2024年高考数学试卷（新课标Ⅱ卷）（解析卷）

1/24 2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷） 数学 本试卷共10 页，19 小题，满分150 分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考 证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 1/24 【详解】若 ，则 . 故选：C. 2. 已知命题p： ， ；命题q： ， ，则（ ） A. p 和q 都是真命题 B. 和q 都是真命题 C. p 和 都是真命题 D. 和 都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取 、 ，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于 而言，取 ，则有 ，故 是假命题， 是真命题， 对于 而言，取 ，则有 ，故 是真命题， 是假命题，综上， 和 都是真命题. 2/24 故选：B. 3. 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由 得 ，结合 ，得 ，由此即 可得解. 【详解】因为 ，所以 ，即 ， 又因为 ， 所以 ， 从而 . 故选：B. 4. 某农业研究部门在面积相等的100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并 部分整理下表 亩产量 [900， 950） [950， 1000） [1000， 1050） [1100， 1150） [1150， 1200） 频数 6 12 18 24 10 据表中数据，结论中正确的是（ ） A. 100 块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100 块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80% C. 100 块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间 D. 100 块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间 【答案】C 【解析】 2/24 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg 的 频数，再计算比例即可判断B；根据极 差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 3/24 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于 的频数为 ， 所以低于 的 稻田占比为 ，故B 错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为 ，最小为 ，故C 正确； 对于D，由频数分布表可得，亩产量在 的频数为 ， 所以平均值为 ，故D 错 误. 故选；C. 5. 已知曲线C： （ ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段 ， 为垂足，则线段 的中点M 的轨迹方程为（ ） A. （ ） B. （ ） C. （ ） D. （ ） 【答案】A 【解析】 【分析】设点 ，由题意，根据中点的坐标表示可得 ，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点 ，则 ， 因为 为 的中点，所以 ，即 ， 又 在圆 上， 3/24 所以 ，即 ， 即点 的轨迹方程为 . 故选：A 6. 设函数 ， ，当 时，曲线 与 恰有一个 交点，则 （ ）A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 4/24 【解析】 【分析】解法一：令 ，分析可知曲线 与 恰有一个交点， 结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得 ，并代入检验即可；解法二：令 ，可知 为偶函数，根据偶函数的对称性可知 的零点只能为 0，即可得 ，并代入检验即可. 【详解】解法一：令 ，即 ，可得 ， 令 ， 原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点， 注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上， 可得 ，即 ，解得 ， 若 ，令 ，可得 因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立， 可得 ，当且仅当 时，等号成立， 则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点， 所以 符合题意； 综上所述： . 解法二：令 ， 原题意等价于 有且仅有一个零点， 因为 ， 则 为偶函数， 4/24 根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0， 即 ，解得 ，若 ，则 ， 又因为 当且仅当 时，等号成立， 可得 ，当且仅当 时，等号成立， 5/24 即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意； 故选：D. 7. 已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面ABC 所成角的正切值为 （ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：根据台体的 体积公式可得三棱台的高 ，做辅助线，结合正三棱台的结构特 征求得 ，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台 补成正三棱 锥 ， 与平面ABC 所成角即为 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得 ，进而 可求正三棱锥 的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取 的中点 ，则 ， 可知 ， 设正三棱台 的为 ， 则 ，解得 ， 如图，分别过 作底面垂线，垂足为 ，设 ， 5/24 则 ， ， 可得 ， 结合等腰梯形 可得 , 6/24 即 ，解得 ， 所以 与平面ABC 所成角的正切值为 ； 解法二：将正三棱台 补成正三棱锥 ， 则 与平面ABC 所成角即为 与平面ABC 所成角， 因为 ，则 ， 可知 ，则 ， 设正三棱锥 的高为 ，则 ，解得 ， 取底面ABC 的中心为 ，则 底面ABC，且 ， 所以 与平面ABC 所成角的正切值 . 故选：B. 8. 设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C【解析】 【分析】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，分类讨论 与 的大小关系，结合符 6/24 号分析判断，即可得 ，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析 的符号，进而 可得 的符号，即可得 ，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知： 的定义域为 ， 令 解得 ；令 解得 ； 若 ，当 时，可知 ， 7/24 此时 ，不合题意； 若 ，当 时，可知 ， 此时 ，不合题意； 若 ，当 时，可知 ，此时 ； 当 时，可知 ，此时 ； 可知若 ，符合题意； 若 ，当 时，可知 ， 此时 ，不合题意； 综上所述： ，即 ， 则 ，当且仅当 时，等号成立， 所以 的最小值为 ； 解法二：由题意可知： 的定义域为 ， 令 解得 ；令 解得 ； 则当 时， ，故 ，所以 ； 时， ，故 ，所以 ； 故 ， 则 ，当且仅当 时，等号成立， 所以 的最小值为 . 故选：C. 7/24 【点睛】关键点点睛：分别求 、 的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨 论，结合符号性分析判断. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0 分. 8/24 9. 对于函数 和 ，下列正确的有（ ） A. 与 有相同零点 B. 与 有相同最大值 C. 与 有相同的最小正周期 D. 与 的图像有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A 选项，令 ，解得 ，即为 零点， 令 ，解得 ，即为 零点， 显然 零点不同，A 选项错误； B 选项，显然 ，B 选项正确； C 选项，根据周期公式， 的周期均为 ，C 选项正确； D 选项，根据正弦函数的性质 的对称轴满足 ， 的对称轴满足 ， 显然 图像的对称轴不同，D 选项错误. 故选：BC 10. 抛物线C： 的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作 的一条切线，Q 为切点， 过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ） A. l 与 相切B. 当P，A，B 三点共线时， 8/24 C. 当 时， D. 满足 的点 有且仅有2 个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A 选项，抛物线准线为 ，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项， 三点共线时，先 求出 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据 先算出 的坐标，然后验证 是否成立 D 选项，根据抛物线的定义， ，于是问题转化成 的 点的存在性问题，此时考察 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设 点坐标进行求解. 9/24 【详解】A 选项，抛物线 的准线为 ， 的圆心 到直线 的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和 相切，A 选项正确； B 选项， 三点共线时，即 ，则 的纵坐标 ， 由 ，得到 ，故 ， 此时切线长 ，B 选项正确； C 选项，当 时， ，此时 ，故 或 ， 当 时， ， ， ， 不满足 ； 当 时， ， ， ， 不满足 ； 于是 不成立，C 选项错误； D 选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义， ，这里 ， 于是 时 点的存在性问题转化成 时 点的存在性问题， ， 中 点 ， 中垂线的斜率为 ， 于是 的中垂线方程为： ，与抛物线 联立可得 ， 9/24 ，即 的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个 点，使得 ，D 选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设 ，由 可得 ，又 ，又 ， 根据两点间的距离公式， ，整理得 ， 10/24 ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的 点，D 选项正确. 故选：ABD 11. 设函数 ，则（ ） A. 当 时， 有三个零点 B. 当 时， 是 的极大值点 C. 存在a，b，使得 为曲线 的对称轴 D. 存在a，使得点 为曲线 的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在 上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存 在这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存 在这样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可 利用拐点结论直接求解. 【详解】A 选项， ，由于 ， 故 时 ，故 在 上单调递增， 10/24 时， ， 单调递减， 则 在 处取到极大值，在 处取到极小值， 由 ， ，则 ， 根据零点存在定理 在 上有一个零点， 又 ， ，则 ， 11/24 则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A 选项正确； B 选项， ， 时， ， 单调递减， 时 ， 单调递增， 此时 在 处取到极小值，B 选项错误； C 选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴， 即存在这样的 使得 ， 即 ， 根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ， 于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C 选项错误； D 选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心， 则 ，事实上， ，于 是 即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D 选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， 11/24 ， ， ， 由 ，于是该三次函数的对称中心为 ， 由题意 也是对称中心，故 ， 即存在 使得 是 的对称中心，D 选项正确. 12/24 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称 ；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三 次函数的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 记 为等差数列 的前n 项和，若 ， ，则 ________. 【答案】95 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出 ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案. 【详解】因为数列 为等差数列，则由题意得 ，解得 ， 则 . 故答案为： . 13. 已知 为第一象限角， 为第三象限角， ， ，则 _ ______.【答案】 【解析】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得 ，再缩小 的范围，最后结合同角 的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得 ， 12/24 因为 ， ， 则 ， ， 又因为 ， 则 ， ，则 ， 13/24 则 ，联立 ，解得 . 法二： 因为 为第一象限角， 为第三象限角，则 , ， ， 则 故 答案为： . 14. 在如图的4×4 方格表中选4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法， 在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4 个数之和的最大值是________ ． 【答案】 ①. 24 . 112 ② 【解析】 【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1 个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果， 即可求解. 【详解】由题意知，选4 个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4 个方格可选，第二列有3 个方格可选， 第三列有2 个方格可选，第四列有1 个方格可选， 所以共有 种选法； 13/24 每种选法可标记为 ， 分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， 14/24 ， ， 所以选中的方格中， 的4 个数之和最大，为 . 故答案为：24；112 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1 个方格可选，利用列 举法写出所有的可能结果. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求A． （2）若 ， ，求 的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同 角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出 ，然后根据正弦定理算出 即可得出周长. 【小问1 详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由 可得 ，即 ， 由于 ，故 ，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 14/24 由 ，又 ，消去 得到： ，解得 ， 又 ，故 方法三：利用极值点求解 设 ，则 ， 15/24 显然 时， ，注意到 ， ，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点， 即 ，即 ， 又 ，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设 ，由题意， ， 根据向量的数量积公式， ， 则 ，此时 ，即 同向共线，根据向量共线条件， ， 又 ，故 方法五：利用万能公式求解 设 ，根据万能公式， ， 整理可得， ， 解得 ，根据二倍角公式， ， 又 ，故 【 小问2 详解】 15/24 由题设条件和正弦定理 ， 又 ，则 ，进而 ，得到 ， 于是 ， ， 16/24 由正弦定理可得， ，即 ， 解得 ， 故 的周长为 16. 已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2 ）解法一：求导，分析 和 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得 ，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知 有零点，可得 ，进而 利用导数求 的单调性和极值，分析可得 ，构建函数解不等式即可. 【小问1 详解】 当 时，则 ， ， 可得 ， ， 即切点坐标为 ，切线斜率 ， 所以切线方程为 ，即 . 【小问2 详解】 解法一：因为 的定义域为 ，且 ， 16/24 若 ，则 对任意 恒成立， 可知 在 上单调递增，无极值，不合题意； 若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ； 可知 在 内单调递减，在 内单调递增， 则 有极小值 ，无极大值， 17/24 由题意可得： ，即 ， 构建 ，则 ， 可知 在 内单调递增，且 ， 不等式 等价于 ，解得 ， 所以a 的取值范围为 ； 解法二：因为 的定义域为 ，且 ， 若 有极小值，则 有零点，令 ，可得 ， 可知 与 有交点，则 ， 若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ； 可知 在 内单调递减，在 内单调递增， 则 有极小值 ，无极大值，符合题意， 由题意可得： ，即 ， 构建 ， 因为则 在 内单调递增， 可知 在 内单调递增，且 ， 不等式 等价于 ，解得 ， 所以a 的取值范围为 . 17. 如图，平面四边形ABCD 中， ， ， ， ， ，点 17/24 E，F 满足 ， ，将 沿EF 对折至 ，使得 ． （1）证明： ； （2）求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值． 18/24 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得 ，利用勾股定理的逆定理可证得 ，则 ，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明 ，建立如图空间直角坐标系 ，利 用空间向量法求解面面角即可. 【小问1 详解】 由 ， 得 ，又 ，在 中， 由余弦定理得 , 所以 ，则 ，即 ， 所以 ，又 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 故 ； 【小问2 详解】 连接 ，由 ，则 ， 在 中， ，得 ， 所以 ，由（1）知 ，又 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 18/24 所以 ，则 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ， 则 ， 由 是 的中点，得 ， 所以 ， 设平面 和平面 的一个法向量分别为 ， 19/24 则 ， ， 令 ，得 ， 所以 ， 所以 ，设平面 和平面 所成角为 ，则 ， 即平面 和平面 所成角的正弦值为 . 18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体 规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0 分； 若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3 次，每次投中得5 分，未投中得0