第11讲 一次函数的应用（练习）（原卷版）

第11 讲 一次函数的应用 目 录 题型01 分配问题 题型02 最大利润问题 题型03 行程问题 题型04 几何问题 题型05 工程问题 题型06 分段计费 题型07 体积问题 题型08 调运问题 题型09 计时问题 题型10 现实生活问题 题型01 分配问题 1．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买、B 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台B 型机器人每天少搬运10 吨，且型机器人每天搬 运540 吨货物与B 型机器人每天搬运600 吨货物所需台数相同． (1)求每台型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台型机器人售价12 万元，每台B 型机器人售价2 万元，该公司计划采购、B 两种型号的机器人共30 台，必须满足每天搬运的货物不低于2830 吨，购买金额不超过48 万元． 请根据以上要求，完成如下问题： ①设购买型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式； ②请你求出最节省的采购方，购买总金额最低是多少万元？ 2．（2021·江苏连云港·统考中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2 瓶型消毒液 和3 瓶B 型消毒液共需41 元，5 瓶型消毒液和2 瓶B 型消毒液共需53 元． （1）这两种消毒液的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种消毒液共90 瓶，且B 型消毒液的数量不少于型消毒液数量的1 3，请设计出最省 钱的购买方，并求出最少费用． 3．（2018·湖南湘潭·统考中考真题）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内 安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2 个温馨提示牌和3 个垃圾箱共需550 元，且垃圾箱的单价 是温馨提示牌单价的3 倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放48 个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100 个，且费用不超过10000 元， 请你列举出所有购买方，并指出哪种方所需资金最少？最少是多少元？ 4．（2021·福建龙岩·统考一模）去年在我县创建“国家文明县城”行动中，某社区计划将面积为3600m 2 的一块空地进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能 完成绿化面积的18 倍，如果两队各自独立完成面积为450m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4 天．甲队 每天绿化费用是105 万元，乙队每天绿化费用为05 万元． （1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积（单位：m 2）的绿化； （2）由于场地原因，两个工程队不能同时进场绿化施工，现在先由甲工程队绿化若干天，剩下的绿化工 程由乙工程队完成，要求总工期不超过48 天，问应如何安排甲、乙两个工程队的绿化天数才能使总绿化费 用最少，最少费用是多少万元？ 5．（2021·黑龙江·统考中考真题）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模， 某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2 件甲种农机具和1 件乙种农机具共 需35 万元，购进1 件甲种农机具和3 件乙种农机具共需3 万元． （1）求购进1 件甲种农机具和1 件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10 件，且投入资金不少于98 万元又不超过12 万元， 设购进甲种农机具m 件，则有哪几种购买方？哪种购买方需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价07 万元，每件乙种农机具 降价02 万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）， 请直接写出再次购买农机具的方有哪几种？ 题型02 最大利润问题 6．（2022·贵州毕节·统考中考真题）2022 北京冬奥会期间，某店直接从工厂购进、B 两款冰墩墩钥匙扣， 进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别 价格 款钥匙扣 B 款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)店第一次用850 元购进、B 两款钥匙扣共30 件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该店计划再次购进、B 两款冰墩墩钥匙扣共80 件（进货价和销售价 都不变），且进货总价不高于2200 元．应如何设计进货方，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，店打算把B 款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4 件．经调查发 现，每降价1 元，平均每天可多售2 件，将销售价定为每件多少元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利 润为90 元？ 7．（2022·湖北十堰·统考中考真题）某商户购进一批童装，40 天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销 售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y={ 2 x，0<x ≤30 −6 x+240，30<x ≤40 ，销售单价p（元/件）与 销售时间x（天）之间的函数关系如图所示． (1)第15 天的日销售量为_________件； (2)当0<x ≤30时，求日销售额的最大值； (3)在销售过程中，若日销售量不低于48 件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？ 8．（2022·江苏苏州·统考中考真题）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示： 进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 (1)求甲、乙两种水果的进价； (2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共 200 千克，且投入的资金不超过3360 元．将其中的m 千克甲种水果和3m 千克乙种水果按进价销售，剩余 的甲种水果以每千克17 元、乙种水果以每千克30 元的价格销售．若第三次购进的200 千克水果全部售出 后，获得的最大利润不低于800 元，求正整数m 的最大值． 9．（2022·山东东营·统考中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售 经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000 元购进甲种水果比用1200 元购进乙种水果 的重量多10 千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6 元/千克和8 元/千克 (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)若水果店购进这两种水果共150 千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2 倍，则水果店应如 何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 题型03 行程问题 10．（2022·吉林长春·统考中考真题）已知、B 两地之间有一条长440 千米的高速公路．甲、乙两车分别从、 B 两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100 千米/时的速度匀速行驶200 千米后与乙车相遇，再以 另一速度继续匀速行驶4 小时到达B 地；乙车匀速行驶至地，两车到达各自的目的地后停止．两车距地的 路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示． (1)m=¿_______，n=¿_______； (2)求两车相遇后，甲车距地的路程y 与x 之间的函数关系式； (3)当乙车到达地时，求甲车距地的路程． 11．（2022·黑龙江·统考中考真题）为抗击疫情，支援B 市，市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B 市． 甲、乙两辆货车从市出发前往B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B 市．甲车卸载 蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B 市．乙车维修完毕后 立即返回市．两车离市的距离y（km）与乙车所用时间x（）之间的函数图象如图所示． (1)甲车速度是_______km/，乙车出发时速度是_______km/； (2)求乙车返回过程中，乙车离市的距离y（km）与乙车所用时间x（）的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）； (3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答． 12．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有，B，三地，甲从B 地骑电瓶车 到地，同时乙从B 地骑摩托车到地，到达地后因故停留1 分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原 路原速前往地，结果乙比甲早2 分钟到达地，两人均匀速运动，如图是两人距B 地路程y（米）与时间x （分钟）之间的函数图象． 请解答下列问题： (1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟； (2)求图象中线段FG 所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值 范围； (3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600 米？请直接写出答． 13．（2021·浙江丽水·统考中考真题）李师傅将容量为60 升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资 到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、 加油的时间不计．当油箱中剩余油量为10 升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为01 升/千 米，请根据图象解答下列问题： （1）直接写出工厂离目的地的路程； （2）求s 关于t 的函数表达式； （3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t 在怎样的范围内货车应进站加油？ 14．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）甲、乙两车分别从相距360km 的富区、哈市两地出发，匀速行驶， 先相向而行，乙车在甲车出发1 后出发，到达富区后停止行驶，甲车到达哈市后，立即按原路原速返回富 区（甲车调头的时间忽略不计），甲、乙两车距哈市的路程y1（单位：km），y2（单位：km）与甲车出 发时间x（单位：）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)乙车的行驶速度是______，a=¿______；乙车距哈市的路程y2与甲车出发时间x 之间的函数解析式是__ ____（不写自变量的取值范围） (2)甲车与乙车第一次相遇时，距离富区的路程是多少千米？ (3)甲车出发多少小时后两车相距为100km？请直接写出答． 15．（2023·天津西青·统考一模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小明家、体育场、文具店在同一直线上，体育场离小明家25km，文具店离小明家15km．小明从家 出发跑步15min到达体育场，在体育场锻炼了15min后，又走了15min到文具店购买文具，然后走回家． 给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离y km与离开家的时间x min之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间/ min 6 9 20 30 50 离家的距离/km 1 25 (2)填空： ①体育场到文具店的距离为______km； ②小明在文具店购买文具所用的时间为______min； ③小明从文具店走回家的速度为 km/min； ④当小明离家的距离为17km时，他离开家的时间为______min． (3)当0≤x ≤45时，请直接写出y关于x的函数解析式． 16．（2022·天津河东·统考一模），B两地相距200 千米．早上8：00 货车甲从地出发将一批物资运往B地， 行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的 物资．货车乙遇到甲后，用了18 分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后以相同的速度返回B 地，两辆 货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不 计）． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 货车甲离开A地的时间/h 01 08 16 3 货车甲离开A地的距离/ km 5 ________ 80 ________ (2)填空： ①事故地点到B地的距离为________千米； ②货车乙出发时的速度是________千米/小时； ③货车乙赶到事故地点时，为________时________分； ④货车乙从事故地点返回B地时间为________时________分． (3)请直接写出货车乙在整个运输过程中的路程y关于时间x的函数解析式． 题型04 几何问题 17．（2023·重庆江北·校考一模）如图1，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，动点P 以每秒1 个单位的 速度，从点出发，按A →B→C →D的顺序在边上运动．与点P 同时出发的动点Q 以每秒1 2个单位的速 度，从点D 出发，在射线DC上运动．当动点P 运动到点D 时，动点P、Q 都停止运动．在运动路径上， 设点P 的运动时间为t 秒，此时点P、点B 之间的路径距离与点P、点之间的路径距离之和为y1，动点Q 的运动路程为y2． (1)分别求出y1，y2与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； (2)在如图2 的平面直角坐标系中，画出y1，y2的函数图象，并根据图象写出函数y1的一条性质：________ _________________； (3)根据图象直接写出当y2+1≥y1时，t 的取值范围____________． 18．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=3， BC=2 AD=4．点P从C出发，沿着折线CB→BA运动，到达点A停止运动．设点P运动的路程为x，连 接DP，记△DPC的面积为y，请解答下列问题： (1)直接写出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合图象，当△DPC的面积大于四边形ABCD面积的4 9 时，直接写出x 的取值范围．（结果保留一位 小数，误差不超过02） 19．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC ，BD交于点， AC=6，BD=4，动点P 从点出发，沿着折线→→B 运动，速度为每秒1 个单位长度，到达B 点停止运 动，设点P 的运动时间为t 秒，△PAD的面积为y． (1)直接写出y 关于t 的函数表达式，并注明自变量t 的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y 与t 的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当y ≤4时t 的取值范围． 20．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，在Rt △ABC中，∠ABC=90°， AB=3,BC=4，点是AC的中点，动点P 从点出发，沿折线A →B→C运动，到达点停止运动，设点P 运动的路程为x，△AOP的面积为y，请解答下列问题： (1)请直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出y 与x 的函数图像，并写出它的一条性质：_______________________________ ____； (3)若直线y=kx+2与该函数图像有且只有2 个交点，则k 的取值范围为______． 21．（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线y=kx+15(k ≠0)经 过点C (3,6)，与x 轴交于点，与y 轴交于点B．线段CD平行于x 轴，交直线y= 3 4 x于点D，连接OC， AD． （1）填空：k=¿ __________．点的坐标是（__________，__________）； （2）求证：四边形OADC是平行四边形； （3）动点P 从点出发，沿对角线OD以每秒1 个单位长度的速度向点D 运动，直到点D 为止；动点Q 同 时从点D 出发，沿对角线OD以每秒1 个单位长度的速度向点运动，直到点为止．设两个点的运动时间均 为t 秒． ①当t=1时，△CPQ的面积是__________． ②当点P，Q 运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t 的值． 22．（2022·河北保定·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点（﹣5，m），B（m 3 ﹣，m），其中m＞ 0，直线y＝kx 1 ﹣与y 轴相交于点． (1)求点坐标 ． (2)若m＝2， ①求△B 的面积； ②若点和点B 在直线y＝kx 1 ﹣的两侧，求k 的取值范围； (3)当k＝﹣1 时，直线y＝kx 1 ﹣与线段B 的交点为P 点（不与点、B 点重合），且P＜2，求m 的取值范围． 23．（2023·天津西青·统考一模）在平面直角坐标系中，O为原点，△DOE是等腰直角三角形， ∠ODE=90°，DO=DE=3，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形ABCO的顶点B (4,2)，点 C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将△DOE沿x轴向右平移，得到△D 'O ' E '，点D，O，E 的对应点分别为D '，O '，E '． (1)如图1，当E 'O '经过点A时，求点E '的坐标； (2)设OO '=t，△D 'O ' E '与矩形ABCO重叠部分的面积为S； ①如图②，当△D 'O ' E '与矩形ABCO重叠部分为五边形时，D ' E '与AB相交于点M，E 'O '分别与AB， BC交于点N，P，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②请直接写出满足S=7 2的所有t的值． 题型05 工程问题 24．（2023·江苏南通·统考中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地． 现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息— 工程队 每天施工面积（单位：m 2 ） 每天施工费用（单位：元） 甲 x+300 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工1800m 2所需天数与乙工程队施工1200m 2所需天数相等． (1)求x 的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22 天，且完成的 施工面积不少于15000m 2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 25．（2023·吉林长春·统考一模）为推进乡村振兴发展，某区决定对、B 两村之间的公路进行改造，并由 甲工程队从村向B 村方向修筑，乙工程队从B 村向村方向修筑．已知甲工程队先施工2 天，乙工程队再开 始施工，乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下 图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息 解答下列问题： (1)乙工程队每天修公路_________米． (2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． (3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 26．（2020·山东济宁·统考二模）某县为贯彻落实《中华人民共和国河道管理条例》，对辖区内河道阻水 障碍物进行清理．甲、乙两个工程队共同承包此项清理工程，甲队单独施工完成此项工程比乙队单独施工