2017年高考数学试卷（理）（新课标Ⅱ）（解析卷）

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分） =（ ） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 【考点】A5：复数的运算． 【专题】11：计算题． 【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性 质，求出结果． 【解答】解： = = =2﹣i， 故选：D． 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个 复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数． 2 ．（5 分）设集合A={1 ，2 ，4}，B={x|x2﹣4x+m=0} ．若A∩B={1} ，则B= （ ） A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】34：方程思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方 程可得集合B． 【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}． 若A∩B={1}，则1∈A且1∈B， 可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}． 故选：C． 【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解 法，运用定义法是解题的关键，属于基础题． 3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔 共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶 层共有灯（ ） A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【考点】89：等比数列的前n项和． 【专题】34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，利用等比数列前 n项和公式列出方程，能求出结果． 【解答】解：设塔顶的a1盏灯， 由题意{an}是公比为2的等比数列， ∴S7= =381， 解得a1=3． 故选：B． 【点评】本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注 意等比数列的性质的合理运用． 4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的 三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积 为（ ） A．90π B．63π C．42π D．36π 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何． 【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一 半，即可求出几何体的体积． 【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱 的一半， V=π•32×10﹣•π•32×6=63π， 故选：B． 【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题． 5．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最小值是（ ） A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小 值即可． 【解答】解：x、y满足约束条件 的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值， 由 解得A（﹣6，﹣3）， 则z=2x+y 的最小值是：﹣15． 故选：A． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以 及计算能力． 6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完 成，则不同的安排方式共有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题． 【专题】11：计算题；49：综合法；5O：排列组合． 【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可． 【解答】解：4项工作分成3组，可得： =6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得： 6× =36种． 故选：D． 【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别， 考查计算能力． 7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师 说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看 丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根 据以上信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【专题】2A：探究型；35：转化思想；48：分析法；5M：推理和证明． 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出 正确答案 【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 →乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会 知道自己的成绩） →乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 →丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩， 给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是 优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了． 给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就 知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良， 则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道 自已的成绩了 故选：D．【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己 看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题． 8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】EF：程序框图． 【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K值，当K=7时，程序终 止即可得到结论． 【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环， 第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2； 满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3； 满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4；满足条件，第四次满足循环， S=2，a=﹣1，K=5； 满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6； 满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7； K≤6不成立，退出循环输出S的值为3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础． 9．（5分）若双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2） 2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【考点】KC：双曲线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲 线的离心率即可． 【解答】解：双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为： bx+ay=0， 圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的 弦长为2， 可得圆心到直线的距离为： = ， 解得： ，可得e2=4，即e=2． 故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考 查计算能力． 10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则 异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角． 【专题】31：数形结合；4O：定义法；5G：空间角． 【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1 夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ， MP和∠MNP的余弦值即可． 【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁． 【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中 点， 则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角 （因异面直线所成角为（0， ]）， 可知MN= AB1= ， NP= BC1= ； 作BC中点Q，则△PQM为直角三角形； ∵PQ=1，MQ= AC， △ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC =4+1﹣2×2×1×（﹣） =7， ∴AC= ， ∴MQ= ； 在△MQP中，MP= = ；在△PMN中，由余弦定理得 cos∠MNP= = =﹣ ； 又异面直线所成角的范围是（0， ]， ∴AB1与BC1所成角的余弦值为 ． 【解法二】如图所示， 补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可； BC1= ，BD= = ， C1D= ， ∴ +BD2= ， ∴∠DBC1=90°， ∴cos∠BC1D= = ． 故选：C． 【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角 的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题． 11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值 为（ ） A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求 解函数的极小值即可． 【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1， 可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1， x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点， 可得：f′（﹣2）=（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3=0，即﹣4+a+（3﹣2a）=0． 解得a=﹣1． 可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1， =（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1， 当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函 数， x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法， 考查计算能力． 12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 •（ + ）的最小值是（ ） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算． 【专题】31：数形结合；4R：转化法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的 公式进行计算即可． 【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点， 则A（0， ），B（﹣1，0），C（1，0）， 设P（x，y），则 =（﹣x， ﹣y）， =（﹣1﹣x，﹣y）， =（1﹣x，﹣y）， 则 •（ + ）=2x2﹣2 y+2y2=2[x2+（y﹣ ）2﹣] ∴当x=0，y= 时，取得最小值2×（﹣）=﹣， 故选：B． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根 据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放 回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX= 1.96 ． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差． 【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计． 【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可． 【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型， 其中，p=0.02，n=100， 则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96． 故答案为：1.96． 【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二 项分布是解题的关键． 14．（5分）函数f（x）=sin2x+ cosx﹣（x∈[0， ]）的最大值是 1 ． 【考点】HW：三角函数的最值． 【专题】11：计算题；33：函数思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用； 57：三角函数的图像与性质． 【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出． 【解答】解：f（x）=sin2x+ cosx﹣=1﹣cos2x+ cosx﹣， 令cosx=t且t∈[0，1]， 则y=﹣t2+ t+ =﹣（t﹣ ）2+1， 当t= 时，f（t）max=1， 即f（x）的最大值为1， 故答案为：1 【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题 15．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 = ． 【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数 列． 【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求 解即可．【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2 （a2+a3）=10， 可得a2=2，数列的首项为1，公差为1， Sn= ， = ， 则 =2[1﹣ + +…+ ]=2（1﹣ ）= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力． 16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴 于点N．若M为FN的中点，则|FN|= 6 ． 【考点】K8：抛物线的性质． 【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可． 【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y 轴于点N．若M为FN的中点， 可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为： ， |FN|=2|FM|=2 =6． 故答案为：6． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要 求作答．（一）必考题：共60分。 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C） =8sin2 ． （1）求cosB； （2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b． 【考点】GS：二倍角的三角函数；HP：正弦定理． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin （A+C），利用降幂公式化简8sin2 ，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB， （2）由（1）可知sinB= ，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出 b． 【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2 ， ∴sinB=4（1﹣cosB）， ∵sin2B+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0， ∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0， ∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0， ∴cosB= ； （2）由（1）可知sinB= ， ∵S△ABC= ac•sinB=2， ∴ac= ， ∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× × =a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4， ∴b=2． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和 同角的三角函数的关系，属于中档题 18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收 获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频 率 分 布 直 方 图 如 图 ： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低 于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值 （精确到0.01）． 附： P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2= ． 【考点】B8：频率分布直方图；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征； BL：独立性检验． 【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的 频率，即可求得其概率； （2）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认 为箱产量与养殖方法有关： （3）根据频率分布直方图即可求得其中位数．【解答】解：（1）记B表示事 件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50kg”， 由P（A）=P（BC）=P（B）P（C）， 则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62， 故P（B）的估计值0.62， 新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66， 故P（C）的估计值为， 则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092； ∴A发生的概率为0.4092； （2）2×2列联表： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 则K2= ≈15.705， 由15.705＞6.635， ∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面 积： （0.004+0.020+0.044）×5=0.34