第29讲 尺规作图与定义、命题、定理（练习）（解析版）

第29 讲 尺规作图与定义、命题、定理 目 录 题型01 尺规作图-作线段 题型02 尺规作图-作一个角等于已知角 题型03 尺规作图-尺规作角的和、差 题型04 尺规作图-过直线外一点作这条线的平行 题型05 尺规作图-作三角形（含特殊三角形） 题型06 尺规作图-作角平分线 题型07 尺规作图-作垂直平分线 题型08 尺规作图-作三角形的中线与高 题型09 尺规作图- 画圆 题型10 尺规作图-过圆外一点作圆的切线 题型11 尺规作图-找圆心 题型12 尺规作图-作外接圆 题型13 尺规作图-作内切圆 题型14 尺规作图-作圆内接正多边形 题型15 尺规作图-格点作图 题型16 判断是否命题 题型17 判断命题真假 题型18 举反例说明命题为假命题 题型19 写出命题的逆命题 题型20 反证法证明中的假设 题型21 用反证法证明命题 题型01 尺规作图-作线段 1．（2023·山东青岛·模拟预测）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）： 如图，已知线段m，．求作△ABC，使∠A=90° , AB=m,BC=n． 【答】见解析 【分析】作直线l 及l 上一点；过点作l 的垂线；在l 上截取AB=m；作BC=n；即可得到△ABC． 【详解】解：如图所示：△ABC为所求． 注：（1）作直线l 及l 上一点； （2）过点作l 的垂线； （3）在l 上截取AB=m； （4）作BC=n． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）已知：∠α，线段． 求作：矩形BD，使对角线的长为，夹角为∠α． 【答】见解析 【分析】根据矩形的性质及线段、角及线段中点的作图方法作图即可． 【详解】作法： ①作直线M 与PQ 交于点，使∠QON=∠α ②分别以线段的两端G、为圆心，以大于1 2 a长度为半径画弧，两弧交于点E、F，连接EF，交线段于点 KG=1 2 a ③以点为圆心，以1 2 a 长为半径画弧，分别交M、P、、Q 与点、B、、D ④连接、B、、D 则四边形BD 即为所求作的矩形． 【点睛】本题考查了线段的作图、角的尺规作图以及矩形的性质，熟练掌握作图的步骤以及矩形的性质是 解题的关键． 3．（2022·山东青岛·统考二模）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹） 如图，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为． 求作：⊙O，使⊙O分别与K、R 相切，圆心与点的距离等于． 【答】作图见详解 【分析】以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交R、K 于点B、，再以B 为圆心，以大于1 2 BC的长度 为半径作弧，交于点D，连接D 并延长，即为∠RAK的平分线；以点为圆心，的长度为半径作弧，交D 于点，点即为所求圆的圆心；以点为圆心，任意长为半径作弧，交R 于点E、F，再分别以E、F 为圆心， 以大于1 2 EF的长度为半径作弧，交与点G，连接G 并延长，交R 于点，最后以为圆心，长为半径作圆即 为所要求的⊙O． 【详解】解：作图如下： 【点睛】本题主要考查了尺规作图-复杂作图，涉及的知识点包括利用尺规作图作角平分线、作垂线、作线 段等于已知线段等，解题关键是熟练掌握尺规作图基本方法． 4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程． 已知：如图1，线段a，b，及∠MAN=90°． 求作：矩形ABCD，使AB=a，AD=b． 作法：如图2， ①在射线AM，AN上分别截取AB=a，AD=b； ②以B为圆心，b长为半径作弧，再以D为圆心，a长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点C； ③连接BC，DC． ∴四边形ABCD就是所求作的矩形． 根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题： (1)使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)； (2)完成下面的证明． 证明：∵AB=DC=a，AD=¿ ¿b， ∴四边形ABCD是平行四边形( )(填推理的依据)． ∵∠MAN=90°， ∴四边形ABCD是矩形( )(填推理的依据)． 【答】(1)见解析 (2)BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 【详解】（1）解：如图，矩形ABCD即为所求； （2）证明：∵AB=DC=a，AD=BC=b， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， ∵∠MAN=90°， ∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 故答为：BC，两组对边分别相等的四边形的平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了作线段，矩形的性质与判定定理，掌握矩形的性质与判定定理是解题的关键． 题型02 尺规作图-作一个角等于已知角 5．（2019·河北·模拟预测）“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下： 已知：如图（1），∠B 和上一点． 求作：一个角等于∠B，使它的顶点为，一边为． 作法：如图（2）， （1）在0 上取一点D（D＜），以点为圆心，D 长为半径画弧，交B 于点E； （2）以点为圆心，D 长为半径画弧，交于点F，以点F 为圆心，DE 长为半径画弧，两弧交于点； （3）作射线． 所以∠就是所求作的角 此作图的依据中不含有（ ） ．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 ．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线 【答】 【分析】根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线， 直接判断即可． 【详解】解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS 可以推知△ED △GF ≌ ，故正确； 结合该全等三角形的性质对应角相等，故B 正确； 作射线G，利用两点确定一条直线，故D 正确； 故选：． 【点睛】本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行 判断． 6．（2022·山东菏泽·校联考模拟预测）已知：∠O及其一边上的两点A，B． 求作：Rt △ABC，使∠C=90°，且点C在∠O内部，∠BAC=∠O． 【答】见解析 【分析】先在∠的内部作∠DB=∠，再过B 点作D 的垂线，垂足为点． 【详解】解：如图，Rt△B 为所作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基 本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 7．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△B，＞B，∠＝45°．请用尺规作图法，在边上求作一点P， 使∠PB＝45°．（保留作图痕迹．不写作法） 【答】详见解析 【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在边上求作一点P，使∠PB＝45°即可． 【详解】解： 作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧交于D，交B 于E， （2）以点B 为圆心，以D 长为半径画弧，交B 于F， （3）以点F 为圆心，以DE 长为半径画弧，交前弧于点M， （3）连接BM，并延长BM 与交于点P，则点P 即为所求． 如图，点P 即为所求． 【点睛】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法． 题型03 尺规作图-尺规作角的和、差 8．（2022 下·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）已知∠α 、∠β，求作∠AOB， 使∠AOB=∠α−∠β． 【答】见解析 【分析】如图，作∠AOC=α，在∠AOC的内部作∠BOC=β，∠AOB即为所求． 【详解】解：如图，∠AOB即为所求． ． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 9．（2023 下·山西晋中·七年级统考期中）如图，已知∠α ，∠β，求作：∠AOB，使 ∠AOB=∠α+∠β．（要求：在指定作图区域用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答】见解析 【分析】根据做一个角等于已知角的方法∠AOC=∠β ，∠BOC=∠α，再利用尺规作 ∠AOB=∠α+∠β即可解答． 【详解】解：如图所示∠AOB=∠α+∠β， 【点睛】本题考查了利用尺规作一个角等于已知角的方法以及利用尺规作角的和差，掌握尺规作图法是解 题的关键． 10．（2020 下·六年级校考单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠B=2∠α-∠β．（不写作法，标明字 母） 【答】见解析 【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可． 【详解】解：分别以∠α、∠β 的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β 的边于P、Q、M、； 作射线B，以为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线B 于点，以为圆心，PQ 的长度为半径作弧， 交优弧于点D，作射线D，再以D 为圆心，PQ 的长为半径作弧，交优弧（∠DB 外部）于点E，作射线 E，然后以E 为圆心，M 的长为半径作弧，交优弧（∠EB 内部）于点，作射线，如图所示：∠B=2∠α- ∠β，∠B 即为所求． 【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键． 11．（2023 下·广东佛山·七年级佛山六中校考阶段练习）如图，已知∠ABC及AB上一点， (1)利用三角板，过点作BC的垂线，垂足为点E，此时线段AE的长为点到直线BC的距离． (2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在BC下方以点B 为顶点作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC． 【答】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂线的定义，作出图形即可； （2）以点B为圆心，已任意长为半径画弧，交AB于点F，交BC于点G，再以点G为圆心，以FG长为半 径，在BC的下方画弧，与之前的弧交于点H，再以点H为圆心，以FG长为半径，在点H下方画弧，与第 一个弧交于点K，连接BK，并延长至点D，即可得出∠CBD=2∠ABC． 【详解】（1）解：如图，线段AE即为所求，此时线段AE的长为点到直线BC的距离． （2）解：如图，∠CBD即为所求， 【点睛】本题考查作图—复杂作图，垂线，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考 常考题型． 题型04 尺规作图-过直线外一点作这条线的平行 12．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图 痕迹，其中正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据平行线的判定，结合尺规作图方法即可判断． 【详解】解：若要过点作B 的平行线， 则应过点作一个角等于已知角， 由作图可知，选项符合题意， 故选． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基 本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定． 13．（2023·甘肃天水·统考一模）如图，已知线段MN=a, AR⊥AK，垂足为． （1）求作四边形ABCD，使得点B，D 分别在射线AK , AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°， CD // AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设P，Q 分别为（1）中四边形ABCD的边AB ,CD的中点，求证：直线AD ,BC , PQ相交于同一点． 【答】（1）作图见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据AB=a，点B 在射线AK上，过点作AB=a；根据等边三角形性质，得 AB=BC=AC，分别过点、B，a为半径画圆弧，交点即为点；再根据等边三角形的性质作D，即可得到 答； （2）设直线BC与AD相交于点S、直线PQ与AD相交于点S '，根据平行线和相似三角形的性质，得 AD S ' D = AD SD ，从而得S ' D=SD，即可完成证明． 【详解】（1）作图如下： 四边形ABCD是所求作的四边形； （2）设直线BC与AD相交于点S， ∵DC // AB， ∴△SBA ∽△SCD， ∴SA SD = AB DC 设直线PQ与AD相交于点S '， 同理S ' A S ' D = PA QD ． P ∵，Q 分别为AB ,CD的中点， ∴PA=1 2 AB，QD=1 2 DC ∴PA QD = AB DC ∴S ' A S ' D = SA SD ， ∴S ' D+ AD S ' D = SD+ AD SD ， ∴AD S ' D = AD SD ， ∴S ' D=SD， ∴点S 与S '重合，即三条直线AD ,BC , PQ相交于同一点． 【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键 是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解． 14．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）已知：如图，直线l，和直线外一点P． 求作：过点P 作直线P，使得P∥l． 作法：①在直线l 上取点，以点为圆心，P 长为半径画圆，交直线l 于，B 两点； ②连接P，以点B 为圆心，P 长为半径画弧，交半圆于点； ③作直线P． 直线P 即为所求作． 根据尺规作图，完成下面的证明： 证明：连接BP． B=P ∵ ， ∴´ BC=¿________， ∴∠ABP=∠BPC（________________________）（填推理依据）， ∴直线P∥直线l（________________________）（填推理依据）． 【答】´ AP，等弧所对的圆周角相等，内错角相等，两直线平行 【分析】连接BP，由圆中等弦对等弧，根据圆周角定理得到∠ABP=∠BPC，再根据平行线的判定定 理：内错角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】证明：连接BP，如图所示： B=P ∵ ， ∴´ BC= ´ AP， ∴∠ABP=∠BPC（等弧所对的圆周角相等）， ∴直线P∥直线l（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查尺规作图与几何证明综合，涉及到尺规作图、圆的性质、圆周角定理和平行线的判定， 熟练掌握尺规作图及内错角相等，两直线平行是解决问题的关键． 15．（2022·北京大兴·统考二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图 过程． 已知：直线l 和直线l 外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ∥l． 作法：如图， ①在直线l 上任取两点，B； ②以点P 为圆心，B 长为半径画弧，以点B 为圆心，P 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点Q； ③作直线PQ． 直线PQ 就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵PA=QB , AB=PQ， ∴四边形PBQ 是平行四边形（___________）（填写推理的依据）． ∴PQ∥AB（______________）（填写推理的依据）． 即PQ∥l 【答】(1)见解析 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行． 【分析】（1）根据题目告诉的作图方法进行作图即可； （2）利用平行四边形的性质与判定证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线PQ就是所求作的直线． （2）证明：∵ PA=QB，AB=PQ ∴四边形PBQ 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． ∴ PQ∥AB（平行四边形的两组对边分别平行）． 即PQ // l． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 题型05 尺规作图-作三角形（含特殊三角形） 16．（2023·浙江台州·统考一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（ ）． ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答． 【详解】解：、根据一个角等于已知角的作法可知∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选 项错误； B、根据垂直平分线的作法可知AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误； 、根据过直线外一点作平行线的作法可知，AC ∥BD，∠ACB=∠CBD， 根据角平分线的作法可知，∠ABC=∠CBD， ∴∠ABC=∠ACB，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误； D、不能判断△ABC是等腰三角形，符合题意，选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键． 17．（2021·安徽·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC ,∠A=50°，根据作图痕迹，可知 ∠CBD=¿（ ） ．80° B．60° ．45° D．50° 【答】D 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵B=， ∴∠ABC =∠ACB= 1 2 (180°−∠A)=1 2 (180°−50°)=65°． 由作图痕迹可知B=BD， ∴∠BDC =∠BCD=65°． ∴∠CBD=180°−∠BDC−∠BCD=180°−65°−65°=50°． 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出B=BD 是解答本题的关键． 18．（2020·山东东营·统考模拟预测）如图是作ΔABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ） ．已知两边及夹角 B．已知三边 ．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【答】 【分析】观察ΔABC的作图痕迹，可得此作图的条件 【详解】解：观察ΔABC的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：∠α，∠β，及线段B, 故已知条件为：两角及夹边， 故选 【点睛】本题主要考查三角形作图及三角形全等的相关知识 19．（2019·甘肃兰州·统考一模）已知： ∠α，直线l及l上两点 ， B． 求作： Rt△B ，使点 在直线l的上方，且∠B=90°， ∠B=∠α． 【答】见解析 【分析】先作∠DB=α，再过B 点作BE⊥B，则D 与BE 的交点为点． 【详解】解：如图，△B 为所作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图 形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把 复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 20．（2021·吉林·统考一模）图12 是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长 均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上； （1）在图1 中画出以AC为底边的等腰直角△ABC，点B在小正方形顶点上；（2）在图2 中画出以AC 为腰的等腰△ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8 【答】（1）详见解析；（2）详见解析； 【分析】（1）由题可知，点B 满足BA=BC ,∠ABC=90 °这两个条件，BA=BC说明点B 在的垂直平 分线上，∠ABC=90 °说明点B 在以为直径的圆上，故可作