第29讲 尺规作图与定义、命题、定理（练习）（原卷版）

第29 讲 尺规作图与定义、命题、定理 目 录 题型01 尺规作图-作线段 题型02 尺规作图-作一个角等于已知角 题型03 尺规作图-尺规作角的和、差 题型04 尺规作图-过直线外一点作这条线的平行 题型05 尺规作图-作三角形（含特殊三角形） 题型06 尺规作图-作角平分线 题型07 尺规作图-作垂直平分线 题型08 尺规作图-作三角形的中线与高 题型09 尺规作图- 画圆 题型10 尺规作图-过圆外一点作圆的切线 题型11 尺规作图-找圆心 题型12 尺规作图-作外接圆 题型13 尺规作图-作内切圆 题型14 尺规作图-作圆内接正多边形 题型15 尺规作图-格点作图 题型16 判断是否命题 题型17 判断命题真假 题型18 举反例说明命题为假命题 题型19 写出命题的逆命题 题型20 反证法证明中的假设 题型21 用反证法证明命题 题型01 尺规作图-作线段 1．（2023·山东青岛·模拟预测）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）： 如图，已知线段m，．求作△ABC，使∠A=90° , AB=m,BC=n． 2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）已知：∠α，线段． 求作：矩形BD，使对角线的长为，夹角为∠α． 3．（2022·山东青岛·统考二模）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹） 如图，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为． 求作：⊙O，使⊙O分别与K、R 相切，圆心与点的距离等于． 4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程． 已知：如图1，线段a，b，及∠MAN=90°． 求作：矩形ABCD，使AB=a，AD=b． 作法：如图2， ①在射线AM，AN上分别截取AB=a，AD=b； ②以B为圆心，b长为半径作弧，再以D为圆心，a长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点C； ③连接BC，DC． ∴四边形ABCD就是所求作的矩形． 根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题： (1)使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)； (2)完成下面的证明． 证明：∵AB=DC=a，AD=¿ ¿b， ∴四边形ABCD是平行四边形( )(填推理的依据)． ∵∠MAN=90°， ∴四边形ABCD是矩形( )(填推理的依据)． 题型02 尺规作图-作一个角等于已知角 5．（2019·河北·模拟预测）“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下： 已知：如图（1），∠B 和上一点． 求作：一个角等于∠B，使它的顶点为，一边为． 作法：如图（2）， （1）在0 上取一点D（D＜），以点为圆心，D 长为半径画弧，交B 于点E； （2）以点为圆心，D 长为半径画弧，交于点F，以点F 为圆心，DE 长为半径画弧，两弧交于点； （3）作射线． 所以∠就是所求作的角 此作图的依据中不含有（ ） ．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 ．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线 6．（2022·山东菏泽·校联考模拟预测）已知：∠O及其一边上的两点A，B． 求作：Rt △ABC，使∠C=90°，且点C在∠O内部，∠BAC=∠O． 7．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△B，＞B，∠＝45°．请用尺规作图法，在边上求作一点P， 使∠PB＝45°．（保留作图痕迹．不写作法） 题型03 尺规作图-尺规作角的和、差 8．（2022 下·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）已知∠α 、∠β，求作∠AOB， 使∠AOB=∠α−∠β． 9．（2023 下·山西晋中·七年级统考期中）如图，已知∠α ，∠β，求作：∠AOB，使 ∠AOB=∠α+∠β．（要求：在指定作图区域用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 10．（2020 下·六年级校考单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠B=2∠α-∠β．（不写作法，标明字 母） 11．（2023 下·广东佛山·七年级佛山六中校考阶段练习）如图，已知∠ABC及AB上一点， (1)利用三角板，过点作BC的垂线，垂足为点E，此时线段AE的长为点到直线BC的距离． (2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在BC下方以点B 为顶点作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC． 题型04 尺规作图-过直线外一点作这条线的平行 12．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图 痕迹，其中正确的是（ ） ． B． ． D． 13．（2023·甘肃天水·统考一模）如图，已知线段MN=a, AR⊥AK，垂足为． （1）求作四边形ABCD，使得点B，D 分别在射线AK , AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°， CD // AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设P，Q 分别为（1）中四边形ABCD的边AB ,CD的中点，求证：直线AD ,BC , PQ相交于同一点． 14．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）已知：如图，直线l，和直线外一点P． 求作：过点P 作直线P，使得P∥l． 作法：①在直线l 上取点，以点为圆心，P 长为半径画圆，交直线l 于，B 两点； ②连接P，以点B 为圆心，P 长为半径画弧，交半圆于点； ③作直线P． 直线P 即为所求作． 根据尺规作图，完成下面的证明： 证明：连接BP． B=P ∵ ， ∴´ BC=¿________， ∴∠ABP=∠BPC（________________________）（填推理依据）， ∴直线P∥直线l（________________________）（填推理依据）． 15．（2022·北京大兴·统考二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图 过程． 已知：直线l 和直线l 外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ∥l． 作法：如图， ①在直线l 上任取两点，B； ②以点P 为圆心，B 长为半径画弧，以点B 为圆心，P 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点Q； ③作直线PQ． 直线PQ 就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵PA=QB , AB=PQ， ∴四边形PBQ 是平行四边形（___________）（填写推理的依据）． ∴PQ∥AB（______________）（填写推理的依据）． 即PQ∥l 题型05 尺规作图-作三角形（含特殊三角形） 16．（2023·浙江台州·统考一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（ ）． ． B． ． D． 17．（2021·安徽·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC ,∠A=50°，根据作图痕迹，可知 ∠CBD=¿（ ） ．80° B．60° ．45° D．50° 18．（2020·山东东营·统考模拟预测）如图是作ΔABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ） ．已知两边及夹角 B．已知三边 ．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 19．（2019·甘肃兰州·统考一模）已知： ∠α，直线l及l上两点 ， B． 求作： Rt△B ，使点 在直线l的上方，且∠B=90°， ∠B=∠α． 20．（2021·吉林·统考一模）图12 是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长 均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上； （1）在图1 中画出以AC为底边的等腰直角△ABC，点B在小正方形顶点上；（2）在图2 中画出以AC 为腰的等腰△ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8 题型06 尺规作图-作角平分线 21．（2021·山东青岛·统考一模）已知∠α，线段，求作：等腰△ABC，使得顶角∠A=∠α，BC上 的高为． 22．（2023·吉林长春·校联考一模）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ） ． B． ． D． 23．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）如图，在△B 中，B=，∠=36°，由图中的尺规作图得到 的射线与交于点D，则以下推断错误的是（ ） ．BD=BC B．AD=BD ．∠ADB=108° D．CD=1 2 AD 24．（2023·陕西·模拟预测）如图，在△B 中，B＝，BD 是△B 的角平分线． (1)作∠B 的角平分线，交B 于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：D＝E． 25．（2023·甘肃酒泉·统考一模）如图，四边形ABCD中，B∥D，AB=BC，AD⊥DC于点D． (1)用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接AE．求证：四边形ABCE是菱形． 题型07 尺规作图-作垂直平分线 26．（2023·山东泰安·统考一模）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，通过尺规作图得到的直线M 分别交 B，于D，E，连接D．若CE=1 3 AE=1，则D＝ ． 27．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考一模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°， ∠B=20°，分别以点，B 为圆心，大于1 2 AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，，作直线MN，交 BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为 ． 28．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D 是△ABC的角平分线，分别以点，D 为圆 心，大于1 2 AD的长为半径作弧，两弧交于点M，，作直线M，分别交B，D，于点E，，F，连接DE， DF． (1)由作图可知，直线M 是线段D 的______． (2)求证：四边形EDF 是菱形． 题型08 尺规作图-作三角形的中线与高 29．（2021·江西·校联考模拟预测）如图，在正方形格中，△ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度直 尺完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1 中，作△ABC的高AM； （2）在图2 中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点） 30．（2022·浙江舟山·校考一模）在平面直角坐标系中，画出点A (0,2)，点B (4,0)，点C与点A关于x轴 对称． （1）连结AB、AC、BC，并画出△ABC的BC边上的中线AE． （2）求出△ABE的面积． 31．（2022·陕西西安·统考一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且CD=2BD，请用尺规作 图法，在边上找一点P，使得△PAD的面积等于△BAD的面积（保留作图痕迹，不写作法）． 题型09 尺规作图- 画圆 32．（2022·福建·一模）如图，在Rt △ABC中∠C=90°，∠A<45°． (1)请作出经过、B 两点的圆，且该圆的圆心落在线段上（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）； (2)在（1）的条件下，已知∠BOC=α，将线段B 绕点逆时针旋转α后与⊙交于点E．试证明：B、、E 三点共线． 33．（2022·山东青岛·校考二模）已知：△ABC．． 求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上， 34．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）如图，Rt △ABC中，∠ABC =90°，请用尺规作图求 作⊙P，使点P 在BC上且使⊙P与AC ，AB都相切．（不写作法，保留作图痕迹） 题型10 尺规作图-过圆外一点作圆的切线 35．（2023·福建福州·闽清天儒中学校考模拟预测）如图，点P 是⊙O外一点，连接OP交⊙O于点I． (1)过点P 作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为，B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接AB，求证：点是△ABP的内心． 36．（2023·山东·统考一模）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，∠BAC=45°，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切． 题型11 尺规作图-找圆心 37．（2023·广西·统考三模）如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上 的三点，B，． (1)用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在△ABC中，连接AO交BC于点E，连接OB，当AB=AC=10cm ,BC=16cm时，求图片的半径 R； (3)若直线l 到圆心的距离等于25 3 ，则直线l 与圆________（填“相交”“相切”或“相离”） 38．（2021·上海奉贤·统考三模）如图，在单位长度为1 的正方形格中，一段圆弧经过格的交点、B、． （1）请完成如下操作： ①以点为原点、格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接D、D． （2）请在（1）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标： 、D ； ⊙D ② 的半径＝ ； （3）求∠的正弦值． 题型12 尺规作图-作外接圆 39．（2023·江西·统考二模）如图，一个含有30°角的直角三角形内接于圆，点D是AC上的点， AD=2 DC，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1 中作直角三角形的外心O； (2)在图2 中作直角三角形的内心H． 40．（2022·福建龙岩·校联考一模）如图，Rt△B 中，∠＝90°， (1)作Rt△B 的外接圆⊙（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，过点作⊙的切线D，求证：∠＝∠DB． 题型13 尺规作图-作内切圆 42．（2023·陕西渭南·校考一模）如图，已知△ABC，请用尺规作图法作出△ABC的内切圆⊙O. (只 保留作图痕迹，不写作法和证明) 题型14 尺规作图-作圆内接正多边形 43．（2022·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知为⊙O的直径．请用尺规作图法，作出⊙O 的内接正方形BD．（保留作图痕迹．不写作法） 44．（2019·江苏扬州·校联考一模）如图，已知等边△B，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作 图（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （1）作△B 的外接圆圆心； （2）设D 是B 边上一点，在图中作出一个等边△DF，使点F，点分别在边B 和上； （3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFG． 45．（2018·山西太原·统考一模）已如：⊙与⊙上的一点 （1）求作：⊙的内接正六边形BDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） （2）连接E，BF，判断四边形BEF 是否为矩形，并说明理由． 题型15 尺规作图-格点作图 46．（2023·吉林长春·校考模拟预测）图①、图②、图③均是4×4 的正方形格，每个小正方形的顶点称 为格点，△B 的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的格中，分别按要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找一点D，连结BD，使得△BD 的面积等于△B 面积的1 2． (2)在图②中的△B 的内部找一点E，连结E、BE，使得△BE 的面积等于△B 面积的1 2． (3)在图③中的△B 的内部找一点F，连结F、BF、F，使得△BF、△F 和△BF 的面积相等． 47．（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在6×6的正方形格中，、B、、D 均为小正方形的顶点，请仅用 无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图1 中作出AB边上的点E，使得BE=4 AE； (2)在图2 中作出AC边上的点F（不与点重合），连接DF，使得DF=BD； (3)在图3 中作出AB边上的点G，使得tan∠BCG= 3 4 ． 48．（2023·江苏宿迁·模拟预测）用无刻度直尺作图： (1)如图1，在AB上作点E，使∠ACE=45°； (2)如图1，点F 为AC与格的交点，在AB上作点D，使∠ADF=∠ACB； (3)如图2，在BC上作点，使CN=5 BN； (4)如图2，在AB上作点M，使∠ACM=∠ABC． 题型16 判断是否命题 49．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，已知直线l和直线l外一点P，下列说法不正确的是（ ） ．过点P有且只有一条直线与直线l平行 B．过点P有且只有一条直线与直线l垂直 ．在连接点P和直线l上各点的线段中，与直线l垂直的线段最短 D．过点P作直线l的垂直平分线，只能作一条 50．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考三模）以下不是命题的是（ ） ．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．定理一定是真命题 ．画线段AB=5m D．全等三角形对应角相等 题型17 判断命题真假 51．（2023·江苏泰州·统考一模）下列4个命题中，真命题是（ ） ．正五边形是中心对称图形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ．同位角相等 D．函数y= 1 x 中，y随x的增大而减小 52．（2021·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）命题“如果x= y，那么x 2= y 2”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 53．（2023·湖南娄底·统考一模）下列命题中是假命题的是（ ） ．同位角相等 B．单项式3a 2b的次数是3 ．两点之间线段最短 D．菱形的对角线互相垂直 54．（2023·广东深圳·校考模拟预测）下列命题是真命题的是（ ） ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．若三条直线a⊥c，b⊥c，则a∥b ．相等的弧所对的弦相等 D．若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0 55．（2022·北京海淀·校考模拟预测）下列命题中的假命题是（ ） ．对角线互相平分的四边形是中心对称图形 B．有一个角是直角的平行四边形是轴对称图形 ．对角线互相垂直的平行四边形是中心对称图形 D．等边三角形既是轴对轴图形，又是中心对称图形 题型18 举反例说明命题为假命题 56．（2020·北京东城·二模）判断命题“如果n<1，那么n 2−1<0”是假命题，只需举出一个反例，反例 中的可以为（ ） ．1 2 B．−1 2 ．0 D．−2 57．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，Rt △ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D， CE是△ABC的中线．要说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，可以作为反例的两个 三角形是（ ） ．△ACE和△BCE B．△BCE和△ABC ．△CDE和△BCD D．△ACD和△BCD 58．（2023·浙江杭州·校联考二模）能说明命题“若X 2>16，则X>4”是假命题的一个反例可以是 ． 59．（2023·江苏无锡·校考二模）能说明命题“两个无理数a、b的和一定是无理数”是假命题的一组a， b的值可以是 ． 题型19 写出命题的逆命题 60．（2023·广东广州·统考二模）下列命题的逆命题是假命题的是（ ） ．在同一个三角形中，等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 ．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 61．（2023·山东聊城·统考三模）下列命