+7＝10，7×2＝5+9＝14，∴3579 是“相邻数”． （1）判断7653，3210 是否为“相邻数”，并说明理由； （2）若四位正整数＝1000+100b+10+d 为“相邻数”，其中，b，，d 为整数，且 1≤≤9，0≤b≤9，0≤≤9，0≤d≤9，设F（）＝2，G（）＝2d﹣，若 为 整数，求所有满足条件的值． 解：（1）7653 不是“相邻数”；3210 是“相邻数”， 7653 ∵ 中，6×2＝7+5＝12，5×2＝10，6+3＝9，10≠9， 7653 ∴ 不是“相邻数”； 3210 ∵ 中，2×2＝3+1＝4，1×2＝2+0＝2， 3210 ∴ 是“相邻数”； （2）∵四位正整数＝1000+100b+10+d 为“相邻数”， 2 ∴b＝+，2＝b+d， ∵F（）＝2，G（）＝2d﹣， ∴ ＝ ， 1≤≤9 ∵ ，0≤b≤9，0≤≤9，0≤d≤9， 8≤2+3+6≤5 ∴ ， 2+3+6 ∴ ＝17，34，51， ①2+3＝11 时，＝1，＝3，b＝2，d＝4，此时＝1234， ②2+3＝28 时，＝8，＝4，b＝6，d＝2，此时＝8642， ③2+3＝45 时，＝9，＝9，b＝9，d＝9，此时＝9999， 综上所述，所有满足条件的的值为1234，8642，9999． 16．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此 图揭示了（+b）（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 例如：（+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （+b）1＝+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； （+b）2＝2+2b+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 根据以上规律，解答下列问题： （1）（+b）5展开式共有 6 项，系数和为 32 ． （2）求（2 1 ﹣）5的展开式； （3）利用表中规律计算：25 5×2 ﹣ 4+10×23 10×2 ﹣ 2+5×2 1 ﹣（不用表中规律计算不给分）； （4）设（x+1）17＝17x17+16x16+…+1x+0，则1+2+3+…+16+17的值为 2 17 1 ﹣ ． 解：（1）根据图表中的规律， 可得：（+b）5展开式共有 6 项，系数和为 1+5+10+10+5+1＝32， 故答为：6，32； （2）（2 1 ﹣）5 ＝255+5×244（﹣1）+10×233（﹣1）2+10×222（﹣1）3+5×2（﹣1）4+（﹣1）5 ＝325 80 ﹣ 4+803 40 ﹣ 2+10 1 ﹣； （3）根据图表中数据的规律可以发现： 25 5×2 ﹣ 4+10×23 10×2 ﹣ 2+5×2 1 ﹣＝（2 1 ﹣）5， 2 ∴5 5×2 ﹣ 4+10×23 10×2 ﹣ 2+5×2 1 ﹣＝1； （4）∵（x+1）17＝17x17+16x16+…+1x+0， ∴当x＝1 时， （1+1）17＝0+1+2+3+…+16+17， 当x＝0 时， （0+1）17＝0＝1， 2 ∴17＝1+1+2+3+…+16+17， ∴1+2+3+…+16+17的值为217 1 ﹣． 故答为：217 1 ﹣． 17．若规定f（，m）＝×（+1）×（+2）×（+3）×…×（+m 1 ﹣），且m，为正整数，例如f （3，1）＝3，f（4，2）＝4×5，f（5，3）＝5×6×7． （1）计算f（4，3）﹣f（3，4）； （2）试说明： ； （3）利用（2）中的方法解决下面的问题，记＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+f （27，2），b＝f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3）． ①，b 的值分别为多少？ ②试确定b的个位数字． （1）解：f（4，3）﹣f（3，4） ＝4×5×6 3×4×5×6 ﹣ ＝4×5×6×（1 3 ﹣） ＝﹣2×4×5×6 ＝﹣240； （2）证明：∵f（，m）＝×（+1）×（+2）×（+3）×…×（+m 1 ﹣）， [f（，m+1）﹣f（﹣1，m+1）]＝ ×[×（+1）×（+2）×（+3）×…×（+m）﹣ （﹣1）××（+1）×（+2）×（+3）×…×（﹣1+m+1 1 ﹣）] ＝ [×（+1）×（+2）×（+3）×…×（+m 1 ﹣）×（m+1）] ＝×（+1）×（+2）×（+3）×…×（+m 1 ﹣）， ∴ ； （3）解：①∵＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+f（27，2） ＝ [f（1，3）﹣f（0，3）+f（2，3）﹣f（1，3）+f（3，3）﹣f（2，3）+…+f（27， 3）﹣f（26，3）] ＝ [f（27，3）﹣f（0，3）] ＝ ×27×28×29 ＝7308， b＝f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3） ＝ [f（1，4）﹣f（0，4）+f（2，4）﹣f（1，4）+f（3，4）﹣f（2，4）+…+f（11， 4）﹣f（10，4）] ＝ [f（11，4）﹣f（0，4）] ＝ ×11×12×13×14 ＝6006； ②b＝730860