专题03 全等三角形的六种模型全梳理（原卷版）

专题03 全等三角形的六种模型全梳理 几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明 三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。 类型一、倍长中线模型 目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形 中。 例1．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求 边上的中线 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长 到点E，使 ， 连接 ．请根据小明的方法思考： （1）如图2，由已知和作图能得到 的理由是 ． ．SSS B．SS ．S D．S （2）如图2， 长的取值范围是 ． ． B． ． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把 分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图3， 是 的中线， 交 于点E，交 于F，且 ．求证： ． 例2．（培优）已知 和 都是等腰直角三角形， ，连接 ，点F 为 中点． (1)如图1，求证： ； (2)将 绕点旋转到如图2 所示的位置，连接 ，过点作 于M 点． ①探究 和 的关系，并说明理由； ②连接 ，求证：F，，M 三点共线． 【变式训练1】如图， 中， ，E 是 的中点，求证： ． 【变式训练2】（1）如图1，已知 中，D 是中线，求证： ； （2）如图2，在 中，D，E 是B 的三等分点，求证： ； （3）如图3，在 中，D，E 在边B 上，且 ．求证： ． 【变式训练3】（1）阅读理解： 如图①，在 中，若 ，求 边上的中线 的取值范围．可以用如下 方法：将 绕着点D 逆时针旋转 得到 ，在 中，利用三角形三边的 关系即可判断中线 的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在 中，D 是 边上的中点， 于点D， 交 于点E，DF 交 于点F，连接 ，求证： ； （3）问题拓展： 如图③，在四边形 中， ， ， ，以为顶点作一个 的角，角的两边分别交 于E、F 两点，连接EF，探索线段 之间 的数量关系，并说明理由． 类型二、截长补短模型 截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2 次全等） 例1．如图，在五边形 中， ， 平分 ， ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数． 例2．（培优）在 中，BE，D 为 的角平分线，BE，D 交于点F． （1）求证： ； （2）已知 ． ①如图1，若 ， ，求E 的长； ②如图2，若 ，求 的大小． 【变式训练1】如图， 为等边三角形，若 ，则 （用含 的式子表示）． 【变式训练2】如图，在四边形 中， ，点E、F 分别在 直线 、 上，且 ． (1)当点E、F 分别在边 、 上时（如图1），请说明 的理由． (2)当点E、F 分别在边 、 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若 成立，请说明理由；若不成立，请写出 、 、 之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练3】阅读下面材料： 【原题呈现】如图1，在 B 中，∠＝2∠B，D 平分∠B，D＝22，＝36，求B 的长． 【思考引导】因为D 平分∠B，所以可在B 边上取点E，使E＝，连接DE．这样很容易得 到 DE≌ D，经过推理能使问题得到解决（如图2）． 【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题； （2）拓展提升：如图3，已知 B 中，B＝，∠＝20°，BD 平分∠B，BD＝23，B＝2．求D 的长． 类型三、一线三等角模型 C D E B A 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。 例1．如图1， ，垂足分别为D，E． (1)若 ，求 的长． (2)在其它条件不变的前提下，将 所在直线变换到 的外部（如图2），请你猜想 三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将（1）中的条件改为：在 中， ，D，，E 三点在同一条直线上， 并且有 ，其中α 为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成 立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 例2．在正方形 中，点 在射线 上（不与点 ， 重合），连接 ， ，过 点 作 ，并截取 （点 ， 在 同侧），连接 ． （1）如图1，点 在 边上． ①依题意补全图1； ②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明； （2）如图2，点 在 边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段 ， ， 之 间的数量关系． 【变式训练1】通过对数学模型“K 字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下 列问题： [模型呈现]如图1， ， ，过点B 作 于点，过点D 作 于点E．求证： ． [模型应用]如图2， 且 ， 且 ，请按照图中所标注的数据， 计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3， ， ， ，连接 ， ，且 于点F， 与直线 交于点G．若 ， ，则 的面积为___ __________． 【变式训练2】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． 如图1，已知：在 中， ， ，直线l 经过点， 直线l， 直线l，垂足分别为点D，E．求证： ． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条 件改为：在 中， ，D，，E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论 是否成立？ 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过 的边B，向外作正方形BDE 和正方形FG，是B 边上的高．延长交EG 于点．若 ，则 ______． 类型四、手拉手模型 例1．【问题发现】（1）如图1， 和 均为等边三角形，点B，D，E 在同一直 线上，连接 ，容易发现：① 的度数为 ；②线段 、 之间的数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点B，D，E 在 同一直线上，连接 ，试判断 的度数以及线段 、 、 之间的数量关系， 并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3， ， ， ， ，则 的值为 ． 例2．（培优）如图1，在 中， ， ，点D、E 分别在边B， 上， ，连接D，点M，P，分别为DE，D，B 的中点． (1)观察猜想： 图中，线段PM 与P 的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明： 把 绕点逆时针方向旋转到图2 的位置，连接 ， ， ，判断 的形状， 并说明理由； (3)拓展延伸： 把 绕点在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出 面积的最大值． 【变式训练1】如图，在 中， ， ，点是 中点， ， 将 绕点旋转， 的两边分别与射线 、 交于点D、E． (1)当 转动至如图一所示的位置时，连接 ，求证： ； (2)当 转动至如图二所示的位置时，线段 、 、 之间有怎样的数量关系？请 说明理由． 【变式训练2】已知在 中， ，过点B 引一条射线 ，D 是 上一点 【问题解决】 (1)如图1，若 ，射线 在 内部， ，求证： ， 小明同学展示的做法是：在 上取一点E 使得 ，通过已知的条件，从而求得 的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 (2)如图2，已知 ． ①当射线 在 内，求 的度数 ②当射线 在 下方，如图3 所示，请问 的度数会变化吗?若不变，请说明理由， 若改变，请求出 的度数； 类型五、半角模型 例1．已知：边长为4 的正方形BD，∠EF 的两边分别与射线B、D 相交于点E、F，且∠EF ＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形BD 中，B＝D，∠BD＝∠B＝∠D＝90°， ∴把△BE 绕点逆时针旋转90°至△DE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'F＝ 度，…… 根据定理，可证：△EF≌△E'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E 在线段B 的延长线上，探究EF、BE、DF 之间存在的数量关系，并写出 证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△B 中，B＝，D、E 在B 上，∠B＝2∠DE．若S△B＝14，S△DE＝6，求线段 BD、DE、E 围成的三角形的面积． 例2．（培优）如图， ， ， ， ， ． （1）求 的度数； （2）以E 为圆心，以 长为半径作弧；以F 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 G，试探索 的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由． 【变式训练1】已知四边形BD 中，B⊥D，B⊥D，B＝B，∠B＝120°，∠MB＝60°，∠MB 绕 B 点旋转，它的两边分别交D，D（或它们的延长线）于E、F． （1）当∠MB 绕B 点旋转到E＝F 时（如图1），试猜想E，F，EF 之间存在怎样的数量关 系？请将三条线段分别填入后面横线中： ＋ ＝ ．（不需证明） （2）当∠MB 绕B 点旋转到E≠F（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由． （3）当∠MB 绕B 点旋转到E≠F（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线 段E，F，EF 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 【变式训练2】（1）如图，在正方形 中， 、 分别是 ， 上的点，且 ．直接写出 、 、 之间的数量关系； （2）如图，在四边形 中， ， ， 、 分别是 ， 上的 点，且 ，求证： ； （3）如图，在四边形 中， ， ，延长 到点 ，延长 到点 ，使得 ，则结论 是否仍然成立？若成立，请证明；不 成立，请写出它们的数量关系并证明． 类型六、旋转模型 例．如图，在 中， ，点D 在 内， ， ，点E 在 外， ． (1) 的度数为_______________； (2)小华说 是等腰三角形，小明说 是等边三角形，___________的说法更准确， 并说明理由； (3)连接 ，若 ，求 的长． 例2．（培优）已知点为线段 上一点，分别以 为边在线段B 同侧作 和 ，且 ． ， ，直线 与 交于点F． (1)如图1，可得 ___________；若 ，则 ___________． (2)如图2，若 ，则 ___________．（用含的式子表示） (3)设 ，将图2 中的 绕点顺时针旋转任意角度（交点F 至少在 中的 一条线段上），如图3．试探究 与的数量关系，并予以说明． 【变式训练1】在Rt△B 中，∠B＝90°，＝B，点D 是直线B 上的一点，连接D，将线段D 绕点逆时针旋转90°，得到线段E，连接EB． （1）操作发现 如图1，当点D 在线段B 上时，请你直接写出B 与BE 的位置关系为 ；线段BD、B、 EB 的数量关系为 ； （2）猜想论证 当点D 在直线B 上运动时，如图2，是点D 在射线B 上，如图3，是点D 在射线B 上，请 你写出这两种情况下，线段BD、B、EB 的数量关系，并对图2 的结论进行证明； （3）拓展延伸 若B＝5，BD＝7，请你直接写出△DE 的面积． 【变式训练2】如图，等边 中， 分别交 、 于点 、 ． （1）求证： 是等边三角形； （2）将 绕点 顺时针旋转 （ ），设直线 与直线 相交于点 ． ①如图，当 时，判断 的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是， 说明理由； ②若 ， ，当 ， ， 三点共线时，求 的长． 课后训练 1．已知：如图，在 中， ， 、 分别为 、 上的点，且 、 交 于点 ．若 、 为 的角平分线． (1)求 的度数； (2)若 ， ，求 的长． 2．在 与 中， ， ， ． (1)如图1，若点D，B，在同一直线上，连接 ， ，则 与 的关系为________． (2)如果将图1 中的 绕点B 在平面内顺时针旋转到如图2 的位置，那么请你判断 与 的关系，并说明理由 (3)如图3，若 ， ，连接 ，分别取 ， ， 的中点M，P，，连接 ， ， ，将 绕点B 在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中 的面积最大值和最小值． 3．问题背景： 如图1，在四边形BD 中 ， ， ，E、F 分别是B，D 上 的点，且∠EF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的 方法是，延长FD 到点G，使DG＝BE，连接G，先证明 ，再证明 ，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化BD，四周修有步行小径，且B＝D，∠B＋∠D＝ 180°，在小径B，D 上各修一凉亭E，F，在凉亭E 与F 之间有一池塘，不能直接到达，经 测量得 ，BE＝10 米，DF＝15 米，试求两凉亭之间的距离EF． 4．【探索发现】如图①，四边形BD 是正方形，M，分别在边D、B 上，且 ， 我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． 如图①，将 绕点顺时针旋转 ，点D 与点B 重合，得到 ，连接M、、M． （1）试判断DM，B，M 之间的数量关系，并写出证明过程． （2）如图②，点M、分别在正方形BD 的边B、D 的延长线上， ，连接M，请 写出M、DM、B 之间的数量关系，并写出证明过程． （3）如图③，在四边形BD 中，B=D， ， ，点，M 分别在边B， D 上， ，请直接写出线段B，DM，M 之间的数量关系． 5．如图，△B 和△D 均为等腰直角三角形，∠B＝∠D＝90°，点、D 分别在边、B 上的点．连 接D，B，点为B 中点，连接． （1）如图1，求证：＝ D，⊥D； （2）将△D 绕点旋转到图2 所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论； 若不成立，请说明理由．