第11讲 一次函数的应用（讲义）（原卷版）

第11 讲 一次函数的应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 题型01 分配问题 题型02 最大利润问题 题型03 行程问题 题型04 几何问题 题型05 工程问题 题型06 分段计费问题 题型07 体积问题 题型08 调运问题 题型09 计时问题 题型10 现实生活相关问题 考点要求 新课标要求 命题预测 一次函数 的应用  能用一次函数解决实际问题 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理 解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和 方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考 中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的 是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息， 建立函数关系式是解题的关键 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方的设计问 题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x 和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x 的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4）求最值的本质为求最优方，解法有两种： ①可将所有求得的方的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方及最 值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或 线段涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 题型01 分配问题 【例1】（2023·陕西咸阳·校考一模）某文具商店文具促销给出了两种优惠方：①买一支钢笔赠送一本笔记 本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15 元， 每本笔记本定价为4 元．某顾客准备购买x 支钢笔和笔记本(x+10)本，设选择第一种方购买所需费用为y1 元，选择第二种方购买所需费用为y2元． (1)请分别写出y1，y2与x 之间的关系式： ， ； (2)若该顾客准备购买10 支钢笔，且只能选择其中一种优惠方，请你通过计算说明选择哪种方更为优惠． 【变式1-1】（2023·陕西西安·校考一模）李老师计划组织学生暑假去北京研学旅行，经了解，现有甲、乙 两家旅行社比较合适，报价均为每人2000元，且提供的服务完全相同，针对组团旅游的游客，甲旅行社表 示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按八五折收费，超过20人时，其中 20人每人仍按报价的八五折收费，则超出部分每人按七折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社研学旅行 的人数均为x人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团研学旅行的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式； (2)若李老师组团参加研学旅行的人数共有25人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助李老师选择收取 总费用较少的一家． 【变式1-2】（2022·陕西西安·统考三模）某校为改善办学条件，计划购进、B 两种规格的书架，经市场调 查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如表： 规 格 线下 线上 单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个） 240 0 210 20 B 300 0 250 30 (1)如果在线上购买、B 两种书架20 个，共花费y 元，设其中种书架购买x 个，求y 关于x 的函数关系式； (2)在（1）的条件下，若购买B 种书架的数量不少于种书架的2 倍，请求出花费最少的购买方，并计算按 照这种购买方线上比线下节约多少钱． 【变式1-3】（2021·贵州六盘水·统考二模）某班举行 学党史 知识竞赛活动，班主任安排小颖购买， “ ” B 两种物品，如图是小颖购买物品前与同学的对话情景： (1)请计算出，B 两种物品的单价； (2)本次竞赛活动共需购买20 个物品，且物品的数量不少于B 物品数量的一半，请设计出最省钱的购买方， 并说明理由． 题型02 最大利润问题 【例2】（2023·云南德宏·统考一模）某房地产开发公司计划建、B 两种户型的经济适用住房共80 套，该 公司所筹资金不少于2090 万元，但不超过2122 万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和 售价如下表： B 成本（万元/套） 25 28 售价（万元/套） 30 34 (1)该公司对这两种户型住房共有几种建房方？ (2)若该公司所建的两种户型住房可全部售出，则采取哪一种建房方获得利润最大？最大利润是多少？ 【变式2-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）西安白鹿原樱桃以果大、汁多味甜、品质优良等特点远近闻 名．袁浪浪家种植了，B 两个品种的樱桃共4 亩，两种樱桃的成本（包括种植成本和设备成本）售价如表： 品种 种植成本（万元/亩） 设备成本（万元/亩） 售价（万元/亩） 1 02 35 B 15 03 42 设种植品种樱桃x 亩，若4 亩地全部种植两种樱桃共获得利润y 万元（利润=售价-种植成本-设备成本）． (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若品种樱桃的种植亩数不少于B 品种樱桃种植亩数的15 倍，则品种樱桃种植多少亩时利润最大？并求 最大利润． 【变式2-2】（2023·河南洛阳·统考二模）西峡猕猴桃是河南省西峡县特产．某店新进甲、乙两种猕猴桃， 已知购进10件甲种猕猴桃和15件乙种猕猴桃需950元，购进15件甲种猕猴桃和20件乙种猕猴桃需1350元． (1)求甲、乙两种猕猴桃的进货单价； (2)若该店购进甲、乙两种猕猴桃共100件，甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进价 的2倍标价后再打七折销售，若甲、乙两种猕猴桃全部售完后的销售总额不低于5100元（不考虑损耗）， 请你帮店设计利润最大的进货方，并说明理由． 【变式2-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）2022年第19届亚运会（ (T he19t h AsianGamesHangz hou2022)），简称 杭州 “ 2022年亚运会 ，将于 ” 2023年9月23日至10月 8日在中国浙江杭州举行．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为 江南忆 ，出自唐朝诗人白居易的名句 江南忆，最忆是杭州 ．它融合了杭州的历史人文、自然生态 “ ” “ ” 和创新基因，三个吉祥物分别取名 琮琮 宸宸 莲莲 ．某专卖店购进 “ ”“ ”“ ” A、B两种杭州亚运会吉祥 物礼盒共50个，共花去7500元，这两种吉祥物礼盒的进价、售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） A种礼 盒 168 198 B种礼 盒 138 158 (1)求A、B两种吉祥物礼盒分别购进了多少个； (2)由于销售情况很好，第一次购进的50个礼盒很快就销售完了，专卖店老板又计划用不超过12000元购进 A、B两种礼盒共80个，则应该如何进货，才能使得第二批礼盒全部售完后获得最大利润？最大利润为多 少？ 题型03 行程问题 【例3】（2023·湖南娄底·统考一模）周末，小明和小亮相约到公游玩．已知小明、小亮家到公的距离相同， 小明先骑车6 min到达超市，购买了一些水果和饮用水，然后再骑车10min到达公．小明出发10min后， 小亮骑车从家出发直接去公．下面给出的图象反映的是小明、小亮骑行的情况．请根据相关信息，解答下 列问题： (1)填表： 小明离开家的时间/ min 4 6 20 1500 (2)填空： ①小明在超市购物的时间是 min； ②超市到公的距离是 m； ③小亮骑行的速度是 m/min； ④小亮到达公时，小明距离公还有 m； (3)解答：当0≤x ≤31时，请直接写出y1关于x的函数解析式． 【变式3-1】（2022·浙江绍兴·统考一模）绍兴首条智慧快速路于今年3 月19 日正式通车．该快速路上M， N两站相距20 km，甲、乙两名杭州亚运会会务工作志愿者从M站出发前往N站附近的比赛场馆开展服务． 甲乘坐无人驾驶小巴，乙乘坐无人驾驶汽车．图中OC，AB分别表示甲、乙离开M站的路程s (km )与时间 t (min)的函数关系的图象． (1)填空：甲比乙提前______分钟出发；无人驾驶小巴的速度为______km/ min；当乙乘坐无人驾驶汽车到 达N站时，无人驾驶小巴离N站还有______km． (2)求乙离开M站的路程s (km )与时间t (min)的函数关系式并说明图中两函数图象交点P的实际意义． 【变式3-2】（2022·江苏无锡·宜兴市实验中学校考二模）疫情期间，某志愿者组织筹集两车物资送往疫情 严重地区．图中的折线、线段分别表示甲，乙两车所走的路程y 甲（千米），y 乙（千米）与时间x（小时） 之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： (1)由于汽车发生故障，甲车在途中停留了______小时； (2)甲车排除故障后，立即提速赶往．请问甲车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？ (3)为了保证及时联络，甲、乙两车在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过45 千米，请通过计算 说明，按图象所表示的走法是否符合约定． 【变式3-3】（2021·河南平顶山·统考二模）小明和小亮相约从学校前往博物馆，其中学校距离博物馆900 米小明因有事，比小亮晚一些出发，图中y1=k1t、y2=k2t+b分别是小明、小亮行驶的路程y与小明追赶 时间t之间的关系． （1）观察图象可知，小亮比小明先走了_______米． （2）求k1、k2的值，并解释k2的实际意义． （3）通过计算说明，谁先到博物馆． 题型04 几何问题 【例4-1】（2021·广东广州·二模）如图所示，直线y=2 3 x+2分别与x 轴、y 轴交于点、B，以线段AB为 边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，则过B、两点直线的解析式为（ ） ．y=1 3 x+2 B．y=−1 5 x+2 ．y= 1 4 x+2 D．y=−2 x+2 【例4-2】（2023·江苏盐城·校考三模）如图，菱形ABCD的顶点A(1,0)、B(7,0)在x轴上， ∠DAB=60°，点E在边BC上且横坐标为8，点F为边CD上一动点，y轴上有一点P(0,−5 3 ❑ √3)．当点 P到EF所在直线的距离取得最大值时，点F的坐标为 ． 【变式4-1】（（2022·安徽滁州·统考一模）如图，直线l 对应的函数表达式为y=x+1，在直线l 上，顺次 取点A1 (1,2)，A2 (2,3)，A3 (3,4 )，A4 (4,5)， ， … … An (n,n+1)，构成的形如“7”的图形的阴影部分面积 分别为S1=3×2−2×1；S2=4×3−3×2；S3=5×4−4×3；… … 猜想并填空： (1)S5=¿______； (2)Sn=¿______（用含的式子表示）； (3)S1+S2+S3+⋅⋅⋅+Sn=¿______（用含的式子表示，要化简）． 【变式4-2】（（2019·山东青岛·统考二模）阅读材料解答问题： 自主学习：在平面直角坐标系中，对于任意两点的 非常距离 给出如下定义： “ ” 若|x1﹣ x2|≥|y1﹣ y2|，则点P1与点P2的 非常距离 为 “ ” |x1﹣ x2|； 若|x1﹣ x2|＜|y1﹣ y2|，则点P1与点P2的 非常距离 为 “ ” |y1﹣ y2|． 例如：如图1 所示，点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1 3| ﹣＜|2 5| ﹣，所以点P1与点P2的 非常距离 “ ” 为|2 5| ﹣＝3，也就是图1 中线段P1Q 与线段P2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P1Q 与垂直于x 轴的直线P2Q 的交点） 问题解决： （1）计算：平面直角坐标系中两点（﹣1，0），B（2，3）的 非常距离 ． “ ” 应用拓展： （2）已知点（3 2，0），点D 为y 轴上的一个动点： ①若点与点D 的 非常距离 为 “ ” 3，则点D 的坐标为 ； ②在D 点运动过程中，点与点D 的 非常距离 的最小值为 “ ” ； 问题延伸： （3）已知：E 是直线y＝3 4 x+3 上的一个动点，如图2，点F 的坐标是（0，1），求点E 与点F 的 非常距 “ 离 的最小值及相应点 ” E 的坐标． 【变式4-3】（（2022·河北邢台·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象l1经过 点A (−2,4 )，且与正比例函数y=−2 3 x的图象l2交于点B (m,2)，与x轴交于点C． (1)求m的值及直线l1的解析式； (2)求S△BOC的面积； (3)设直线x=a与直线l1，l2交于E，F两点，当S△EFB=3 S△BOC时，请直接写出a的值． 【变式4-4】（（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， ∠D=90°，过点A作AE⊥BC于点E，AB=5，BC=7，BE=3．动点P从点B出发，沿B→A →D 运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，△APE的面积为y1．． (1)请直接写出y1与x 之间的函数关系式以及对应的x 的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出y1的图象，并写出函数y1的一条性质； (3)若直线y2的图象如图所示，结合你所画y1的函数图象，直接写出当y1> y2时x 的取值范围．（保留一位 小数，误差不超过02） 题型05 工程问题 【例5】（2022·山东泰安·统考二模）2020 年至2022 年，某区计划三年集中攻坚农村公路，提升修建200 公里农村公路．已知施工队每天修建公路长度是B 施工队每天修建公路长度的2 倍，若、B 两个施工队分 别独立完成整个任务，施工队比B 施工队少用25 天． (1)求B 施工队每天修建公路长度是多少公里； (2)若该区需付给施工队的费用为每天40 万元，需付给B 施工队的费用为每天12 万元．考虑到要不超过20 天完成整个工程，该区安排B 施工队先单独完成一部分，剩下的部分两个施工队再合作完成．求B 施工队 先单独做多少天，该区需付的全部费用最低？最低费用是多少万元？ 【变式5-1】（（2021·山东淄博·统考二模）为准备参加 全国文明城市 评选，某市计划对 “ ” 200公里的道 路进行维护．已知甲工程队每天维护道路的长度是乙工程队每天维护道路的长度的2倍，若甲、乙两个工 程队分别独立完成整个任务，甲工程队比乙工程队少用25天． （1）求乙工程队每天维护道路的长度是多少公里； （2）若该市需付给甲工程队的费用为每天40万元，需付给乙工程队的费用为每天12万元．考虑到要不超 过20天完成整个工程，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成，乙工程 队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？ 题型06 分段计费问题 【例6】（2023·湖南长沙·校考一模）某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段， 0 15 ﹣ 吨为基本段，15 22 ﹣ 吨为极限段，超过22 吨为较高收费段，且规定每月用水超过22 吨时，超过的部 分每吨4 元，居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示： (1)求出基本段每吨水费，若某用户该月用水5 吨，问应交水费多少元？ (2)写出y 与x 的函数解析式． (3)若某月一用户交水量48 元，则该用户用水多少吨？ 【变式6-1】（2021·陕西西安·统考三模）某景区售票处规定：非节假日的票价打7 折售票．节假日根据团 队人数x（人）实行分段售票，若x ≤10，则按原票价售票；若x>10，则其中10 人按原票价售票，超过部 分的按原价打8 折售票．某旅行社带团到该景区游览，设在非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款 为y2元，y1、y2与x 之间的函数图象如图所示． （1）图象中m=¿_______，n=¿_________． （2）该旅行社在今年5 月1 日带甲团（人数超过10 人）与5 月10 日（非节假日）带乙团到该景区游览， 两团合计100 人，共付门票款6240 元，求甲团人数与乙团人数． 【变式6-2】（2021 上·江苏镇江·八年级统考期末）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地 区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y （元）之间的函数图象如图所示． (1)月用电量为50 度时，应交电费______元． (2)当x≥100 时，求y 与x 之间的函数关系式． (3)月用电量为150 度时，应交电费______元． 题型07 体积问题 【例7】（2020·浙江绍兴·统考模拟预测）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个高都为10m 圆柱形容 器（甲、丙的底面积相同），用两个相同的管子在容器的6m 高度处连通（即管子底离容器底6m，管子的 体积忽略不计）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高2m，如图①所示．若每分钟同时向乙、丙容器 中注入相同量的水，到三个容器都注满水停止，乙、丙容器中的水位（m）与注水时间t（m）的图象如图 ②所示．若乙比甲的水位高2m 时，注水时间m 分钟，则m 的值为（ ） ．3 或5 B．4 或6 ．3 或13 3 D．5 或9 【变式7-1】（2023·河北保定·统考一模）如图1，一个正方体铁块放置在高为90cm的圆柱形容器内，现 以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离y (cm )与注水时间x (min)之间的函数 图象如图2 所示． (1)求直线BD的解析式，并求出容器注满水所需的时间． (2)求正方体铁块的体积． 【变式7-2】（2021·河北石家庄·校考一模）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时 水箱A中没有水，水箱B中盛满水．现以6d m 3 / min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满 水为止．设注水t (min)，水箱A的水位高度为y A (dm)，水箱B中的水位高度为yB (dm)，根据图中数据解答 下列问题（抽水水管的体积忽略不计） （1）水箱A的容积为______；（提示：容积¿底面积×高） （2）分别写出y A、yB与t之间的函数表达式； （3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差． 【变式7-3】（2023·福建厦门·福建省厦门