2016年高考数学试卷（理）（新课标Ⅰ）（解析卷）

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（ ） A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，） C．（1，） D．（，3） 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合． 【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3）， B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞）， ∴A∩B=（，3）， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（ ） A．1 B． C． D．2 【考点】A8：复数的模． 【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可． 【解答】解：∵（1+i）x=1+yi， ∴x+xi=1+yi， 即 ，解得 ，即|x+yi|=|1+i|= ， 故选：B． 【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本 题的关键． 3．（5分）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（ ） A．100 B．99 C．98 D．97 【考点】83：等差数列的性质． 【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案． 【解答】解：∵等差数列{an}前9项的和为27，S9= = =9a5． ∴9a5=27，a5=3， 又∵a10=8， ∴d=1， ∴a100=a5+95d=98， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答 的关键． 4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不 超过10分钟的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】CF：几何概型． 【专题】5I：概率与统计． 【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算 公式，可得答案． 【解答】解：设小明到达时间为y， 当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P= = ， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题． 5．（5分）已知方程 ﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则n的取值范围是（ ） A．（﹣1，3） B．（﹣1， ） C．（0，3） D．（0， ） 【考点】KB：双曲线的标准方程． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又 （m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围． 【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2， 当焦点在x轴上时， 可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1， ∵方程 ﹣ =1表示双曲线， ∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0， 解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）． 当焦点在y轴上时， 可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1， 无解． 故选：A． 【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础 题． 6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互 垂直的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（ ） A．17π B．18π C．20π D．28π 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间 位置关系与距离． 【分析】 判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何 体的表面积． 【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如 图： 可得： = ，R=2． 它的表面积是：×4π•22+ =17π． 故选：A． 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能 力以及空间想象能力． 7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换． 【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利 用排除法，可得答案． 【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|， ∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|， 故函数为偶函数， 当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B； 当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex， ∴f′（x）=4x﹣ex=0有解， 故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排 除法解答． 8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ） A．ac＜bc B．abc＜bac C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc 【考点】R3：不等式的基本性质． 【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应 用；5T：不等式． 【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分 析各个结论的真假，可得答案． 【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1， ∴函数f（x）=xc在（0，+∞）上为增函数，故ac＞bc，故A错误； 函数f（x）=xc﹣1在（0，+∞）上为减函数，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞ bac；故B错误； logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即 = ＜1，即logac＞logbc．故D错 误； 0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbc＜blogac， 故C正确； 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数 的单调性，是解答的关键． 9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值 满足（ ） A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 【考点】EF：程序框图． 【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出 变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可 得答案． 【解答】解：输入x=0，y=1，n=1， 则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2， 则x= ，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3， 则x= ，y=6，满足x2+y2≥36， 故y=4x， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常 采用模拟循环的方法解答． 10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、 E两点．已知|AB|=4 ，|DE|=2 ，则C的焦点到准线的距离为（ ）A． 2 B．4 C．6 D．8 【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合． 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥 曲线的定义、性质与方程． 【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求 解即可． 【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4 ，|AM|=2 ， |DE|=2 ，|DN|= ，|ON|= ， xA= = ， |OD|=|OA|， = +5， 解得：p=4． C的焦点到准线的距离为：4． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线 与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用． 11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面 ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角． 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间 角． 【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可． 【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n， 可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°． 则m、n所成角的正弦值为： ． 故选：A． 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间 想象能力以及计算能力． 12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=﹣ 为f（x）的 零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（ ， ）上单调，则ω 的最大值为（ ） A．11 B．9 C．7 D．5 【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】 根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣ 为f（x）的零点，x= 为y=f （x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（ ， ） 上单调，可得ω的最大值． 【解答】解：∵x=﹣ 为f（x）的零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴， ∴ ，即 ，（n∈N） 即ω=2n+1，（n∈N） 即ω为正奇数， ∵f（x）在（ ， ）上单调，则 ﹣ = ≤， 即T= ≥ ，解得：ω≤12， 当ω=11时，﹣ +φ=kπ，k∈Z， ∵|φ|≤ ， ∴φ=﹣ ， 此时f（x）在（ ， ）不单调，不满足题意； 当ω=9时，﹣ +φ=kπ，k∈Z， ∵|φ|≤ ， ∴φ= ， 此时f（x）在（ ， ）单调，满足题意； 故ω的最大值为9， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度 较大． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且| + |2=| |2+| |2，则m= ﹣ 2 ． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算． 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用． 【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即 可． 【解答】解：| + |2=| |2+| |2， 可得• =0． 向量=（m，1），=（1，2）， 可得m+2=0，解得m=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能 力． 14．（5分）（2x+ ）5的展开式中，x3的系数是 10 ．（用数字填写答案） 【考点】DA：二项式定理． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即 可求出展开式中x3的系数． 【解答】解：（2x+ ）5的展开式中，通项公式为：Tr+1= =25﹣r ， 令5﹣=3，解得r=4 ∴x3的系数2 =10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题． 15．（5分）设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 64 ． 【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合． 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数 列． 【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…an，然后求解最值． 【解答】解：等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5， 可得q（a1+a3）=5，解得q= ． a1+q2a1=10，解得a1=8． 则a1a2…an=a1 n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n• = = ， 当n=3或4时，表达式取得最大值： =26=64． 故答案为：64． 【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考 查计算能力． 16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产 一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要 甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元， 生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则 在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216000 元． 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化 思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立 不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意 义，求出其最大值即可； 【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元． 由题意，得 ，z=2100x+900y． 不等式组表示的可行域如图：由题意可得 ，解得： ，A（60， 100）， 目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值： 2100×60+900×100=216000元． 故答案为：216000． 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际 问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用， 不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键． 三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 17．（12分）△ABC的内角A ，B，C的对边分别为a，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA）=c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c= ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长． 【考点】HU：解三角形． 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数 公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度 数； （2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的 值，即可求△ABC的周长． 【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0 已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC， 即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC 2cosCsinC=sinC ∴cosC= ， ∴C= ； （Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab• ， ∴（a+b）2﹣3ab=7， ∵S= absinC= ab= ， ∴ab=6， ∴（a+b）2﹣18=7， ∴a+b=5， ∴△ABC的周长为5+ ． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒 等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正 方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°． （Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值． 【考点】MJ：二面角的平面角及求法． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用； 5Q：立体几何． 【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出 平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦 值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF． ∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF， ∵DF∩EF=F， ∴AF⊥平面EFDC， ∵AF⊂平面ABEF， ∴平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF， 可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角； 由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC， ∵BE⊥EF， ∴BE⊥平面EFDC 即有CE⊥BE， 可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°． ∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC， ∴AB∥平面EFDC， ∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD， ∴AB∥CD， ∴CD∥EF， ∴四边形EFDC为等腰梯形． 以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a， 则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0， a），A（2a，2a，0）， ∴ =（0，2a，0）， =（，﹣2a， a）， =（﹣2a，0，0） 设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则 ， 则 ，取=（ ，0，﹣1）． 设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则 ， 则 ，取=（0， ，4）． 设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ= = =﹣ ， 则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣ ． 【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考 查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹 角问题是解答的关键． 19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器 有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购 买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三 年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的 概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的 同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X的分布列； （Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值； （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其 一，应选用哪个？ 【考点】CG：离散型随