第29讲 尺规作图与定义、命题、定理（讲义）（解析版）

第29 讲 尺规作图与定义、命题、定理 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 尺规作图 题型01 尺规作图-作线段 题型02 尺规作图-作角度 类型一 作一个角等于已知角 类型二 尺规作角的和、差 类型三 过直线外一点作这条线的平行 类型四 作角平分线 题型03 尺规作图-作三角形（含特殊三角形） 题型04 尺规作图-作三角形的中线与高 题型05 尺规作图-作垂直平分线 题型06 尺规作图- 画圆 题型07 尺规作图- 找圆心 题型08 尺规作图-过圆外一点作圆的切线 题型09 尺规作图-作外接圆 题型10 尺规作图-作内切圆 题型11 尺规作图-作圆内接正多边形 题型12 尺规作图-格点作图 考点二 定义、命题、定理 题型01 判断是否命题 题型02 判断命题真假 题型03 举反例说明命题为假命题 题型04 写出命题的逆命题 题型05 反证法证明中的假设 题型06 用反证法证明命题 考点要求 新课标要求 命题预测 尺规作图  能用尺规作图: ①作一个角等于已知角；作一个角的平分线 ②作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线 ③过直线外一点作这条直线的平行线 ④已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及 底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形 ⑤过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆 的内接正方形和内接正六边形 ⑥过圆外一点作圆的切线 本考点内容以考查尺规作 图和真假命题为主，年年考 查，是广大考生的得分点，分 值为6 分左右．预计2024 年 各地中考还将继续考查这两个 知识点 中考对尺规作图的考 查涉及多种形式，不再是单一 的对作图技法操作进行考查， 而是把作图与计算、证明、分 析、判断等数学思维活动有效 融合，既体现了动手实践的数 学思维活动，也考查了学生运 用数学思考解决问题的能力， 为避免丢分，学生应扎实掌 握． 定义、命 题、定理  通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义  结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的 概念会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立  知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可 以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式  了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的  通过实例体会反证法的含义 考点一 尺规作图 尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图． 五种基本作图： 类型 图示 作图依据 作一条线段等 于已知线段 a A O P 圆上的点到圆心的距离等于半径 作一个角等于 已知角 α N Q O O' A' G M B' 1)三边分别相等的两个三角形全等； 2)全等三角形的对应角相等； 3)两点确定一条直线 作一个角的平 分线 P N O A B M 作一条线段的 垂直平分线 N M A B 1)到线段两个端点距离相等的点在这条 线段的垂直平分线上； 2)两点确定一条直线 过一点作已知 直线的垂线 P N M B A A B P 1)等腰三角形“三线合一”； 2)两点确定一条直线 根据基本作图作三角形 类型 图示 已知三角形的三边，求作三角形 a b c b a c 已知三角形的两边及其夹角，求作三角形 α a b b a 已知三角形的两角及其夹边，求作三角形 β α β α m m A C B 已知直角三角形一直角边和斜边，求作直 角三角形 a c c a 根据基本作图作圆 类型 图示 过不在同一直线上的三点作圆 （即三角形的外接圆） O A B C 作三角形的内切圆 D O B C A 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3) 切记作图中一定要保留作图痕迹． 题型01 尺规作图-作线段 【例1】（2021 上·辽宁抚顺·九年级校联考周测）如图，平面上有四个点，B，，D，根据下列要求画图． (1)画直线B； (2)作射线B； (3)画线段D； (4)连接D，并延长D 至点E，使DE＝D；（保留作图痕迹） (5)在四边形BD 内找一点，使它到四边形四个顶点的距离的和+B++D 最小． 【答】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 (5)见解析 【分析】（ 1）根据直线的概念作图即可； （2 ）根据射线的概念作图即可； （3 ）根据线段的概念作图即可； （4 ）以点D 为圆心、D 为半径，画弧交D 延长线于点E； （5 ）根据两点之间线段最短，连接、BD，交点即为所求点． 【详解】（1）如图所示，直线B 即为所求； （2）如图所示，射线B 即为所求； （3）如图所示，线段D 即为所取； （4）如图所示，线段DE 即为所求； （5）如图所示，点即为所求． 【点睛】本题主要考查了直线，射线和线段的定义和作图．熟练地掌握直线，射线和线段的定义，并正确 的根据定义作图是解题的关键． 【变式1-1】（2023 上·广西河池·九年级统考期末）如图，在同一平面上有，B，三个点，按要求作图： (1)作直线，射线B，连接B； (2)延长B 到点D，使得BD=AB； (3)直接写出∠ABC+∠CBD=¿______°． 【答】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)180° 【分析】（1）按照题意用直尺作出图形； （2）按照题意作出图形即可； （3）由题意可知，∠ABC+∠CBD=¿180°． 【详解】（1）解：如图所示，直线，射线B，线段B 即为所求； （2）解：如图所示线段 BD 即为所求； （3）解：∠ABC+∠CBD=¿180°，理由是： ∵延长B 到点D，使得BD=AB ∴∠BD 是平角 ∴∠ABC+∠CBD=¿180° 【点睛】本题考查了直线、线段、射线的作图，解决本题的关键是准确作图． 【变式1-2】（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c． (1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕 迹） (2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长． 【答】(1)作图见解析 (2)4.5 【分析】（1）作射线AM，在射线AM上顺次截取AE=a, EF=c，在线段FA上截取FB=b，则线段AB 即为所求； （2）由（1）中结论及已知条件，求得AB的长，再利用线段中点的性质即可解得AC的长． 【详解】（1）解：如图，线段AB即为所求： （2）如图， ∵ a=6，b=4，c=7， ∴AB=a+c−b=6+7−4=9 ∵点C是线段AB的中点， ∴AC=1 2 AB=1 2 ×9=4.5 即AC的长4.5． 【点睛】本题考查基本作图、线段的和差、线段的中点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式1-3】（2022 上·广西梧州·七年级统考期末）（1）如图，已知线段，b，用直尺和圆规作图，分别 作下列两条线段． ①AB=a+b； ② CD=2a−b． （2）已知：如图，∠AOB=∠COD=90°，∠BOD=25°．求∠AOC的度数． 【答】（1）①见解析；②见解析；（2）155° 【分析】（1）①先作线段 =，再以点为一端点，往延长线方向作线段B=b 即可； ②先作线段 E=2，再以点E 为一端点，往E 延长线方向作线段ED=b 即可； （2）先根据已知条件求出∠AOD的度数，再由∠AOC=∠COD+∠AOD计算即可． 【详解】（1）解： ①AB=a+b； ② CD=2a−b （2）解：∵∠AOB=90°，∠BOD=25° ∴∠AOD=∠AOB−∠BOD=90°−25°=65° ∵∠COD=90° ∴∠AOC=∠COD+∠AOD=90°+65°=155°． 【点睛】本题考查了作图-线段的和差及计算角的和差，熟练掌握作图技巧及知识点是解题的关键． 题型02 尺规作图-作角度 类型一 作一个角等于已知角 【例2】（2022·吉林长春·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC ≠BC．用无刻度的直尺和 圆规在B 边上找一点D，使∠BCD=∠A，则符合要求的作图是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过点D 作B 的垂线，利用同角的余角相等证明即可． 【详解】根据题意，作图是构造等腰三角形， 不符合题意； B 是作的角的平分线， 故不符合题意； 是过点D 作B 的垂线， =90°- ∴∠ ∠B，∠BD=90°-∠B， ∴∠BCD=∠A， 故符合题意； D 作的是线段的垂直平分线， 故不符合题意， 故选． 【点睛】本题考查了垂线的基本作图，余角的性质，熟练掌握作图，灵活运用互余性质是解题的关键． 【变式2-1】（2023·山东青岛·校考一模）如图，BD 平分∠B，点E 为B 上一点． (1)尺规作图：以E 为顶点，作∠EF ＝∠B，交BD 于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF 的度数． 【答】(1)见解析 (2)120° 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作∠EF ＝∠B，交BD 于点F． （2）根据∠DFE＝150°，可得到∠EFB 的度数，再根据平行线的判定及性质，角平分线的定义即可得到 ∠BEF 的度数． 【详解】（1）解：如图，∠EF 即为所求； （2）∵∠DFE＝150°， ∴∠EFB＝180°－150°＝30°， ∵∠AEF=∠ABC， ∴EF ∥BC． ∴∠FB＝∠EFB＝30°，∠EB+∠BEF＝180°． ∵BD 平分∠B， ∴∠EB＝2∠FB＝60°， ∴∠BEF＝180°－60°＝120°． 【点睛】本题考查了基本作图，角平分线的定义，平行线的判定与性质，掌握作一个角等于已知角，熟练 运用平行线的判定和性质是解决本题的关键． 【变式2-2】（2021 下·上海闵行·上海上师初级中学校考期中）如图，已知∠AOB=70°，∠α=53°， 在图中用尺规作∠AOC=∠α，并计算∠BOC的值（保留作图痕迹，不得使用量角器） 【答】见解析 【分析】分两种情况：OC在∠AOB内和OC在∠AOB外进行作图解题即可． 【详解】解：如图，当OC在∠AOB内时， ∠BOC=∠AOB−∠AOC=70°−53°=17°， 如图，当OC在∠AOB外时， ∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+53°=123°， 综上所述，∠BOC=17°或∠BOC=123°． 【点睛】本题考查限定工具作图 尺规作一个角等于已知角，角的和差，掌握分类讨论是解题的关键． — 类型二 尺规作角的和、差 【例3】（2023 上·内蒙古呼和浩特·校考阶段练习）如图，已知∠ABC． (1)请以射线DG为边作一个角，使它等于∠ABC的补角；（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹） (2)若∠ABC的补角是∠ABC的5 倍，则∠ABC=¿ ． 【答】(1)详见解析 (2)30° 【分析】（1）作一个角等于已知角，反向延长所作角的一边，得其邻补角即为所求． （2）根据补角的定义知互为补角的两个角和为180°，构建方程求解． 【详解】（1）解：作∠MDF=∠ABC，反向延长射线DM，得射线DG，∠GDF即为所求； （2）解：由题意，得∠ABC+5∠ABC=180°， 解得：∠ABC=30°， 故答为：30°． 【点睛】本题主要考查了尺规作图 作一个角等于已知角，补角的定义，解题的关键是掌握尺规作图的方 — 法和步骤，以及相加等于180°的两个角互补． 【变式3-1】（2023 上·陕西榆林·校考阶段练习）已知如图∠α、∠β，请你利用尺规作图作∠AOB，使 ∠AOB=∠β−∠α．（不写作法，保留作图痕迹） 【答】见解析 【分析】根据尺规作图的方法先作∠AOC=∠β，再以OC为角的一边作∠BOC=∠α，则∠AOB即 为所求． 【详解】解：如图，∠AOB即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图，角的计算，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法是解题的关键． 【变式3-2】（2023·陕西商洛·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于 点E，请用尺规作图法，在射线BE上求作一点D，使得∠ADE=1 2 ∠C．（保留作图痕迹，不写作法） 【答】见解析 【分析】如图所示，作∠CAD=∠C交射线BE于D，点D 即为所求． 【详解】解：如图所示，作∠CAD=∠C交射线BE于D，点D 即为所求； ∵∠CAD=∠C， ∵AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBE， ∵∠ABC的平分线交AC于点E， ∴∠CBE=1 2 ∠ABC， ∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC， ∴∠ADE=1 2 ∠C． 【点睛】本题主要考查了尺规作图 作与已知角相等的角，平行线的性质与判定，角平分线的定义，等边 — 对等角等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 类型三 过直线外一点作这条线的平行 【例4】（2022·广东佛山·西南中学校考三模）如图，在△ABC中，P 为AC边上任意一点，按以下步骤作 图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AP 、AB于点M，；②以点P 为圆心，以AM长为半 径作弧，交PC于点E；③以点E 为圆心，以MN长为半径作弧，在△ABC内部交前面的弧于点F；④作 射线PF交BC于点Q．若∠A=60°，∠C=40°，则∠PQC=¿（ ） ．100° B．80° ．60° D．40° 【答】B 【分析】先由三角形内角和定理得到∠B=80°，再根据作图方法可知∠CPQ=∠A，则PQ∥AB，由 此即可得到∠PQC=∠B=80°． 【详解】解：∵∠A=60°，∠C=40°， ∴∠B=180°−∠A−∠C=80°， 由作图方法可知∠CPQ=∠A， ∴PQ∥AB， ∴∠PQC=∠B=80°， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，尺规作图 作与已知角相等的角，证 — 明PQ∥AB是解题的关键． 【变式4-1】（2023 下·河南焦作·统考期中）如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A 作OB 的平行线，步骤如下． ①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB 于点D； ②以点为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M； ③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA 即为所求． 小亮作图的依据是（ ） ．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 ．同旁内角互补，两直线平行 D．以上结论都不正确 【答】B 【分析】由作法可知：∠O=∠OAE，结合平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：由作法可知：∠O=∠OAE， 根据内错角相等，两直线平行，可得AE∥OB 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定，尺规作图，根据图形的作法得到∠O=∠OAE是关键． 【变式4-2】（2024 上·陕西商洛·统考期末）如图，在△ABC中，延长BC至点D，请用尺规作图法求作 射线CE，使得CE∥AB，且点E 在BD上方．（保留作图痕迹，不写作法） 【答】见解析 【分析】本题考查了角的基本作图，利用同位角相等，两直线平行，画一个角等于∠B，且是一对同位角 即可． 【详解】根据题意，画图如下： 则CE即为所求． 【变式4-3】（2023 上·吉林长春·统考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形格，每个小正方形的顶 点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点D为AB的中点，在给定的格中，按下列要求作图 (1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结DE，使DE∥AC． (2)在图②中△ABC的边AC上确定一点F，连结DF，使∠AFD=∠C． (3)在图③中△ABC的边AC上确定一点G，连结DG，使∠AGD=∠B． 【答】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格作图，中位线的性质，平行线的性质； （1）利用格特征作出BC的中点E，连接DE即可； （2）利用格特征作出线段AC的中点F，连接DF即可； （3）利用格特征作出∠ADE=∠C，交AC于点G，即可． 解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 【详解】（1）解：如图1 中，点E即为所求； （2）如图2 中，点F即为所求； （3）如图3 中，利用格特征作出∠ADE=∠C，交AC于点G， 由三角形的内角和可知：∠AGD=∠B， 故点G即为所求． 类型四 作角平分线 【例5】（2024 上·内蒙古包头·统考期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当 长为半径作弧，分别交AB ,BC于点D和E；②分别以点D , E为圆心，以大于1 2 DE的长为半径作弧，两弧 相交于点F；③作射线BF交AC于点G；④过点G作GH ∥BC交AB于点H，若∠BHG=110°，则 ∠HGB=¿（ ） ．25° B．30° ．35° D．40° 【答】 【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握角平分线的基本作图思想是解决问题的关键．也考查了平行 线的性质以及三角形内角和．由题意可知BG是∠ABC的平分线，得到∠ABG=∠CBG，根据平行线的 性质得到∠HGB=∠CBG，等量代换得到∠HGB=∠ABG，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：由题意可知BG是∠ABC的平分线， ∴∠ABG=∠CBG， ∵HG∥BC， ∴∠HGB=∠CBG， ∴∠HGB=∠ABG， ∵∠BHG=110°， ∴∠AGB=∠HBG=1 2 ×(180°−110°)=35°， 故选：． 【变式5-1】（2023 上·广东广州·广州市第七十五中学校考期中）如图，已知△ABC． (1)尺规作图：作∠ACB的角平分线，与AB交于点D；（保留作图痕迹，不用写作法） (2)若∠A=50°，∠B=70°，求∠CDA的大小． 【答】(1)见解析 (2)∠CDA=100° 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）利用三角形内角和及角平分线定义∠ACD=∠BCD=30°，由三角形内角和定理求出∠CDA大小 即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵∠A=50°，∠B=70°， ∴∠ACB=180°−∠A−∠B=60°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD=1 2 ∠ACB=30°， ∴∠CDA=180°−∠ACD−∠A=180°−30°−50°=100°． 【点睛】此题考查了基本作图 角平分线，利用角平分线的定义求角度，三角形的内角和定理，熟练掌握 — 各知识点是解题的关键． 【变式5-2】（2023 上·河南驻马店·统考阶段练习）如图，已知△ABC，