第1章 数与式（测试）（原卷版）

第一章 数与式 （考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分） 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．【原创题】《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系： 1 亿＝1 万×1 万，1 兆＝1 万×1 万×1 亿，则1 兆等于（ ） ． B． ． D． 2．不一定相等的一组是（ ） ． 与 B． 与 ． 与 D． 与 【新考法】 数学与实际生活——生活中的数学原理 3．照相机成像应用了一个重要原理，用公式 表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示 物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ） ． B． ． D． 4．与 结果相同的是（ ）． ． B． ． D． 5．若 取1442，计算 的结果是（ ） ．-100 B．-144．2 ．1442 D．-001442 6．【原创题】要比较 与 中的大小（x 是正数），知道 的正负就可以判断，则下列 说法正确的是（ ） ． B． ． D． 7．已知 ，则 （ ） ．y B． ． D． 8．已知： ， ， ，则，b，大小关系是（ ） ． B． ． D． 【新考法】 数学与规律探究——乘方类规律 9．我国宋代数学家杨辉发现了 （ ，1，2，3，…）展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律， 展开式的系数和是（ ） ．64 B．128 ．256 D．612 10．对于多项式 ，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对b 和d 进行“加 负运算”，得到： ．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”， 乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，下列说法正确的个数为（ ） ①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到 ；②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代 数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式；③乙同学通过“加负运算”后可以得到 16 个不同的代数式 ．0 B．1 ．2 D．3 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11 【原创题】 1 2024 的倒数是_________|-2024|的相反数是_________ - [+(-2024)]= _________ 12．写出一个无理数x，使得 ，则x 可以是 （只要写出一个满足条件的x 即可） 【新考法】 数学与实际生活——游戏中的数学 13．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张， 根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如 图所示，请帮小明列出一个结果等于24 的算式 ． 14．如果单项式 与 的和是单项式，那么 ． 15．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲、乙纸片各1 块，其面积和为 ； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1 块，再取乙纸片4 块，还需取丙纸片 块． 【新考法】 信息题 16．当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的 日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相 同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000 个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门 用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000 个方格只有200 个方格作为数据码．根据相关数学知识，这 200 个方格可以生成 个不同的数据二维码，现有四名友对 的理解如下： YYDS（永远的神）： 就是200 个2 相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）： 等于 ； XD（觉醒年代）： 的个位数字是6； QGY（强国有我）：我知道 ，所以我估计 比 大． 其中对 的理解错误的友是 （填写名字母代号）． 三．解答题（共9 小题，满分72 分，其中17、18、19 题每题6 分，20 题、21 题每题7 分，22 题8 分，23 题9 分，24 题10 分，25 题13 分） 【新考法】 数学与实际生活——游戏中的数学 17．如图，佳佳玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入五个小球，小球分别标有如图所示的数 （x 为正整数）；现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减 去球上的数． (1)若佳佳摸取到如下两个小球，请计算出结果； (2)佳佳摸出全部的五个球，若计算结果为3，求出x 的值． 18．【原创题】根据 这条性质，解答下列问题： (1)当 ________时， 有最小值，此时最小值为________； (2)已知 ， 互为相反数，且 ， ，求 的值． 19．发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两 个正整数的平方和．验证：如， 为偶数，请把10 的一半表示为两个正整数的平方和． 探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，，请论证“发现”中的结论正确． 20．（1）计算： ． （2）化简求值： ，其中 ． 21．已知数轴上有两个点：－3，B：1． (1)求线段B 的长； (2)若 ，且m<0；在点B 右侧且到点B 距离为5 的点表示的数为． ①求m 与； ②计算2m++m； 22．仔细阅读下列解题过程： 若 ，求 的值． 解： ∴ ∴ ∴ ∴ 根据以上解题过程，试探究下列问题： (1)已知 ，求 的值； (2)已知 ，求 的值； (3)若 ，求 的值． 【新考法】与实数有关的新定义问题 23．对于一个各数位上的数字均不为0 的三位自然数，若能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称是m 的“和倍数”． 例如：∵ ，∴247 是13 的“和倍数”． 又如：∵ ，∴214 不是“和倍数”． (1)判断357，441 是否是“和倍数”？说明理由； (2)三位数是12 的“和倍数”，，b，分别是数其中一个数位上的数字，且 ．在，b，中任选两个组 成两位数，其中最大的两位数记为 ，最小的两位数记为 ，若 为整数，求出满足条 件的所有数． 24．在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为 ， ，（ ）的三角形中，有 ． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格． (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用 ， ， ，再配方，…… ②利用 ，使用平方差公式，……． ③利用 ，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． 【新考法】 利用数形结合解决计算问题 25．【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变 得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数公式，很 多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．例如：求1+2+3+4+…+ 的值（其中 是正整数）．如果采 用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求 1+2+3+4+…+ 的值，方如下：如图1，斜线左边的三角形图是由上到下每层依次分别为1，2，3，…， 个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+ 的值．为求式子的值， 现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有 行，每行有 个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为 个，因此，组成一个三角形 小圆圈的个数为 ，即 ． 【问题提出】求 的值（其中 是正整数）． 【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结 合法，借助图形进行推理获得结论． 探究1：如图2， 可以看成1 个 的正方形的面积，即 探究2：如图3， 表示1 个 的正方形，其面积为： ； 表示1 个 的正方形，其面积为： ； 分别表示1 个 的长方形，其面积的和为： ； 的面积和为 ，而 恰好可以拼成一个 的大正方形．由此可得： ． (1)探究3：请你类比上述探究过程，借助图形探究： ______=______．（要求自己构造图形并 写出推证过程） (2)【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到： ______=______（要求直接写出结论，不必写出推证过程） (3)【结论应用】图4 是由若干个棱长为1 的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为 了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6 的正方体的个 数，再求总和． 例如：棱长是1 的正方体有： 个， 棱长是2 的正方体有： 个， …… 棱长是6 的正方体有： 个； 然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4 中大小正方体的个数为______． (4)【逆向应用】如果由若干个棱长为1 的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100 个，那么 棱长为1 的小正方体的个数为_________． (5)【拓展探究】 观察下列各式： 若 （ 为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则 的值______．