模型16 胡不归最值问题（原卷版）(1)

α C A B P A B P α P C A B D 【模型总结】 在求形如“PB+kP”的式子的最值问题中，关键是构造与kP 相等的线段，将“PB+kP”型问 题转化为“PB+P”型． 而这里的P 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kP 的等线段． 【问题】 如图，点P 为射线l 上的一动点，、B 为定点，求PB+kP 的最小值 【问题解决】 构造射线D 使得sα=k，P/P=k，P=kP． l 将问题转化为求PB+P 最小值，过B 点作B⊥D 交l 于点P，交D 于点，此时PB+P 取到最 小值，即PB+kP 最小． 【例1】．如图，△B 中，B＝＝10，t＝2，BE⊥于点E，D 是线段BE 上的一个动点，则 D+ BD 的最小值是 ． 模型介绍 例题精讲 D 变式训练 【变式1-1】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠＝30°，则B＝2B．请在这一结论的基础上 继续思考：若＝2，点D 是B 的中点，P 为边D 上一动点，则P+ P 的最小值为（ ） ．1 B． ． D．2 【变式1-2】．如图，在△B 中，B＝5，＝4，s＝ ，BD⊥交于点D．点P 为线段BD 上的 动点，则P+ PB 的最小值为 ． 【变式1-3】．如图，△B 在直角坐标系中，B＝，（0，2 ），（1，0），D 为射线上一 点，一动点P 从出发，运动路径为→D→，点P 在D 上的运动速度是在D 上的3 倍，要 使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为________ 【例2】．如图，▱BD 中∠＝60°，B＝6，D＝2，P 为边D 上一点，则 PD+2PB 最小值 为 ． 变式训练 【变式2-1】．如图，在菱形BD 中，B＝＝10，对角线、BD 相交于点，点M 在线段上， 且M＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP+ PB 的最小值是 ． 【变式2-2】．如图，是⊙直径，＝4，∠B＝30°，点D 是弦B 上的一个动点，那么 DB+D 的最小值为 ． 【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ 的顶点为点，且与 x 轴的正半轴交于点B，P 点是该抛物线对称轴上的一点，则P+ P 的最小值为（ ） ．3 B．2 ． D． 1．如图，在△B 中，∠＝90°，∠B＝60°，B＝2，若D 是B 边上的动点，则2D+D 的最小值 实战演练 是（ ） ．2 +6 B．6 ． +3 D．4 2．如图，在△B 中，∠＝15°，B＝2，P 为边上的一个动点（不与、重合），连接BP，则 P+PB 的最小值是（ ） ． B． ． D．2 3．在△B 中，∠B＝90°，P 为上一动点，若B＝4，＝6，则 BP+P 的最小值为（ ） ．5 B．10 ．5 D．10 4．如图所示，菱形B 的边长为5，对角线B 的长为4 ，P 为B 上一动点，则P+ P 的 最小值为（ ） ．4 B．5 ．2 D．3 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+3 的图象与x 轴交于、（3，0）两点， 若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为（0，﹣1），连接PD，则 PD+P 的最小值是（ ） ．4 B．2+2 ．2 D． + 6．如图，在△B 中，∠＝90°，∠B＝60°，B＝2，若D 是B 边上的动点，则2D+D 的最小值 为 ． 7．如图，在△B 中，B＝＝4，∠B＝30°，D⊥B，垂足为D，P 为线段D 上的一动点，连接 PB、P．则P+2PB 的最小值为 ． 8．如图，△B 中，∠B＝30°且B＝，P 是底边上的高上一点．若P+BP+P 的最小值为2 ， 则B＝ ． 9．等边三角形B 的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中B 边在x 轴 上，B 边的高在Y 轴上．一只电子虫从出发，先沿y 轴到达G 点，再沿G 到达点，已知 电子虫在Y 轴上运动的速度是在G 上运动速度的2 倍，若电子虫走完全程的时间最短， 则点G 的坐标为 ． 10．如图，在边长为6 的正方形BD 中，M 为B 上一点，且BM＝2，为边B 上一动点，连 接M，点B 关于M 对称，对应点为P，连接P，P，则P+2P 的最小值为 ． 11．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2 2 ﹣x+3 与x 轴交于点（﹣3，0）、B（1，0）， 点M（﹣1，4）为抛物线的顶点，M 中点D 坐标为（﹣2，2）；如图，Q 点为y 轴上一 动点，直接写出DQ+ Q 的最小值为 ． 12．在菱形BD 中，∠DB＝30°． （1）如图1，过点B 作BE⊥D 于点E，连接E，点F 是线段E 的中点，连接BF，若ED ＝2−❑ √3，求线段BF 的长度； （2）如图2，过点B 作BE⊥D 于点E，连接E，过点D 作DM⊥D，连接M，且∠ME＝ 15°，连接ME，请探索线段BE，DM，EM 之间的数量关系，并证明； （3）如图3，连接，点Q 是对角线上的一个动点，若B＝2❑ √6，求QB+Q+QD 的最小值． 13．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1 向下平移3 个单位长度得到直线l1，直线l1与 x 轴交于点；直线l2：y＝x+2 与x 轴、y 轴交于、B 两点，且与直线l1交于点D． （1）填空：点的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）直线l1的表达式为 ； （3）在直线l1上是否存在点E，使S△E＝2S△B？若存在，则求出点E 的坐标；若不存在， 请说明理由． （4）如图2，点P 为线段D 上一点（不含端点），连接P，一动点从出发，沿线段P 以 每秒1 个单位的速度运动到点P，再沿线段PD 以每秒 个单位的速度运动到点D 后停 止，求点在整个运动过程中所用时间最少时点P 的坐标． 14．直线y＝ 与抛物线y＝（x 3 ﹣）2 4 ﹣m+3 交于，B 两点（其中点在点B 的左侧），与 抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为D（点D 在点的下方），设点B 的横坐标为t （1）求点的坐标及线段D 的长（用含m 的式子表示）； （2）直接用含t 的式子表示m 与t 之间的关系式（不需写出t 的取值范围）； （3）若D＝B． ①求点B 的坐标； ②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+ F 的值最小，则满足条件的点F 的坐标是 ． 15．已知抛物线y＝x2﹣bx+（b，为常数，b＞0）经过点（﹣1，0），点M（m，0）是x 轴 正半轴上的动点． （Ⅰ）当b＝2 时，求抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）点D（b，y0）在抛物线上，当M＝D，m＝5 时，求b 的值； （Ⅲ）点Q（b+ ，yQ）在抛物线上，当 M+2QM 的最小值为 时，求b 的值． 16．已知抛物线y＝（x+3）（x 1 ﹣）（≠0），与x 轴从左至右依次相交于、B 两点，与y 轴相交于点，经过点的直线y＝﹣ x+b 与抛物线的另一个交点为D． （1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式； （2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△P 是以为直角边的直角三角形，求 点P 的坐标； （3）在（1）的条件下，设点E 是线段D 上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1 个单位的速度运动到点E，再沿线段ED 以每秒 个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中 所用时间最少？