重难点突破16 尺规作图在压轴题中的应用（7种题型归类）（解析版）

重难点突破16 尺规作图在压轴题中的应用 7 种题型归类 目 录 题型01 作线段 题型02 作角 题型03 作角平分线 题型04 作垂线 题型05 画圆 题型06 格点作图 题型07 与尺规作图有关的计算题 题型01 作线段 1．（2022·江苏常州·统考中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm， C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC． (1)沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一 个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N 和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4 cm的菱形．小明的猜想是 否正确？请说明理由． 【答】(1)直角 (2)见详解 (3)小明的猜想正确，理由见详解 【分析】（1）B 是圆的直径，根据圆周角定理可知∠B=90°，即可作答； （2）以为圆心，为半径画弧交⊙于点E，再以E 为圆心，E 为半径画弧交于⊙点F 连接EF、F、E，G、 点分别与、点重合，即可； （3）当点靠近点时，设CM = 1 3 CA，CN = 1 3 CB，可证MN ∥AB,推出MN=1 3 AB=4 cm，分别以M， 为圆心，M 为半径作弧交B 于点P，Q，可得MN=MP=NQ=4 cm，进而可证四边形MQP 是菱形；当 点靠近点B 时，同理可证． 【详解】（1）解：如图， ∵B 是⊙的直径， ∴∠B=90°， ∴∠B 是直角， 即△B 是直角三角形， 故答为：直角； （2）解：以为圆心，为半径画弧交⊙于点E，再以E 为圆心，E 为半径画弧交于⊙点F 连接EF、F、E， G、点分别与、点重合，即可， 作图如下： 由作图可知E=EF=F=G==1 2B=6， 即四边形EFG 是边长为6m 的菱形； （3）解：小明的猜想正确，理由如下： 如图，当点靠近点时，设CM = 1 3 CA，CN = 1 3 CB， ∴CM CA =CN CB =1 3, ∴MN ∥AB, ∴MN AB =CM CA =1 3, ∴MN=1 3 AB=1 3 ×12=4 cm． 分别以M，为圆心，M 为半径作弧交B 于点P，Q，作MD⊥AB于点D，NE⊥AB于点E， ∴MN=MP=NQ=4 cm． ∵MN ∥AB,MD⊥AB，NE⊥AB， ∴MD=NE， 在Rt Δ MDP和Rt Δ≠¿中， ¿， ∴Rt Δ MDP ≅Rt Δ≠(HL)， ∴∠MPD=∠NQE， ∴MP // NQ， 又∵ MP=NQ， ∴四边形MQP 是平行四边形， 又∵ MN=MP， ∴四边形MQP 是菱形； 同理，如图，当点靠近点B 时，采样相同方法可以得到四边形MQP 是菱形， 故小明的猜想正确． 【点睛】本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质与判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运 用上述知识解决问题． 2．（2020·江苏镇江·统考中考真题）【算一算】 如图①，点、B、在数轴上，B 为的中点，点表示﹣3，点B 表示1，则点表示的数为 ，长等于 ； 【找一找】 如图②，点M、、P、Q 中的一点是数轴的原点，点、B 分别表示实数 ❑ √2 2 ﹣1、 ❑ √2 2 +1，Q 是B 的中点，则 点 是这个数轴的原点； 【画一画】 如图③，点、B 分别表示实数﹣、+，在这个数轴上作出表示实数的点E（要求：尺规作图，不写作法，保 留作图痕迹）； 【用一用】 学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测个学生．凌老师提 出了这样的问题：假设现在校门口有m 个学生，每分钟又有b 个学生到达校门口．如果开放3 个通道，那 么用4 分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4 个通道，那么用2 分钟可使校门口的学生全部进校． 在这些条件下，、m、b 会有怎样的数量关系呢？ 爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4 分钟内需要进校的人数m+4b 记作+(m+4b)，用点表示；将2 分 钟内由4 个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8 记作﹣8，用点B 表示． ①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12 的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义； ②写出、m 的数量关系： ． 【答】（1）5，8；（2）；（3）图见解析；（4）①+(m+2b)的实际意义：2 分钟后，校门口需要进入学校 的学生人数，图见解析；②m＝4． 【分析】（1）根据数轴上点对应﹣3，点B 对应1，求得B 的长，进而根据B＝B 可求得的长以及点表示的 数； （2）可设原点为，根据条件可求得B 中点表示的数以及线段B 的长度，根据B＝2，可得Q＝BQ＝1，结 合Q 的长度即可确定为数轴的原点； （3）设B 的中点为M，先求得B 的长度，得到M＝BM＝，根据线段垂直平分线的作法作图即可； （4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为，列方程组¿，根据m+2b＝F，m+4b＝12， 即可画出F，G 点，其中m+2b 表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数； ②解①中的方程组，即可得到m＝4． 【详解】解：（1）【算一算】：记原点为， ∵B＝1﹣（﹣3）＝4， ∴B＝B＝4， ∴＝B+B＝5，＝2B＝8． 所以点表示的数为5，长等于8． 故答为：5，8； （2）【找一找】：记原点为， ∵B＝ ❑ √2 2 +1﹣（ ❑ √2 2 ﹣1）＝2， ∴Q＝BQ＝1， ∴Q＝B﹣BQ＝ ❑ √2 2 +1 1 ﹣＝ ❑ √2 2 ， ∴为原点． 故答为：． （3）【画一画】：记原点为， 由B＝+﹣（﹣）＝2， 作B 的中点M， 得M＝BM＝， 以点为圆心， M＝长为半径作弧交数轴的正半轴于点E， 则点E 即为所求； （4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；2 分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4． 4 ∵分钟内开放3 个通道可使学生全部进校， ∴m+4b＝3××4，即m+4b＝12（Ⅰ）； 2 ∵分钟内开放4 个通道可使学生全部进校， ∴m+2b＝4××2，即m+2b＝8（Ⅱ）； ①以为圆心，B 长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F 即为所求． 作B 的中点E，则E＝BE＝4，在数轴负半轴上用圆规截取G＝3E＝12， 则点G 即为所求． +（m+2b）的实际意义：2 分钟后，校门口需要进入学校的学生人数； ②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4． 故答为：m＝4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等量关 系． 3．（2021·浙江金华·校联考二模）如图，在7×7 的格中，每个小正方形的边长为1，△B 的顶点均在格点上． 仅用无刻度的直尺，试按要求作图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)如图1，在B 作一点D，使得BD=1 3 BC； (2)如图2，E 为△B 内一格点，M，为B，B 边上的点，使四边形EMB 为平行四边形； (3)如图3，B 交格线于点F，过点F 作B 的平行线交于P． 【答】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】(1) 在点B 右侧第一条竖格线画线，即可得到； (2)过点E，在格点上画出与线段B、B 相等的线，即可得到； (3)点F 是B 的三等分点，在上画出的三等分点，即可得到． 【详解】（1）解：如图：在点B 右侧第一条竖格线画线，与B 的交点D 即为所求的点 （2）解：四边形EMB 即为所求的平行四边形， （3）解：过点F 作B 的平行线交于点P 【点睛】本题考查了利用无刻度的直尺作图，找到关键点是解决本题的关键． 4．（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c． (1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕 迹） (2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长． 【答】(1)作图见解析 (2)4.5 【分析】（1）作射线AM，在射线AM上顺次截取AE=a, EF=c，在线段FA上截取FB=b，则线段AB 即为所求； （2）由（1）中结论及已知条件，求得AB的长，再利用线段中点的性质即可解得AC的长． 【详解】（1）解：如图，线段AB即为所求： （2）如图， ∵ a=6，b=4，c=7， ∴AB=a+c−b=6+7−4=9 ∵点C是线段AB的中点， ∴AC=1 2 AB=1 2 ×9=4.5 即AC的长4.5． 【点睛】本题考查基本作图、线段的和差、线段的中点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型02 作角 5．（2022·江苏镇江·统考中考真题）操作探究题 (1)已知AC是半圆O的直径，∠AOB=( 180 n )°（n是正整数，且n不是3 的倍数）是半圆O的一个圆心角． 操作：如图1，分别将半圆O的圆心角∠AOB=( 180 n )°（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅 用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 交流：当n=11时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=( 180 n )°所对的弧三等分吗？ 探究：你认为当n满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=( 180 n )°所对的弧三等分？ 说说你的理由． (2)如图2，⊙o的圆周角∠PMQ=( 270 7 )°．为了将这个圆的圆周14 等分，请作出它的一条14 等分弧´ CD （要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答】(1)作图见解析；交流：60°−9×( 180 28 )°=( 60 28)°，或19×( 180 28 )°−2×60°=( 60 28)°； 探究：正整数n（n不是3 的倍数），理由见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）由操作可知，如果( 60 n )°可以用60°与( 180 n )°的线性表示，那么该圆弧就可以被三等分 （2）将圆周14 等分就是把∠PMQ=( 270 7 )°所对的圆周角∠QOP所对弧三等分即可,给出一种算法： 180°−540° 7 ×2=180° 7 【详解】（1） 操作： 交流：60°−9×( 180 28 )°=( 60 28)°，或19×( 180 28 )°−2×60°=( 60 28)°； 探究：设60°−k( 180 n )°=( 60 n )°，解得n=3k+1（k为非负整数）． 或设k( 180 n )°−60°=( 60 n )°，解得n=3k−1（k为正整数）． 所以对于正整数n（n不是3 的倍数），都可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=( 180 n )°所对的弧三等 分； （2） 【点睛】本题考查了用圆规作图的基本技能，需要准确理解题意，对于复杂图形的作图要学会将其转化成 基本图形去作，本题第二问利用转化思想，转化为第一问的思路从而得以解决，这也是本题求解的关键． 6．（2023·广东广州·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，AD是⊙O的切线． (1)尺规作图：过点B 作AC的平行线交AD于点E，交⊙O于点F，连接AF（保留作图痕迹，不写作法）； (2)证明：AF=BC； (3)若⊙O的半径长为5 2，BC=4，求EF和BF的长． 【答】(1)见解析； (2)见解析； (3)EF=8 ❑ √5 5 ，BF=2❑ √5 5 ， 【分析】（1）根据题意进行尺规作图即可； （2）由BE∥AC可得∠ABF=∠BAC，从而得出´ AF= ´ BC，最后证得结果； （3）连接AO并延长交BC于点M，连接OC，先通过勾股定理求得CM及AC的长，再证四边形AEBC是 平行四边形，再证△AEF ∽△BEA，然后列比例式即可求得结果． 【详解】（1）作图如下图所示： （2）∵BE∥AC ， ∴∠ABF=∠BAC， ∴´ AF= ´ BC， ∴AF=BC； （3）如图，连接AO并延长交BC于点M，连接OC， ∵AB=AC ，AM过圆心， ∴AM ⊥BC， ∴BM=MC=1 2 BC=2， ∵在Rt △OMC中，OC=5 2 , MC=2 ∴OM= ❑ √OC 2−M C 2=❑ √( 5 2) 2 −2 2=3 2 ， ∴AM=OA+OM=5 2 + 3 2=4， ∴AB=AC= ❑ √A N 2+M C 2= ❑ √4 2+2 2=2❑ √5， ∵AD是⊙O的切线， ∴AM ⊥AD， ∴AD∥BC， ∵BE∥AC ， ∴四边形AEBC是平行四边形， ∴BE=AC=2❑ √5，AE=BC=4，∠AEB=∠ACB， ∴AB=BE， ∴∠BAE=∠BEA， ∵四边形AFBC是圆内接四边形， ∴∠AFE=∠AEB， ∴∠AFE=∠BAE， ∴△AEF ∽△BEA， ∴EF AE = AE EB ， ∴EF 4 = 4 2❑ √5 ， ∴EF=8 ❑ √5 5 ， ∴BF=2❑ √5−8 ❑ √5 5 =2❑ √5 5 ， 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质、圆内接四边形性质、等腰三角形的性质，平行四边 形的判定及性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出△AEF ∽△BEA是解本题的关键． 7．（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模）如图1，△ABC中，∠ACB=90°，∠A的大小保 持不变，点D在斜边AB上，DE⊥AC，垂足为点E．如图2，把△ADE绕着点A顺时针旋转，旋转角为 α (0°<α<90° )，点E的对应点为点P． (1)求作点D的对应点Q（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接PQ，CP，BQ，直线CP，BQ相交于点F，试探究在整个旋转过程中，直线CP，BQ所相交成的 锐角是否保持不变？若不变，请证明：若有变化，说明理由． 【答】(1)见解析 (2)不变，理由见解析 【分析】（1）作∠PAQ=∠BAC，AQ=AD，则点Q即为所求； （2）根据题意得出DE∥BC，则AD AB = AE AC ，进而根据旋转的性质得出AP=AE , AQ=AD，证明 △CAP∽△BAQ得出∠ABQ=∠ACP=∠ACF，根据三角形的外角的性质即可得出∠BFC=∠A， 进而得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，点Q即为所求； （2）解：如图所示，设CF , AB交于点G， ∵DE⊥AC，∠ACB=90°， ∴DE∥BC， ∴AD AB = AE AC ， ∵把△ADE绕着点A顺时针旋转，旋转角为α (0°<α<90° )，点E的对应点为点P，点D的对应点Q， ∴AP=AE , AQ=AD， ∴AP AC = AQ AB ， 又∠CAP=∠DAQ=α， ∴△CAP∽△BAQ， ∴∠ABQ=∠ACP=∠ACF， ∵∠BGC=∠ABF+∠BFC=∠ACF+∠BAC， ∴∠BFC=∠BAC， ∵∠BAC的大小保持不变， ∴∠BFC是定值． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题 的关键． 题型03 作角平分线 8．（2022·江苏扬州·统考中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知 扇形的面积？ 【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被 这条直线平分； 【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形 MNP； 【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的 面积被这条圆弧平分． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【答】见解析 【分析】【初步尝试】如图1，作∠B 的角平分线所在直线即为所求； 【问题联想】如图2，先作M 的线段垂直平分线交M 于点，再以为圆心M 为半径作圆，与垂直平分线的交 点即为等腰直角三角形的顶点； 【问题再解】如图3 先作B 的线段垂直平分线交B 于点，再以为圆心为半径作圆, 与垂直平分线的交点为 M，然后以为圆心，M 为半径作圆与扇形OAB所交的圆弧即为所求． 【详解】【初步尝试】如图所示，作∠B 的角平分线所在直线P 即为所求； 【问题联想】如图，先作M 的线段垂直平分线交M 于点，再以为圆心M 为半径作圆，与垂直平分线的交 点即为等腰直角三角形的顶点； 【问题再解】如图，先作B 的线段垂直平分线交B 于点，再以为圆心为半径作圆, 与垂直平分线的交点为 M，然后以为圆心，M 为半径作圆与扇形OAB所交的圆弧D 即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类 题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法． 9．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践 问题探究：（1）如图1 是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1 卷命题9：“平分一个已知 角．”即：作一个已知角的平分线，如图2 是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB上分别取点和D，使得OC=OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的 平分线． 请写出OE平分∠AOB的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可．他查阅资料： 我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动 角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，重合，则过角尺顶点的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做 法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口，现在学校要在两 条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口的距离和 休息椅D 到岔路口的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意 图5 中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答】（1）SSS；（2）证明见解析；（3）作图见解析； 【分析】（1）先证明△OCE≌△ODE (SSS )，可得∠AOE=∠BOE，从而可得答； （2）先证明△OCM ≌△OCN (SSS )，可得∠AOC=∠BOC，可得OC是∠AOB的角平分线； （3）先作∠BAC的角平分线，再在角平分线上截取AE