专题02 全等三角形中的六种模型梳理（学生版）

专题02 全等三角形中的六种模型梳理 几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明 三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。 类型一、倍长中线模型 中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。 目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形 中去。 例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 如图1，延长△B 的边B 到D，使D＝B，过D 作DE∥B 交延长线于点E，求证：△B≌△ED． 【理解与应用】 如图2，已知在△B 中，点E 在边B 上且∠E＝∠B，点E 是D 的中点，若D 平分∠BE． (1)求证：＝BD； (2)若BD＝3，D＝5，E＝x，求x 的取值范围． 【变式训练1】如图1，在 中， 是 边的中线， 交 延长线 于点 ， ． (1)求证 ； (2)如图2， 平分 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ， 求 的值． 【变式训练2】(1)如图1，已知 中，D 是中线，求证： ； (2)如图2，在 中，D，E 是B 的三等分点，求证： ； (3)如图3，在 中，D，E 在边B 上，且 ．求证： ． 【变式训练3】在 中，点 为 边中点，直线 绕顶点 旋转， 直线 于点 ． 直线 于点 ，连接 ， ． (1)如图1，若点 ， 在直线 的异侧，延长 交 于点 ．求证： ． (2)若直线 绕点 旋转到图2 的位置时，点 ， 在直线 的同侧，其它条件不变，此时 ， ， ，求 的长度． (3)若过 点作 直线 于点 ．试探究线段 、 和 的关系． 类型二、截长补短模型 截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2 次全等) 例．在等边三角形B 的两边B、所在直线上分别有两点M、，P 为△B 外一点，且∠MP＝ 60°，∠BP＝120°，BP＝P．探究：当点M、分别在直线B、上移动时，BM，，M 之间的数 量关系． (1)如图①，当点M、在边B、上，且PM＝P 时，试说明M＝BM+． (2)如图②，当点M、在边B、上，且PM≠P 时，M＝BM+还成立吗？ 答： ．(请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”)． (3)如图③，当点M、分别在边B、的延长线上时，请直接写出BM，，M 之间的数量关系． 【变式训练1】如图，在四边形 中， ，点E、F 分别在 直线 、 上，且 ． (1)当点E、F 分别在边 、 上时(如图1)，请说明 的理由． (2)当点E、F 分别在边 、 延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立， 请说明理由；若不成立，请写出 、 、 之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练2】(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ．求证： ． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1 和方法2 中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点D 作 ，垂足为点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系． 【变式训练3】在 中，BE，D 为 的角平分线，BE，D 交于点F． (1)求证： ； (2)已知 ． ①如图1，若 ， ，求E 的长； ②如图2，若 ，求 的大小． 类型三、做平行线证明全等 例1．如图所示： 是等边三角形， 、 分别是 及 延长线上的一点，且 ，连接 交 于点 ． 求让： 【变式训练1】 P 为等边△B 的边B 上一点，Q 为B 延长线上一点，且P＝Q，连PQ 交边 于D． (1)证明：PD＝DQ． (2)如图2，过P 作PE⊥于E，若B＝6，求DE 的长． 【变式训练2】已知在等腰△B 中，B=，在射线上截取线段E，在射线B 上截取线段BD， 连接DE，DE 所在直线交直线B 与点M．请探究： (1)如图(1)，当点E 在线段上，点D 在B 延长线上时，若BD=E，请判断线段MD 和线段 ME 的数量关系，并证明你的结论． (2)如图(2)，当点E 在的延长线上，点D 在B 的延长线上时，若BD=E，则(1)中的结论还成 立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； 类型四、旋转模型 例．如图1， ， ， ， 、 相交于点 ，连接 ． (1)求证： ，并用含 的式子表示 的度数； (2)当 时，取 ， 的中点分别为点 、 ，连接 ， ， ，如图2，判断 的形状，并加以证明． 【变式训练1】四边形 是由等边 和顶角为 的等腰 排成，将一个 角顶点放在 处，将 角绕 点旋转，该 交两边分别交直线 、 于 、 ， 交直线 于 、 两点． (1)当 、 都在线段 上时(如图1)，请证明： ； (2)当点 在边 的延长线上时(如图2)，请你写出线段 ， 和 之间的数量关系， 并证明你的结论； (3)在(1)的条件下，若 ， ，请直接写出 的长为 ． 【变式训练2】(1)问题发现： 如图1，△B 和△DE 均为等边三角形，当△DE 旋转至点，D，E 在同一直线上，连接BE．则： ①∠EB 的度数为 °； ②线段D、BE 之间的数量关系是 ． (2)拓展研究： 如图2，△B 和△DE 均为等腰三角形，且∠B＝∠DE＝90°，点 、D、E 在同一直线上，若D ＝，E＝b，B＝，求、b、之间的数量关系． (3)探究发现： 图1 中的△B 和△DE，在△DE 旋转过程中，当点，D，E 不在同一直线上时，设直线D 与BE 相交于点，试在备用图中探索∠E 的度数，直接写出结果，不必说明理由． 【变式训练3】如图1，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上， ，连接 ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点． (1)观察猜想：图1 中，线段 与 的数量关系是______，位置关系是______． (2)探究证明：把 绕点 逆时针方向旋转到图2 的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出 面积的最大值． 类型五、手拉手模型 例．在等边 中，点D 在B 上，点E 在B 上，将线段DE 绕点D 逆时针旋转60°得到线 段DF，连接F． (1)如图(1)，点D 是B 的中点，点E 与点重合，连接F．若 ，求F 的长； (2)如图(2)，点G 在上且 ，求证： ； (3)如图(3)， ， ，连接F．过点F 作F 的垂线交于点P，连接BP、DP．将 沿着BP 翻折得到 ，连接Q．当 的周长最小时，直接写出 的面积． 【变式训练1】△B 和△DE 是共顶点的两个大小不一样的等边三角形． (1)问题发现： 如图1，若点，D，E 在同一直线上，连接E，BE． ①求证：△D≌△BE；②求∠EB 的度数． (2)类比探究：如图2，点B、D、E 在同一直线上，连接E，D，BE，M 为△DE 中DE 边上 的高，请求∠DB 的度数及线段DB，D，DM 之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，若设D(或其延长线)与BE 的所夹锐角为α，则你认为α 为多少度， 并证明． 【变式训练2】(1)如图1，锐角△B 中，分别以B、为边向外作等腰直角△BE 和等腰直角 △D，使E＝B，D＝，∠BE＝∠D＝90°，连接BD，E，试猜想BD 与E 的大小关系，不需要 证明． 【深入探究】(2)如图2，四边形BD 中，B＝5，B＝2，∠B＝∠D＝∠D＝45°，求BD2的值； 甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△BD 全等的三角形，将BD 进行转化再 计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算； 【变式思考】(3)如图3，四边形BD 中，B＝B，∠B＝60°，∠D＝30°，D＝6，BD＝10，则 D＝ ． 【变式训练3】(1)问题发现： 如图1， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，点 、 、 在同一条直线上，则 的度数为__________，线段 、 之间的数量关 系__________； (2)拓展探究： 如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，点 、 、 不在一条直线上，请判断线段 、 之间的数量关系和位置关系，并说明理 由． (3)解决问题： 如图3， 和 均为等腰三角形， ，则直线 和 的夹角为 __________．(请用含 的式子表示) 类型六、一线三角模型 例在 中， ， ，直线M 经过点且 于D， 于 E． (1)当直线M 绕点旋转到图1 的位置时，求证： ① ≌ ； ② ； (2)当直线M 烧点旋转到图2 的位置时，求证： ； (3)当直线M 绕点旋转到图3 的位置时，试问DE、D、BE 具有怎样的等量关系？请写出这 个等量关系，并加以证明． 【变式训练1】【问题解决】 (1)已知△B 中，B=，D，，E 三点都在直线l 上，且有∠BD=∠E=∠B．如图①，当∠B=90°时， 线段DE，BD，E 的数量关系为：______________； 【类比探究】 (2)如图②，在(1)的条件下，当0°<∠B<180°时，线段DE，BD，E 的数量关系是否变化，若 不变，请证明：若变化，写出它们的关系式； 【拓展应用】 (3)如图③，=B，∠B=90°，点的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(1，2)，请求出点的坐标． 【变式训练2】(1)如图1，在△B 中，∠B＝90°，B＝，直线m 经过点，BD⊥直线m，E⊥直 线m，垂足分别为点D、E．求证：△BD≌△E； (2)如图2，将(1)中的条件改为：在△B 中，B＝，D、、E 三点都在直线m 上，并且有∠BD ＝∠E＝∠B＝α，其中α 为任意锐角或钝角．请问结论△BD≌△E 是否成立？如成立，请给出 证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展应用：如图3，D，E 是D，，E 三点所在直线m 上的两动点(D，，E 三点互不重合)， 点F 为∠B 平分线上的一点，且△BF 和△F 均为等边三角形，连接BD，E，若∠BD＝∠E＝ ∠B，求证：△DEF 是等边三角形． 【变式训练3】探究：(1)如图(1)，已知：在△B 中，∠B=90°，B=，直线m 经过点，BD⊥直 线m，E⊥直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，E 之间的数量关系是 ． 拓展：(2)如图(2)，将探究中的条件改为：在△B 中，B=，D、、E 三点都在直线m 上，并且 有∠BD=∠E=∠B=α，其中α 为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请 你给出证明；若不成立，请说明理由． 应用：(3)如图(3)，D、E 是D、、E 三点所在直线m 上的两动点(D、、E 三点互不重合)， 点F 为∠B 平分线上的一点，且△BF 和△F 均为等边三角形，连接BD、E，若 ∠BD=∠E=∠B，请直接写出△DEF 的形状是 ．