2016年高考数学试卷（理）（新课标Ⅲ）（解析卷）

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（ ） A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞） C．[3，+∞） D．（0，2]∪[3，+∞） 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可． 【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞）， ∵T=（0，+∞）， ∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞）， 故选：D． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌 握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）若z=1+2i，则 =（ ） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 【考点】A5：复数的运算． 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可． 【解答】解：z=1+2i，则 = = =i． 故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力． 3．（5分）已知向量 =（， ）， =（ ，），则∠ABC=（ ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角． 【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量 的坐标便可求出 ，及 的值，从而根据 向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值． 【解答】解： ， ； ∴ ； 又0°≤∠ABC≤180°； ∴∠ABC=30°． 故选：A． 【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及 向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角． 4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均 最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为 15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是 （ ） A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明． 【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可． 【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确 B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均 温差比一月的平均温差大，正确 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确 D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误， 故选：D． 【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温 的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键． 5．（5分）若tanα= ，则cos2α+2sin2α=（ ） A． B． C．1 D． 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可 得到答案． 【解答】解：∵tanα= ， ∴cos2α+2sin2α= = = = ． 故选：A． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题． 6．（5分）已知a= ，b= ，c= ，则（ ） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】b= = ，c= = ，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案． 【解答】解：∵a= = ， b= ， c= = ， 综上可得：b＜a＜c， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图 象和性质的综合应用，难度中档． 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】EF：程序框图． 【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b， s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4． 【解答】解：模拟执行程序，可得 a=4，b=6，n=0，s=0 执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2 不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4 满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环 得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题． 8．（5分）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于BC，则cosA等于（ ） A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形． 【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ= = = ， sinθ= ，利用两角和的余弦即可求得答案． 【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令 ∠DAC=θ， ∵在△ABC中，B= ，BC边上的高AD=h= BC= a， ∴BD=AD= a，CD= a， 在Rt△ADC中，cosθ= = = ，故sinθ= ， ∴cosA=cos（ +θ）=cos cosθ﹣sin sinθ= × ﹣ × =﹣ ． 故选：C． 【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求 cosA是关键，也是亮点，属于中档题． 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的 三 视 图 ， 则 该 多 面 体 的 表 面 积 为 （ ） A．18+36 B．54+18 C．90 D．81 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱 柱，进而得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四 棱柱， 其底面面积为：3×6=18， 侧面的面积为：（3×3+3× ）×2=18+18 ， 故棱柱的表面积为：18×2+18+18 =54+18 ． 故选：B． 【点评】 本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几 何体的形状是解答的关键． 10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC， AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（ ） A．4π B． C．6π D． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积 公式，可得答案． 【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8， ∴AC=10． 故三角形ABC的内切圆半径r= =2， 又由AA1=3， 故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为， 此时V的最大值 = ， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解 答的关键． 11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左焦点， A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段 PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 （ ） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质． 【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+ a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标， 运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值． 【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的 方程为y=k（x+a）， 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka）， 设OE的中点为H，可得H（0， ）， 由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM， 即为 = ， 化简可得 = ，即为a=3c， 可得e= = ． 另解：由△AMF∽△AEO， 可得 = ， 由△BOH∽△BFM， 可得 = = ， 即有 = 即a=3c， 可得e= = ． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直 线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属 于中档题． 12．（5分）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项 为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则 不同的“规范01数列”共有（ ） A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 【考点】8B：数列的应用． 【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法． 【分析】 由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为 0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案． 【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相 等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有： 0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1， 0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1； 0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0， 1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1； 0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0， 0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个． 故选：C． 【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做 到不重不漏，是压轴题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为 ． 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴 的截距最大值． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最 大， 由 得D（1，）， 所以z=x+y的最大值为1+ ； 故答案为：． 【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目 标函数，确定求最值的条件． 14．（5分）函数y=sinx﹣ cosx的图象可由函数y=sinx+ cosx的图象至少向右平 移 个单位长度得到． 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】令f（x）=sinx+ cosx=2sin（x+ ），则f（x﹣φ）=2sin（x+ ﹣φ）， 依题意可得2sin（x+ ﹣φ）=2sin（x﹣ ），由 ﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z），可得 答案． 【解答】解：∵y=f（x）=sinx+ cosx=2sin（x+ ），y=sinx﹣ cosx=2sin（x﹣ ）， ∴f（x﹣φ）=2sin（x+ ﹣φ）（φ＞0）， 令2sin（x+ ﹣φ）=2sin（x﹣ ）， 则 ﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z），即φ= ﹣2kπ（k∈Z）， 当k=0时，正数φmin= ， 故答案为： ． 【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0） 的图象，得到 ﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题． 15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是 2x+y+1=0 ． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用． 【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x， 求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程． 【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x）， 当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有 x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）= ﹣3， 可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2， 则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1）， 即为2x+y+1=0． 故答案为：2x+y+1=0． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义 和运用，考查运算能力，属于中档题． 16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣ =0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分 别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2 ，则|CD|= 4 ． 【考点】J8：直线与圆相交的性质． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】 先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可． 【解答】解：由题意，|AB|=2 ，∴圆心到直线的距离d=3， ∴ =3， ∴m=﹣ ∴直线l的倾斜角为30°， ∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点， ∴|CD|= =4． 故答案为：4． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能 力，比较基础． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0． （1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式； （2）若S5= ，求λ． 【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式． 【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等 比数列的定义进行证明求解即可． （2）根据条件建立方程关系进行求解就可． 【解答】解：（1）∵Sn=1+λan，λ≠0． ∴an≠0． 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1， 即（λ﹣1）an=λan﹣1， ∵λ≠0，an≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即 = ，（n≥2）， ∴{an}是等比数列，公比q= ， 当n=1时，S1=1+λa1=a1， 即a1= ， ∴an= •（ ）n﹣1． （2）若S5= ， 则若S5=1+λ[ •（ ）4]= ， 即（ ）5= ﹣1=﹣ ， 则 =﹣，得λ=﹣1． 【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1的关系进 行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力． 18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿 吨）的折线图． 注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014． （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证 明； （Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无 害化处理量． 附注： 参考数据： yi=9.32， tiyi=40.17， =0.55， ≈2.646． 参考公式：相关系数r= ， 回归方程= + t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：= ，= ﹣ ． 【考点】BK：线性回归方程． 【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计． 【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代 入相关系数方程，可得答案； （2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为 9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如 下： ∵r= = ≈ ≈ ≈0.993， ∵0.993＞0.75， 故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）= = ≈ ≈0.103， = ﹣ ≈1.331﹣0.103×4≈0.92， ∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92， 2016年对应的t值为9， 故=0.10×9+0.92=1.82， 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨． 【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算 时要细心． 19 ．（12 分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AD∥BC ， AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点． （1）证明：MN∥平面PAB； （2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的 角． 【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与 距离；5G：空间角． 【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得 NG∥BC，且NG= ，再由已知得AM∥BC，且AM= BC，得到NG∥AM，且 NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定 得到MN∥平面PAB； 法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作 NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解 直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论 得证； （2）连接CM，证得CM⊥AD