模型49 等边三角形的378和578模型（解析版）(1)

当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通 常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这 两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8 的等边三角形 【模型】当两个三角形的边长分别为3，7，8 和5，7，8 时 ①这两个三角形的面积分别为6❑ √3、10❑ √3 ②3、8 与5、8 夹角都是60° 【例1】．如图，△B 的边B＝8，B＝5，＝7，试过作D 垂直B 于点D 并求出D 的长度． 模型介绍 例题精讲 解：如图所示，作D⊥B 于点D， 设D＝x，则BD＝B﹣D＝5﹣x， 则在直角三角形BD 和直角三角形D 中，由勾股定理有： B2﹣BD2＝2+D2， 即64﹣（5﹣x）2＝49﹣x2， 解得：x＝1． 故D 长度为1． 变式训练 【变式1-1】．已知在△B 中，B＝7，＝8，B＝5，则∠＝（ ） ．45° B．37° ．60° D．90° 解：过点作D⊥B 于D，如图所示： 设D＝x， 则BD＝B﹣D＝5﹣x， 在Rt△BD 中，由勾股定理得：D2＝B2﹣BD2， 在Rt△D 中，由勾股定理得：D2＝2﹣D2， ∴B2﹣BD2＝2﹣D2， 即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2， 解得：x＝4， ∴D＝4， ∴D＝ ， ∴∠D＝30°， ∴∠＝90° 30° ﹣ ＝60°， 故选：． 【变式1-2】．如图，△B 的三边B，B，的长度分别为3，7，8，则△B 的内切圆的半径为 ． 解：如图，过点B 作BD⊥， ∵△B 的三边B，B，的长度分别为3，7，8， ∴设D＝x，则D＝8﹣x， 在△BD 与△BD 中，BD2＝B2﹣D2＝B2﹣D2， 3 ∴2﹣x2＝72﹣（8﹣x）2， 解得：x＝ ， ∴D＝ ， ∴BD＝ ＝ ， 过点作E 垂直B 于E， ∵为△B 的内心， ∴△B 的三边B，B，上的高都等于E， ∵ ， 8× ∴ ＝（3+7+8）×E， ∴E＝ ， ∴△B 的内切圆的半径为 ． 故答为： ． 【例2】．如图，△B 中，∠B＝60°，B＝8，B＝5，E 点在B 上，若E＝2，则E 的长等于 7 ． 解：过作D⊥B，交B 于D， △BD 中，∠B＝60°，B＝8， ∴BD＝4，D＝4 ， 则 D＝1，ED＝1． ∴E＝ ＝ ＝7． 故答为：7． 变式训练 【变式2-1】．当两个三角形的边长分别为3，7，8 和5，7，8 时，则这两个三角形的面 积之和是 16 ． 解：当三角形的边长为：3，7，8 时，P＝ ， ∴S＝ ＝ ＝ ； 当三角形的边长为：5，7，8 时，P＝ ， ∴S＝ ＝ ＝ ， 则两个三角形的面积之和为： ． 故答为： ． 【变式2-2】．△B 中，B＝8，B＝5，＝7，圆是△B 的外接圆，D 为直径，则s∠BD＝ ． 解：如图，连接BD，过作E⊥B 于E， ∵D 为⊙直径， ∴∠BD＝∠E＝90°， ∴∠BD+∠BD＝∠E+∠B＝90° ∵ ， ∴∠BD＝∠B， ∴∠BD＝∠E， 在Rt△E 中，＝7，设E＝x， E2＝2﹣E2＝49﹣x2， 同理，E2＝B2﹣BE2＝64﹣（5﹣x）2， 49 ∴ ﹣x2＝64﹣（5﹣x）2， ∴x＝1， ∴E＝1 ∴ ， ∴ ， 故答为 ． 1．边长为5，7，8 的三角形的最大角和最小角的和是（ ） ．90° B．150° ．135° D．120° 解：如图，△B 中，B＝7，＝8，B＝5， 过点作D⊥B 于D， 设D＝x， 则BD＝B﹣D＝5﹣x， 在Rt△BD 中，由勾股定理得：D2＝B2﹣BD2， 在Rt△D 中，由勾股定理得：D2＝2﹣D2， ∴B2﹣BD2＝2﹣D2， 即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2， 解得：x＝4， ∴D＝4， ∴D＝ ， ∴∠D＝30°， ∴∠＝90° 30° ﹣ ＝60°， ∴∠B+∠B＝180° 60° ﹣ ＝120°， 故选：D． 2．在△B 中，B＝16，＝14，B＝6，则△B 的面积为（ ） ．24 B．56 ．48 D．112 解：如图，过点作D⊥B 于D， 在△B 中，B＝16，＝14，B＝6， ∴设BD＝x，则D＝16﹣x， 在△DB 与△D 中， ∵D2＝B2﹣BD2＝2﹣D2， 6 ∴2﹣x2＝142﹣（16﹣x）2， 解得：x＝3， ∴D＝3 ， ∴ ＝24 ． 故选：． 3．已知在△B 中，B＝5，B＝8，＝7，则∠B 的度数为（ ） ．30° B．45° ．60° D．70° 解：过作D⊥B 于D，设BD＝x，则D＝8﹣x， 在Rt△BD 中，D2＝B2﹣BD2， 在Rt△D 中，D2＝2﹣D2， ∵B＝5，＝7， 25 ∴ ﹣x2＝49﹣（8﹣x）2， 解得：x＝ ， ∴BD＝25， ∵B＝5， ∴B＝2BD， ∴∠BD＝30° ∴∠B 的度数是60°． 故选：． 4．已知直角三角形的两直角边分别为6 和8，则该直角三角形斜边上的高为（ ） ． B．10 ．5 D． 解：∵直角三角形的两直角边为6 和8， ∴斜边长为： ＝10， 设直角三角形斜边上的高是， ∴ ×6×8＝ ×10×， 解得：＝ ． 故选：D． 5．已知：在△B 中，B＝8，＝7，∠B＝60°，则B 为 3 或 5 ． 解：如图所示：作D⊥B 交B 于点D， 则∠D＝90°． ∵∠B＝60°， ∴∠BD＝30°． 设BD 为x，则D 为（8﹣x），B 为2x． s ∵B＝ ，＝7， ∴D＝ ． ∴（ x）2+（8﹣x）2＝72． 解得x1＝ ，x2＝ ． ∴当x＝ 时，B＝2x＝3； 当x＝ 时，B＝2x＝5． 故B 为3 或5． 故答为：3 或5． 6．△B 中，B＝8，＝7，∠B＝60°，则△B 的面积为 6 或 10 ． 解：方法1：∵△B 中，B＝8，＝7，∠B＝60°， ∴由余弦定理，得2＝B2+B2 2 ﹣B•BsB， 即49＝B2+64 2× ﹣ B×8s60°， 整理得B2 8 ﹣B+15＝0， 解得B＝3 或B＝5， ∴△B 的面积为S＝ B•BsB＝ ×8•B× ＝2 B＝6 或10 ． 方法2：如图所示：作D⊥B 交B 于点D， 则∠D＝90°． ∵∠B＝60°， ∴∠BD＝30°． 设BD 为x，则D 为（8﹣x），B 为2x． s ∵B＝ ＝ ，＝7， ∴D＝ x． ∴（ x）2+（8﹣x）2＝72． 解得x1＝ ，x2＝ ． ∴当x1＝ 时，△B 的面积为S＝ B•D＝ ×8× × ＝6 ； 当x2＝ 时，△B 的面积为S＝ B•D＝ ×8× × ＝10 ． 故答为6 或10 ． 7．在△B 中，B＝16，＝14，B＝6，则△B 的内切圆的周长为 π ． 解：如图1，过作E⊥B 于E， 设BE＝x，则E＝6﹣x， 在Rt△BE 中，E2＝B2﹣BE2， ∴E2＝162﹣x2， 同理，在Rt△E 中，E2＝142﹣（6﹣x）2， 16 ∴ 2﹣x2＝142﹣（6﹣x）2， ∴x＝8， ∴BE＝8，E＝ ， ∵BE＞B， ∴△B 是钝角三角形， ∴S△B＝ ＝24 ， 如图2，设⊙是△B 的内切圆，B 边切⊙于点D，连接D， 则D⊥B， 连接，B，，设⊙半径为r， ∴ ＝ ， 同理， ， ， ∴S△B＝S△B+S△B+S△＝ ， ∴ ， ∴r＝ ， ⊙的周长为2πr＝ ， 故答为： ． 8．若一个等腰三角形的周长为16m，一边长为6m，则该等腰三角形的面积为 8 或 12 m2． 解：当腰为6m 时，底边长＝16 6 6 ﹣﹣＝4m，6，6，4 能构成三角形，其他两边长为 6m，4m， ∴等腰三角形的底边上的高为 （m）， ∴该等腰三角形的面积为 （m2）； 当底为6m 时，三角形的腰＝（16 6 ﹣）÷2＝5m，6，5，5 能构成三角形，其他两边长为 5m，5m， ∴等腰三角形的底边上的高为 （m）， ∴该等腰三角形的面积为 （m2）； 故答为：8 或12． 9．已知在△B 中，B＝7，＝8，B＝5，则s＝ ． 解：过点作D⊥B 于D，如图所示： 设D＝x， 则BD＝B﹣D＝5﹣x， 在Rt△BD 中，由勾股定理得：D2＝B2﹣BD2， 在Rt△D 中，由勾股定理得：D2＝2﹣D2， ∴B2﹣BD2＝2﹣D2， 即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2， 解得：x＝4， ∴D＝4， ∴D＝ ， ∴∠D＝30°， ∴∠＝90° 30° ﹣ ＝60°， s ∴＝s60°＝ ． 故答为： ． 10．如图，△B 的边B＝8，B＝5，＝7．求B 边上的高． 解：作D⊥B 于D， 由勾股定理得，D2＝B2﹣BD2，D2＝2﹣D2， ∴B2﹣BD2＝2﹣D2，即82﹣（5﹣D）2＝72﹣D2， 解得，D＝1， 则B 边上的高D＝ ＝4 ． 11．△B 的三边B，B，的长度分别为8，3，7，以B 为圆心，B 为半径画弧交线段B 于点 D，请求出弧D 的长度． 解：作M⊥B 于M， 设BM＝x，则M＝8﹣x， 利用勾股定理，B2﹣BM2＝2﹣M2， 3 ∴2﹣x2＝72﹣（8﹣x）2， 解得x＝ ， ∴BM＝ ， 在Rt△BM 中，B＝3，BM＝ ， s ∴∠B＝ ＝ ， ∴∠B＝60°， ∴弧D 的长度为： ＝π． 12．如图，在△B 中，∠B＝90°，D⊥B 于点D，＝20，B＝15． 求：（1）D 的长； （2）D 的长． 解：（1）在Rt△B 中，由勾股定理得， B＝ ＝ ＝25， ∵D⊥B， ∴S ， ∴D＝ ＝12； （2）在Rt△BD 中，由勾股定理得， BD＝ ＝ ＝9， D＝25 9 ﹣＝16． 13．如图，在等边△B 中，B＝6，D 是的中点，E 是B 延长线上的一点，E＝D，DF⊥BE， 垂足为F． （1）求BD 的长； （2）求证：BF＝EF． （1）解：∵△B 是等边三角形， ∴∠BD＝60°，B＝B＝＝6， 又∵B＝6，点D 为的中点， ∴D＝3，B⊥D， ∴BD＝ ＝ ＝3 ； （2）证明：∵△B 是等边三角形，D 为的中点， ∴∠BD＝ ， 又∵E＝D， ∴∠DE＝∠E， 又∵∠BD＝60°， ∴∠E＝ ， ∴∠BD＝∠E， ∴BD＝DE， 又∵DF⊥B，垂足为F． ∴BF＝EF． 14．如图，△B 中，B＝5，＝7，B＝8，⊙是△B 的内切圆，与△B 的三边相切于D，E，F． （1）求⊙的半径； （2）如图2，连接D，DE，求t∠DE 的值． 解：（1）过作⊥B 于， ∵B＝5，＝7，B＝8， ∴B2﹣B2＝2﹣2， 5 ∴2﹣（8﹣）2＝72﹣2， 解得：＝55， ∴＝ ＝ ， ∴S△B＝ 8× ＝10 ， 连接，B，，D，E，F， 设⊙的半径为r， ∵⊙是△B 的内切圆， ∴D＝E＝F＝r， ∴ ×5r+ r r＝10 ， ∴r＝ ； ∴⊙的半径为 ； （2）∵＝ ，B＝5， s ∴∠B＝ ＝ ∴∠B＝60°， ∵B＝5，＝7，B＝8， ∴BD＝BE＝ ＝3，E＝5， ∴△BDE 是等边三角形， ∴DE＝3，∰ 作G⊥DE 于G， ∴∠EG＝BED＝60°， ∴G＝E•s60°＝ ，EG＝E•s60°＝ ， ∴DG＝DE+EG＝ ， t ∴∠DE＝ ＝ ．