2016年高考数学试卷（理）（新课标Ⅱ）（解析卷）

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m的取值范围是（ ） A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3） 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可． 【解答】解：z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限， 可得： ，解得﹣3＜m＜1． 故选：A． 【点评】本题考查复数的几何意义，考查计算能力． 2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等 于（ ） A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3} 【考点】1D：并集及其运算． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值． 【解答】解：∵集合A={1，2，3}， B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}． 故选：C． 【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义 的合理运用． 3．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+ ）⊥ ，则m=（ ） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 【考点】9H：平面向量的基本定理． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5A：平面向量及应用． 【分析】求出向量+ 的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程， 解得答案． 【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2）， ∴+ =（4，m﹣2）， 又∵（+ ）⊥， ∴12﹣2（m﹣2）=0， 解得：m=8， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题． 4．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a= （ ） A．﹣ B．﹣ C． D．2 【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】求出圆心坐 标，代入点到直线距离方程，解得答案． 【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d= =1， 解得：a= ， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中 档． 5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条 数为（ ） A．24 B．18 C．12 D．9 【考点】D2：分步乘法计数原理；D9：排列、组合及简单计数问题． 【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5O：排列组合． 【分析】从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同， 另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走 北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有C31=3种 走法，利用乘法原理可得结论． 【解答】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分 成2段， 从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方 向相同， 每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有 C42C22=6种走法． 同理从F到G，最短的走法，有C31C22=3种走法． ∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法． 故选：B． 【点评】本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解 决问题的关键，属基础题 6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表 面积为（ ） A．20π B．24π C．28π D．32π 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距 离． 【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4， 圆锥的高是2 ，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面 积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面 积，注意不包括重合的平面． 【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体， 上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2 ， ∴在轴截面中圆锥的母线长是 =4， ∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π， 下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面 积是π×22+2π×2×4=20π ∴空间组合体的表面积是28π， 故选：C． 【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能 是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端． 7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移 个单位长度，则平移后的图象 的对称轴为（ ） A．x= ﹣ （k∈Z） B．x= + （k∈Z） C．x= ﹣ （k∈Z） D．x= + （k∈Z） 【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变 换． 【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的 对称性可得答案． 【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移 个单位长度，得到y=2sin2（x+ ）=2sin（2x+ ）， 由2x+ =kπ+ （k∈Z）得：x= + （k∈Z）， 即平移后的图象的对称轴方程为x= + （k∈Z）， 故选：B． 【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应 用及正弦函数的对称性质，属于中档题． 8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序 框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输 出的s=（ ） A．7 B．12 C．17 D．34 【考点】EF：程序框图． 【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出 变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：∵输入的x=2，n=2， 当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件； 当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件； 当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件； 故输出的S值为17， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时， 可采用模拟程序法进行解答． 9．（5分）若cos（ ﹣α）= ，则sin2α=（ ） A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值． 【专题】36：整体思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（ ﹣2α），再利用二倍角的余弦可 得答案． 法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得 sin2α的值 【解答】解：法1°：∵cos（ ﹣α）= ， ∴sin2α=cos（ ﹣2α）=cos2（ ﹣α）=2cos2（ ﹣α）﹣1=2× ﹣1=﹣ ， 法2°：∵cos（ ﹣α）= （sinα+cosα）= ， ∴（1+sin2α）= ， ∴sin2α=2× ﹣1=﹣ ， 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二 倍角的余弦是关键，属于中档题． 10．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn构成n 个数对（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数 对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ） A． B． C． D． 【考点】CF：几何概型． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值． 【解答】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•12，从区 间[0，1】随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对 （x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），对应的区域的面积为12． ∴= ∴π= ． 故选：C． 【点评】古典概型和几何概型是我们学习的 两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列 举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得 到． 11．（5分）已知F1，F2是双曲线E： ﹣ =1的左，右焦点，点M在E上，MF1与 x轴垂直，sin∠MF2F1= ，则E的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方 程． 【分析】由条件MF1⊥MF2，sin∠MF2F1= ，列出关系式，从而可求离心率． 【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点， 则丨MF1丨= ，丨MF2丨= ， ∴sin∠MF2F1= ，∴ = ， 可得：2b4=a2c2，即 b2=ac，又c2=a2+b2， 可得 e2﹣e﹣ =0， e＞1，解得e= ． 故选：A． 【点评】 本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查 数形结合思想，属于中档题． 12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y= 与y=f （x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则 （xi+yi）=（ ） A．0 B．m C．2m D．4m 【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】33：函数思想；48：分析法；51： 函数的性质及应用． 【分析】由条件可得f（x）+f（﹣x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函 数y= ，即y=1+ 的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即 有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，计算即可得到所求和． 【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x）， 即为f（x）+f（﹣x）=2， 可得f（x）关于点（0，1）对称， 函数y= ，即y=1+ 的图象关于点（0，1）对称， 即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点， （x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点， … 则有 （xi+yi）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym） = [（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ ym）] =m． 故选：B． 【点评】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化 简整理的运算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= ，cosC= ，a=1，则b= ． 【考点】HU：解三角形． 【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形． 【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公 式，可得sinB，运用正弦定理可得b= ，代入计算即可得到所求值． 【解答】解：由cosA= ，cosC= ，可得 sinA= = = ， sinC= = = ， sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ， 由正弦定理可得b= = = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式， 以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题． 14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β． ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n． ③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β． ④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等． 其中正确的命题是 ②③④ （填序号） 【考点】2K：命题的真假判断与应用；LO：空间中直线与直线之间的位置关 系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】2A：探究型；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各 个结论的真假，可得答案． 【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α， 则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果 α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确 ④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正 确； 故答案为：②③④ 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置 关系，难度中档． 15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取 走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”， 乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡 片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 1和3 ． 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【专题】2A：探究型；49：综合法；5L：简易逻辑． 【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两 种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断 出甲卡片上的数字是多少． 【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3； （1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； ∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3； （2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； ∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； ∴甲的卡片上的数字是1和3． 故答案为：1和3． 【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这 类题注意找出解题的突破口． 16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切 线，则b= 1﹣ln2 ． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数 值，综合联立求解即可 【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、 （x2，kx2+b）； 由导数的几何意义可得k= = ，得x1=x2+1 再由切点也在各自的曲线上，可得 联立上述式子解得 ； 从而kx1+b=lnx1+2得出b=1﹣ln2． 【点评】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力 有一定要求，中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中 [x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1． （Ⅰ）求b1，b11，b101； （Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和． 【考点】83：等差数列的性质；8E：数列的求和． 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数 列． 【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解 b1，b11，b101；（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{bn}的前1000项和． 【解答】解：（Ⅰ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28． 可得a4=4，则公差d=1． an=n， bn=[lgn]，则b1=[lg1]=0， b11=[lg11]=1， b101=[lg101]=2． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1． b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3． 数列{bn}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893． 【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以 及计算能力． 18．（12分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人 成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 （Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的 概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保 费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事 件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率． （Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保 人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意求出P（A），P（AB），由此 利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基 本保费高出60%的概率． （Ⅲ）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【解答】解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：元）， 上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费， ∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得： 一续保人本年度的保费高于基本保费的概率： p1=1﹣0.30﹣0.15=0.55． （Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于