模型03 全等三角形中的常见五种基本模型（原卷版）(1)

全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲 解，这里就不在重复 模型一、截长补短模型 ①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。 如图所示，在BF 上截取BM=DF，易证△BM≌△DF（SS），则M=F=FG， ∠BM=∠DF， 可得△MF 为等腰直角三角形，又可证∠FE=45°，∠FG=90°， ∠FG=∠MF，FG∥M，可得四边形GFM 为平行四边形，则G=MF，于是 BF=BM+MF=DF+G ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。 如图所示，延长G 至，使=DF，易证△DF≌△B（SS）， 可得F=FG=B，∠DF=∠B=135°， 又知∠FG=45°，可证B∥FG，于是四边形BFG 为平行四边形，得BF=G， 所以BF=G=+G=DF+G 模型介绍 模型二、平移全等模型 模型三、对称全等模型 模型四、旋转全等模型 模型五、手拉手全等模型 模型一、截长补短模型 【例1】如图，D⊥B，B+BD＝D，∠B＝54°，则∠＝ ． 变式训练 【变式1-1】．如图，点P 是△B 三个内角的角平分线的交点，连接P、BP、P，∠B＝60°， 且+P＝B，则∠B 的度数为（ ） ．60° B．70° ．80° D．90° 例题精讲 【变式1-2】．如图，在四边形BD 中，B＞B，D＝D，BD 平分∠B， 求证：∠+∠＝180°． 【变式1-3】．如图，△B 为等腰直角三角形，B＝，∠B＝90°，点D 在线段B 上，连接D， ∠D＝60°，D＝2，过作E⊥D，且E＝D，连接DE，交B 于F． （1）求△DE 的面积； （2）证明：DF+F＝EF． 模型二、平移全等模型 【例2】．如图，在四边形BD 中，E 是B 的中点，D∥E，∠ED＝∠B． （1）求证：△ED≌△EB． （2）当B＝6 时，求D 的长． 变式训练 【变式2-1】．如图1，，B，，D 在同一直线上，B＝D，DE∥F，且DE＝F，求证： △F≌△DEB．如果将BD 沿着D 边的方向平行移动，如图2，3 时，其余条件不变，结论 是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 【变式2-2】．如图，D，BF 相交于点，B∥DF，B＝DF，点E 与点在BF 上，且BE＝F． （1）求证：△B≌△DFE； （2）求证：点为BF 的中点． 【变式2-3】．如图，△B 和△D 均为等腰直角三角形，∠B＝∠D＝90°，D 在B 上． （1）求证：△≌△BD； （2）若D＝1，∠D＝60°，求D 的长． 模型三、对称全等模型 【例3】．如图，D∥B，∠D＝90°，∠PB＝30°，∠DB 的角平分线与∠B 的角平分线相交于点 P，且D，P，在同一条直线上． （1）求∠PD 的度数； （2）求证：P 是线段D 的中点． 变式训练 【变式3-1】．如图，B＝，D、E 分别是B、的中点，M⊥D 于M，⊥BE 干． 求证：M＝． 【变式3-2】．如图，已知点E、F 分别是正方形BD 中边B、B 上的点，且B＝12，E＝6， 将正方形分别沿DE、DF 向内折叠，此时D 与D 重合为DG，求F 的长度． 【变式3-3】．如图，∠B＝90°，M 平分∠B，将直角三角板的顶点P 在射线M 上移动，两 直角边分别与、B 相交于点、D，问P 与PD 相等吗？试说明理由． 模型四、旋转全等模型 【例4】．如图，已知：D＝B，E＝，D⊥B，E⊥．猜想线段D 与BE 之间的数量关系与位 置关系，并证明你的猜想． 变式训练 【变式4-1】．已知△B 和△DE 均为等腰三角形，且∠B＝∠DE，B＝，D＝E． （1）如图1，点E 在B 上，求证：B＝BD+BE； （2）如图2，点E 在B 的延长线上，求证：B＝BD﹣BE． 【变式4-2】．如图所示，已知P 是正方形BD 外一点，且P＝3，PB＝4，则P 的最大值是 3+4 ． 模型五、手拉手全等模型 【例5】．如图，△B 与△DE 是以点为公共顶点的两个三角形，且D＝E，B＝，∠DE＝∠B ＝90°，且线段BD、E 交于F． （1）求证：△E≌△DB． （2）猜想E 与DB 之间的关系，并说明理由． 变式训练 【变式5-1】．如图，为线段E 上一动点（不与点，E 重合），在E 同侧分别作正三角形B 和正三角形DE、D 与BE 交于点，D 与B 交于点P，BE 与D 交于点Q，连接PQ．以下 五个结论：①D＝BE；②P＝BQ；③DE＝DP；④∠B＝60°．恒成立的结论有几个（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式5-2】．如图，∠BD＝∠E＝90°，B＝D，E＝，F⊥B，垂足为F． （1）求证：△B≌△DE； （2）求∠FE 的度数； （3）求证：D＝2BF+DE． 【变式5-3】．（1）如图1，等腰△B 与等腰△DE 有公共点，且∠B＝∠ED，连接BE、D， 若B＝，E＝D，求证：BE＝D． （2）若将△DE 绕点旋转至图2、图3、图4 情形时，其余条件不变，BE 与D 还相等吗？ 为什么？ 1 如图，已知 ， ，且 ， ， ， 则 的度数为（ ） ． B． ． D． 2．如图，在△B 和△D 中，＝B，＝D，＜，∠B＝∠D＝36°．连接，BD 交于点M，连接M． 下列结论： ①∠MB＝36°，②＝BD，③M 平分∠D，④M 平分∠MD．其中正确的结论个数有（ ）个． ．4 B．3 ．2 D．1 实战演练 3．如图，在△B 中，∠B＝30°，且B＝，P 是△B 内一点，若P+BP+P 的最小值为4 ，则 B2＝ ． 4．正方形BD 中，B＝6，点E 在边D 上，E＝2DE，将△DE 沿E 折叠至△FE，延长EF 交B 于点G，连接G，F．下列结论：①△BG≌△FG； ②S△FG＝6；③EG＝DE+BG； ④BG＝G．其中正确的有 （填序号）． 5．如图，在矩形BD 中，B＝8，B＝4，将矩形沿对角线折叠，点D 落在D′处． （1）求证：F＝F （2）求F 的长度． 6．如图，在△B 中，∠B＝90°，＝B，延长B 至点D，使DB＝B，连接D，以D 为直角边作 等腰三角形DE，其中∠DE＝90°，连接BE． （1）求证：△D≌△BE； （2）若B＝3m，则BE＝ m． （3）BE 与D 有何位置关系？请说明理由． 7．如图，在△B 中，∠B＝90°，B＝，点D 是B 的中点，连接D，过B 作BE⊥D 交D 的延 长线于点E，连接E，过作F⊥E 交D 于点F． （1）求证：E＝F； （2）求证：D＝2BE+DE． 8．如图：在等腰直角三角形中，B＝，点D 是斜边B 上的中点，点E、F 分别为B，上的 点，且DE⊥DF． （1）若设BE＝，F＝b，满足 +|b 5| ﹣＝ + ，求BE 及F 的长． （2）求证：BE2+F2＝EF2． （3）在（1）的条件下，求△DEF 的面积． 9．如图1，点为线段B 上任意一点（不与点、B 重合），分别以、B 为一腰在B 的同侧作 等腰△D 和△BE，＝D，B＝E，∠D＝∠BE＝30°，连接E 交D 于点M，连接BD 交E 于点， E 与BD 交于点P，连接P． （1）线段E 与DB 的数量关系为 ；请直接写出∠PD＝ ； （2）将△BE 绕点旋转到如图2 所示的位置，其他条件不变，探究线段E 与DB 的数量关 系，并说明理由；求出此时∠PD 的度数； （3）在（2）的条件下求证：∠P＝∠BP． 10．阅读与理解： 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△B 中，B＞（如图），怎样证 明∠＞∠B 呢？ 分析：把沿∠的角平分线D 翻折，因为B＞，所以点落在B 上的点'处，即＝'，据以上操 作，易证明△D ' ≌△D，所以∠'D＝∠，又因为∠'D＞∠B，所以∠＞∠B． 感悟与应用： （1）如图（），在△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，D 平分∠B，试判断和D、B 之间的数 量关系，并说明理由； （2）如图（b），在四边形BD 中，平分∠BD，＝16，D＝8，D＝B＝12， ①求证：∠B+∠D＝180°； ②求B 的长． 11．如图甲，在等边三角形B 内有一点P，且P＝2，PB＝ ，P＝1，求∠BP 的度数和等 边三角形B 的边长． （1）李明同学作了如图乙的辅助线，将△BP 绕点B 逆时针旋转60°，如图乙所示，连接 PP'，可说明△PP'是直角三角形从而问题得到解决．请你说明其中理由并完成问题解答． （2）如图丙，在正方形BD 内有一点P，且P＝ ，BP＝ ，P＝1：类比第一小题 的方法求∠BP 的度数，并直接写出正方形BD 的面积． 12．在△B 中，B＝，∠B＝120°，以为边在∠B 的另一侧作∠M＝∠B，点D 为射线B 上任意 一点，在射线M 上截取E＝BD，连接D、DE、E． （1）如图1，当点D 落在线段B 的延长线上时，∠DE 的度数为 ． （2）如图2，当点D 落在线段B（不含边界）上时，与DE 交于点F，请问（1）中的结 论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若B＝12，求F 的最大值．