专题03 全等三角形的六种模型全梳理（解析版）

专题03 全等三角形的六种模型全梳理 几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明 三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。 类型一、倍长中线模型 目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形 中。 例1．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求 边上的中线 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长 到点E，使 ， 连接 ．请根据小明的方法思考： （1）如图2，由已知和作图能得到 的理由是 ． ．SSS B．SS ．S D．S （2）如图2， 长的取值范围是 ． ． B． ． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把 分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图3， 是 的中线， 交 于点E，交 于F，且 ．求证： ． 【答】（1） （2）（3）见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定条件求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到 ，由三角形三边关系得到 ，即可求出 ； （3）延长 到点M，使 ，连接 ，证明 ，得到 ，由 得到 ，进而推出 ，即可证 明 ． 【详解】解：（1）如图2，延长 到点E，使 ，连接 ． ∵ 为 的中线， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 故答为： ； （2）解：∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， 故答为：； （3）证明：延长 到点M，使 ，连接 ， ∵ 是 中线， ∴ ， ∵在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等腰三角形的性 质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 例2．（培优）已知 和 都是等腰直角三角形， ，连接 ，点F 为 中点． (1)如图1，求证： ； (2)将 绕点旋转到如图2 所示的位置，连接 ，过点作 于M 点． ①探究 和 的关系，并说明理由； ②连接 ，求证：F，，M 三点共线． 【答】(1)见解析 (2)① ，理由见解析②见解析 【分析】（1）证明 ，得到 ，再根据点F 为 中点，即可得证； （2）①证明 ，得到 ， ，设 交于点 ， 交于点 ，根据 ，得到 ，即可得出结论；②延长 至点 ，使 ，连接 ，证明 ，进而推出 ，得到 ，延长 交 于点 ，推出 ，进而得到点 重合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵ 和 都是等腰直角三角形， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵F 为 中点， ∴ ； （2）① ，理由如下： ∵ 和 都是等腰直角三角形， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ， 设 交于点 ， 交于点 ， 则： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 综上： ； ②延长 至点 ，使 ，连接 ， ∵F 为 中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， 延长 交 于点 ，则： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴点 重合，即：F，，M 三点共线． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全 等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 【变式训练1】如图， 中， ，E 是 的中点，求证： ． 【答】见解析 【分析】利用中线加倍证 （ ），可得 ， ， 由 ，可得 进而可证 ，再证 （ ） 即可． 【详解】证明：延长 到F，使 ，连结 ， ∵E 是 中点， ∴ ， ∴在 和 中， ， ∴ （ ）， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ （ ）， ∴ ． 【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加 倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键． 【变式训练2】（1）如图1，已知 中，D 是中线，求证： ； （2）如图2，在 中，D，E 是B 的三等分点，求证： ； （3）如图3，在 中，D，E 在边B 上，且 ．求证： ． 【答】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长D，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即 可； （2）取DE 中点，连接并延长至Q 点，使得=Q，连接QE 和Q，通过“倍长中线”思想全 等证明，进而得到B=Q，D=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结 论； （3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M，连接M 并延长至点，使得M=M，连接E， E，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出 结论． 【详解】证：（1）如图所示，延长D 至P 点，使得D=PD，连接P， ∵D 是△B 的中线， ∴D 为B 的中点，BD=D， 在△BD 与△PD 中， ∴△BD≌△PD(SS)， ∴B=P， 在△P 中，由三边关系可得+P＞P， ∴ ； （2）如图所示，取DE 中点，连接并延长至Q 点，使得=Q，连接QE 和Q， ∵为DE 中点，D、E 为B 三等分点， ∴D=E，BD=DE=E，∴D=， 在△B 和△Q 中， ，∴△B≌△Q(SS)， 同理可得：△D≌△QE，∴B=Q，D=EQ， 此时，延长E，交Q 于K 点， + ∵Q=+K+QK，+K＞K，∴+Q＞K+QK， 又∵K+QK=E+EK+QK，EK+QK＞QE，∴K+QK＞E+QE， + ∴Q＞K+QK＞E+QE， ∵B=Q，D=EQ，∴ ； （3）如图所示，取DE 中点M，连接M 并延长至点，使得M=M，连接E，E， ∵M 为DE 中点， ∴DM=EM， ∵BD=E， ∴BM=M， 在△BM 和△M 中， ∴△BM≌△M(SS)， 同理可证△DM≌△EM， ∴B=，D=E， 此时，延长E，交于T 点， +=+ ∵ T+T，+T＞T， + ∴＞T+T， 又∵T+T=E+ET+T，ET+T＞E， ∴T+T＞E+E， + ∴＞T+T＞E+E， ∵B=，D=E， ∴ ． 【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想， 以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键． 【变式训练3】（1）阅读理解： 如图①，在 中，若 ，求 边上的中线 的取值范围．可以用如下 方法：将 绕着点D 逆时针旋转 得到 ，在 中，利用三角形三边的 关系即可判断中线 的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在 中，D 是 边上的中点， 于点D， 交 于点E，DF 交 于点F，连接 ，求证： ； （3）问题拓展： 如图③，在四边形 中， ， ， ，以为顶点作一个 的角，角的两边分别交 于E、F 两点，连接EF，探索线段 之间 的数量关系，并说明理由． 【答】（1） ；（2）见解析；（3） ，理由见解析 【分析】（1）如图①：将 绕着点D 逆时针旋转 得到 可得 ， 得出 ，然后根据三角形的三边关系求出 的取值范围，进而求得 的取值 范围； （2）如图②： 绕着点D 旋转 得到 可得 ，得出 ， 由线段垂直平分线的性质得出 ，在 中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论； （3）将 绕着点按逆时针方向旋转 得到 可得 ，得出 ，证出 ，再由 证明 ， 得出 ，进而证明结论． 【详解】解：（1）如图①：将 绕着点D 逆时针旋转 得到 ∴ （ ）， ∴ ， ,即 ∵ 是 边上的中线， ∴ ， 在 中，由三角形的三边关系得： ， ∴ ，即 ， ∴ ； 故答为 ； （2）证明：如图②： 绕着点D 旋转 得到 ∴ （ ）， ∴ ， ∵ ∴ ， 在 中，由三角形的三边关系得： ， ∴ ； （3） ，理由如下： 如图③，将 绕着点按逆时针方向旋转 ∴△DF≌△B， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ∴点、B、三点共线 ∵ ， ，∴ ∴ ， 在 和 中， ， ∴ （ ） ∴ ， ∵ ∴ ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关 系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键 类型二、截长补短模型 截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2 次全等） 例1．如图，在五边形 中， ， 平分 ， ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数． 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在 上截取 ，连接 ，证明 ，根据全等三 角形的性质得出 ， ，进而证明 ，根据全等三 角形的性质得出 ，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得 ，即可求解． 【详解】（1）解：在 上截取 ，连接 ． ∵ 平分 ， ∴ ． 在 和 中， ∴ ∴ ， ． 又∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ∴ ． ∴ ． （2）∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与怕那段是解 题的关键． 例2．（培优）在 中，BE，D 为 的角平分线，BE，D 交于点F． （1）求证： ； （2）已知 ． ①如图1，若 ， ，求E 的长； ②如图2，若 ，求 的大小． 【答】（1）证明见解析；（2）25；（3）100°． 【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出 的度数，再由 三角形内角和定理可求出 的度数， （2）在B 上取一点G 使BG=BD，构造 （SS），再证明 ，即 可得 ，由此求出答； （3）延长B 到P，使P=F，构造 （SS），得P=B， ，再 由三角形内角和可求 ， ，进而可得 ． 【详解】解：（1） 、 分别是 与 的角平分线， ， ， ， （2）如解（2）图，在B 上取一点G 使BG=BD， 由（1）得 ， ， ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ （SS） ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 在 与 中， ， ， ， ， ； ∵ ， ， ∴ （3）如解（3）图，延长B 到P，使P=F， ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ （SS） ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线， 构造出全等三角形是解答此题的关键． 【变式训练1】如图， 为等边三角形，若 ，则 （用含 的式子表示）． 【答】 / 【分析】在BD 上截取BE=D，连结E，可证得 ，从而得到E=D， ∠DE=∠B=60°，从而得到 是等边三角形，进而得到∠BD=60°，则有 ， 即可求解． 【详解】解：如图，在BD 上截取BE=D，连结E， ∵ 为等边三角形， ∴B=，∠B=∠B=∠B=60°， ∵ ，BE=D， ∴ ， ∴E=D，∠BE=∠D， ∴∠BE+∠E=∠D+∠E， ∴∠DE=∠B=60°， ∵E=D， ∴ 是等边三角形， ∴∠BD=60°， ∴ ． 故答为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键 是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式训练2】如图，在四边形 中， ，点E、F 分别在 直线 、 上，且 ． (1)当点E、F 分别在边 、 上时（如图1），请说明 的理由． (2)当点E、F 分别在边 、 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若 成立，请说明理由；若不成立，请写出 、 、 之间的数量关系，并说明理由． 【答】(1)见解析(2)不成立， ，见解析 【分析】（1）延长EB 至G，使BG＝DF，连接G，通过证明△BG≌△DF，△EG≌△EF 可得 GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF； （2）在BE 上截取BM＝DF，连接M，通过证明△BM≌△DF，△ME≌△FE 可得ME＝EF，进 而可得EF＝BE﹣FD． 【详解】（1）EF＝BE+DF， 理由：延长EB 至G，使BG＝DF，连接G， ∵∠B+∠D＝180°，∠B+∠BG＝180°， ∴∠D＝∠BG， 在△BG 和△DF 中， ， ∴△BG≌△DF（SS）， ∴G＝F，∠BG＝∠DF， ∵∠EF＝ ∠BD， ∴∠BE+∠DF＝∠BE+∠BG＝∠EF， 即∠EG＝∠EF， 在△EG 和△EF 中， ， ∴△EG≌△EF（SS）， ∴GE＝EF， ∴EF＝BE+DF； （2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD， 在BE 上截取BM＝DF，连接M， ∵∠B+∠D＝180°，∠D+∠DF＝180°， ∴∠B＝∠DF， 在△BM 和△DF 中， ， ∴△BM≌△DF（SS）， ∴M＝F，∠BM＝∠DF， ∵∠BM+∠MD＝∠DF+∠MD， ∴∠BD＝∠MF， ∵∠EF＝ ∠BD， ∴∠EF＝ ∠MF， ∴∠EF＝∠EM， 在△ME 和△FE 中， ， ∴△ME≌△FE（SS）， ∴ME＝EF， ∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是 解题的关键． 【变式训练3】阅读下面材料： 【原题呈现】如图1，在 B 中，∠＝2∠B，D 平分∠B，D＝22，＝36，求B 的长． 【思考引导】因为D 平分∠B，所以可在B 边上取点E，使E＝，连接DE．这样很容易得 到 DE≌ D，经过推理能使问题得到解决（如图2）． 【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题； （2）拓展提升：如图3，已知 B 中，B＝，∠＝20°，BD 平分∠B，BD＝23，B＝2．求D 的长． 【答】（1）58；（2）43 【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△D≌△ED，得到D＝DE，∠＝∠DE，由 于∠＝2∠B，推出∠DE＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到△BDE 是等腰三角形，得 出＝E＝36，DE＝BE＝22，相加可得B 的长； （2）在B 边上取点E，使BE＝B＝2，连接DE，得到△DEB≌△DB（SS），在D 边上取点 F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论． 【详解】解：（1）如图2，在B 边上取点E，使E＝，连接DE． 在△D 与△ED 中， ， ∴△D≌△ED（SS）， ∴D＝DE，∠＝∠DE， ∵∠＝2∠B， ∴∠DE＝2∠B， ∴∠B＝∠EDB， ∴△BDE 是等腰三角形； ∴BE＝DE＝D＝22，＝E＝36， ∴B 的长为58； （2）∵△B 中，B＝，∠＝20°， ∴∠B＝∠＝80°， ∵BD 平分∠B， 1 ∴∠＝∠2＝40°，∠BD＝60°， 在B 边上取点E，使BE＝B＝2，连接DE， 在△DEB 和△DB 中， ， ∴△DEB≌△DB（SS）， ∴∠BED＝∠＝80°， 4 ∴∠＝60°，∴∠3＝60°， 在D 边上取点F，使DF＝DB，连接FE， 同理可得△BDE≌△FDE， 5 ∴∠＝∠1＝40°，BE＝EF＝2， ∵∠＝20°，∴∠6＝20°，∴F＝EF＝2， ∵BD＝DF＝23，∴D＝BD+B＝43． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决 本题的关键． 类型三、一线三等角模型 C D E B A 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。 例1．如图1， ，垂足分别为D，E． (1)若 ，求 的长． (2)在其它条件不变的前提下，将 所在直线变换到 的外部（如图2），请你猜想 三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将（1）中的条件改为：在 中， ，D，，E 三点在同一条直线上， 并且有 ，其中α 为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成 立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答】(1)08m (2) ，证明见解析 (3)结论 成立，证明见解析 【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用 定理证明 ，根据全等三角形 的性质、结合图形解答． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2） ． 证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）结论 成立， 证明： ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ，∴ ， ∴ ； 即结论 成立； 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理， 掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 例2．在正方形 中，点 在射线 上（不与点 ， 重合），连接 ， ，过 点 作 ，并截取 （点 ， 在 同侧），连接 ． （1）如图1，点 在 边上． ①依题意补全图1； ②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明； （2）如图2，点 在 边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段 ， ， 之 间的数量关系． 【答】（1）①见解析；② ，见解析；（2） ，见解析 【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②过点F 作F⊥B，交B 的延长线于．证明 △DE≌△EF（S），推出E＝F，D＝E，推出E＝B＝F，再利用勾股定理解决问题即可； （2）由②可得△DE≌△EF，推出E＝F，D＝E，推出E＝B＝F，再利用等腰直角三角形的 性质解决问题即可． 【详解】解（1）①图形如图所示． ②结论： ． 理由：过点 作 ，交 的延长线于 ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ． （2）结论： ． 理由：过点 作 ，交 于 ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 和 都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查作图−旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰 直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解 决问题． 【变式训练1】通过对数学模型“K 字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下 列问题： [模型呈现]如图1， ， ，过点B 作 于点，过点D 作 于点E．求证： ． [模型应用]如图2， 且 ， 且 ，请按照图中所标注的数据， 计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3， ， ， ，连接 ， ，且 于点F， 与直线 交于点G．若 ， ，则 的面积为_