专题60 二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题（解析版）(1)

要求证平行四边形的存在，得先了解平行四边形的性质： （1）对应边平行且相等 （2）对角线互相平分． 这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： （1）对边平行且相等可转化为： ， 可以理解为点B 移动到点，点移动到点D，移动路径完全相同． yD-yC xD-xC yA-yB xA-xB A B C D （2）对角线互相平分转化为： ，可以理解为的中点也是BD 的中点． D C B A 【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一： ， → ． 当和BD 为对角线时，结果可简记为： （各个点对应的横纵坐标相加） 以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有 一问：若坐标系中的4 个点、B、、D 满足“+=B+D”，则四边形BD 是否一定为平行四边 形？ 模型介绍 反例如下： A B C D M 之所以存在反例是因为“四边形BD 是平行四边形”与“、BD 中点是同一个点”并不是完 全等价的转化，故存在反例． 虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论： （1）四边形BD 是平行四边形：、BD 一定是对角线． （2）以、B、、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论． 【题型分类】 1．三定一动 已知（1，2）B（5，3）（3，5），在坐标系内确定点D 使得以、B、、D 四个点为顶点的 四边形是平行四边形． A B C x y O D3 D2 D1 O y x C B A 思路1：利用对角线互相平分，分类讨论： 设D 点坐标为（m，），又（1，2）B（5，3）（3，5），可得： （1）B 为对角线时， ，可得 ； （2）为对角线时， ，解得 ； （3）B 为对角线时， ，解得 ． 当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可． 比如： ， ， ．（此处特指点的横纵坐标相加减） 2 两定两动 已知（1，1）、B（3，2），点在x 轴上，点D 在y 轴上，且以、B、、D 为顶点的四边形 是平行四边形，求、D 坐标． B A O y x 【分析】 设点坐标为（m，0），D 点坐标为（0，），又（1，1）、B（3，2）． （1）当B 为对角线时， ，解得 ，故（4，0）、D（0，3）； （2）当为对角线时， ，解得 ，故（2，0）、D（0，-1）； （3）当D 为对角线时， ，解得 ，故（-2，0）、D（0，1）． D C D C C D B A O y x B A O y x x y O A B 【动点综述】 “三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平 面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有 一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”． 从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4 个点坐标． 若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2． 找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能 有2 个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质： （1）对边平行且相等； （2）对角线互相平分． 但此两个性质统一成一个等式： ， 两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多 只能存在2 个未知量． 由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题． 考点一：二次函数背景下的平行四边形存在性问题 【例1】．如图，抛物线y＝x2+bx+6 与x 轴交于（2，0），B（﹣6，0）两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P 是抛物线上一点，点Q 是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使得以B、 Q、、P 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说 明理由． 解：（1）将点（2，0），B（﹣6，0）代入抛物线y＝x2+bx+6 得： ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为y＝﹣ x2 2 ﹣x+6； （2）存在点P，使得以B、Q、、P 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵y＝﹣ x2 2 ﹣x+6＝﹣ （x+2）2+8， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2， 在y＝﹣ x2 2 ﹣x+6 中，令x＝0 得y＝6， ∴（0，6）， 例题精讲 设P（m，﹣ m2 2 ﹣m+6），Q（﹣2，t）， 又B（﹣6，0）， ①以P，QB 为对角线，则P，QB 的中点重合， ∴ ， 解得 ， ∴P（﹣8，﹣10）； ②以Q，PB 为对角线，则Q，PB 中点重合， ∴ ， 解得 ， ∴P（4，﹣10）； ③以B，PQ 为对角线，则B，PQ 中点重合， ∴ ， 解得 ， ∴P（（﹣4，6）； 综上所述，点P 的坐标为（﹣4，6）或（﹣8，﹣10）或（4，﹣10）． 变式训练 【变1-1】．如图所示，在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝（m 1 ﹣）x2﹣（3m 4 ﹣）x 3 ﹣ 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，抛物线的对称轴是经过（1，0）且与y 轴平行的 直线，点P 是抛物线上的一点，点Q 是y 轴上一点； （1）求抛物线的函数关系式； （2）若以、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标； （3）若t∠PB＝ ，求点P 的坐标． 解：（1）当y＝0 时，（m 1 ﹣）x2﹣（3m 4 ﹣）x 3 ﹣＝0， 解得x1＝ ，x2＝3，即（ ，0）B（3，0）， 由，B 关于x＝1 对称，得 ＝﹣1，解得m＝2， 即（﹣1，0）， 函数解析式为y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣； （2）由四边形BPQ 是平行四边形，得 PQ∥B，PQ＝B＝4， 当PQ＝4，即x＝4 时，y＝5，即P（4，5）； 当x＝﹣4 时，y＝21，即P（﹣4，21）， B 为对角线，（﹣1，0），B（3，0）， 设P（，2 2 3 ﹣﹣），Q（0，），则 ， 解得 ， P（2，﹣3）． 综上所述：四边形BPQ 是平行四边形P（4，5），（﹣4，21），（2，﹣3）； （3）如图 ， 过P 作PQ⊥x 轴于Q，交B 延长线于R，过P 作P⊥B 于， 设P（m，m2 2 ﹣m 3 ﹣）， ∵抛物线y＝x2 4 ﹣x+3 与坐标轴交于，B，三点， ∴x＝0，则y＝﹣3； y＝0，则0＝x2 4 ﹣x+3， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， 故（﹣1，0），B（3，0），（0，﹣3）， 设直线B 的解析式为：y＝kx+b， 则 ， 解得： ， 故直线B 解析式：y＝x 3 ﹣， ∴R（m，m 3 ﹣），PR＝m2 2 ﹣m 3 ﹣﹣（m 3 ﹣）＝m2 3 ﹣m， ∵B＝＝3， ∴∠BQ＝135°， ∴∠PR＝45°， ∵＝B， ∴∠R＝45°， ∴R＝ Q＝ m， ∴P＝R＝PR÷ ＝ m（m 3 ﹣）， 又∵R＝ Q＝ m， ∴＝ m+ m（m 3 ﹣）＝ m（m 1 ﹣） 由t∠PB＝ ＝ ＝ ， 解得：m＝5， 则m2 2 ﹣m 3 ﹣＝12， 故P（5，12）． 当点P 在直线B 的下方时，同法可得： ＝ ， 解得m＝ 或0（舍弃）， ∴P（ ，﹣ ）， 综上所述，满足条件点P 坐标为（5，12）或（ ，﹣ ）． 考点二：二次函数背景下的菱形存在性问题 【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+3 交x 轴于（3，0），B（﹣1，0）两点，交y 轴于点， 动点P 在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）当以P，B，为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及△PB 的周长； （3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以，，P，Q 为顶点 的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明 理由． 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3 交x 轴于（3，0），B（﹣1，0）两点， ∴ ， 解得： ， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）在y＝﹣x2+2x+3 中，令x＝0，得y＝3， ∴（0，3）， ∵△PB 的周长为：PB+P+B，B 是定值， ∴当PB+P 最小时，△PB 的周长最小． 如图1，点、B 关于对称轴l 对称，连接交l 于点P，则点P 为所求的点． ∵P＝BP， ∴△PB 周长的最小值是+B， ∵（3，0），B（﹣1，0），（0，3）， ∴＝3 ，B＝ ． ∴△PB 周长的最小值是：3 + ． 抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1， 设直线的解析式为y＝kx+，将（3，0），（0，3）代入，得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为y＝﹣x+3， ∴P（1，2）； （3）存在． 设P（1，t），Q（m，） ∵（3，0），（0，3）， 则2＝32+32＝18， P2＝（1 3 ﹣）2+t2＝t2+4， P2＝12+（t 3 ﹣）2＝t2 6 ﹣t+10， ∵四边形PQ 是菱形， ∴分三种情况：以P 为对角线或以为对角线或以P 为对角线， ①当以P 为对角线时，则P＝，如图2， ∴t2 6 ﹣t+10＝18， 解得：t＝3± ， ∴P1（1，3﹣ ），P2（1，3+ ）， ∵四边形PQ 是菱形， ∴P 与Q 互相垂直平分，即P 与Q 的中点重合， 当P1（1，3﹣ ）时， ∴ ＝ ， ＝ ， 解得：m＝4，＝﹣ ， ∴Q1（4，﹣ ）， 当P2（1，3+ ）时， ∴ ＝ ， ＝ ， 解得：m＝4，＝ ， ∴Q2（4， ）， ②以为对角线时，则P＝P，如图3， ∴t2 6 ﹣t+10＝t2+4， 解得：t＝1， ∴P3（1，1）， ∵四边形PQ 是菱形， ∴与PQ 互相垂直平分，即与Q 中点重合， ∴ ＝ ， ＝ ， 解得：m＝2，＝2， ∴Q3（2，2）， ③当以P 为对角线时，则P＝，如图4， ∴t2+4＝18， 解得：t＝± ， ∴P4（1， ），P5（1，﹣ ）， ∵四边形QP 是菱形， ∴Q 与P 互相垂直平分，即Q 与P 的中点重合， ∴ ＝ ， ＝ ， 解得：m＝﹣2，＝3 ， ∴Q4（﹣2，3+ ），Q5（﹣2，3﹣ ）， 综上所述，符合条件的点Q 的坐标为：Q1（4，﹣ ），Q2（4， ），Q3（2， 2），Q4（﹣2，3+ ），Q5（﹣2，3﹣ ）． 变式训练 【变2-1】．如图，抛物线y＝x2+bx 1 ﹣（≠0）交x 轴于，B（1，0）两点，交y 轴于点， 一次函数y＝x+3 的图象交坐标轴于，D 两点，E 为直线D 上一点，作EF⊥x 轴，交抛物 线于点F （1）求抛物线的解析式； （2）若点F 位于直线D 的下方，请问线段EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求 出点E 的坐标；若没有，请说明理由； （3）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，为顶点的四边形为菱形，请直接 写出点G 的坐标． 解：（1）将y＝0 代入y＝x+3，得x＝﹣3． ∴点的坐标为（﹣3，0）． 设抛物线的解析式为y＝（x﹣x 1）（x﹣x 2），点的坐标为（﹣3，0），点B 的坐标为 （1，0）， ∴y＝（x+3）（x 1 ﹣）． ∵点的坐标为（0，﹣1）， 3 ∴﹣＝﹣1，得＝ ， ∴抛物线的解析式为y＝ x 2+ x 1 ﹣； （2）设点E 的坐标为（m，m+3），线段EF 的长度为y， 则点F 的坐标为（m， m 2+ m 1 ﹣） ∴y＝（m+3）﹣（ m 2+ m 1 ﹣）＝﹣ m 2+ m+4 即y＝ （m﹣ ） 2+ ， 此时点E 的坐标为（ ， ）； （3）点G 的坐标为（2，1），（﹣2 ，﹣2 1 ﹣），（2 ，2 1 ﹣），（﹣ 4，3）． 理由：①如图1，当四边形GDE 为菱形时． ∴EG 垂直平分D ∴点E 的纵坐标y＝ ＝1， 将y＝1 代入y＝x+3，得x＝﹣2． ∵EG 关于y 轴对称， ∴点G 的坐标为（2，1）； ②如图2，当四边形DEG 为菱形时，以点D 为圆心，D 的长为半径作圆，交D 于点 E，可得D＝DE，构造菱形DEG 设点E 的坐标为（，+3）， 点D 的坐标为（0，3） ∴DE＝ ＝ ∵DE＝D＝4， ∴ ＝4，解得1＝﹣2 ，2＝2 ． ∴点E 的坐标为（﹣2 ，﹣2 +3）或（2 ，2 +3） 将点E 向下平移4 个单位长度可得点G， 点G 的坐标为（﹣2 ，﹣2 1 ﹣）（如图2）或（2 ，2 1 ﹣）（如图3） ③如图4，“四边形DGE 为菱形时，以点为圆心，以D 的长为半径作圆，交直线D 于 点E， 设点E 的坐标为（k，k+3），点的坐标为（0，﹣1）． ∴E＝ ＝ ． ∵E＝D＝4， 2 ∴k2+8k+16＝16， 解得k1＝0（舍去），k2＝﹣4． ∴点E 的坐标为（﹣4，﹣1） 将点E 上移4 个单位长度得点G． ∴点G 的坐标为（﹣4，3）． 综上所述，点G 的坐标为（2，1），（﹣2 ，﹣2 1 ﹣），（2 ，2 1 ﹣）， （﹣4，3）． 考点三：二次函数背景下的矩形存在性问题 【例3】．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x+（≠0）与x 轴交于点、B，与y 轴交于点， 连接B，＝1，对称轴为直线x＝2，点D 为此抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上、D 两点之间的距离是 2 ； （3）点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和E，求△BE 面积的最大值； （4）点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、、P、Q 为顶点的四边形为 矩形，请直接写出点Q 的坐标． 解：（1）∵＝1， ∴（﹣1，0）， 又∵对称轴为x＝2， ∴B（5，0）， 将，B 代入解析式得： ， 解得 ， ∴ ，自变量x 为全体实数； （2）由（1）得：（0， ），D（2， ）， ∴D＝ ， 故答为2 ； （3）∵B（5，0），（0， ）， ∴直线B 的解析式为： ， 设E（x， ），且0＜x＜5， 作EF∥y 轴交B 于点F， 则F（x， ）， ∴EF＝ ﹣（ ）＝ ， ∴ ， 当x＝ 时，S△BE有最大值为 ； （4）设P（2，y），Q（m，）， 由（1）知B（5，0），（0， ）， 若B 为矩形的对角线， 由中点坐标公式得： ， 解得： ， 又∵∠BP＝90°， ∴P2+PB2＝B2， 即： ， 解得y＝4 或y＝﹣ ， ∴＝ 或＝4， ∴Q（3， ）或Q（3，4）， 若BP 为矩形的对角线， 由中点坐标公式得 ， 解得 ， 又∵∠BP＝90°， B2+P2＝BP2， 即： ， 解得y＝ ， ∴Q（7，4）， 若BQ 为矩形的对角线， 由中点坐标公式得 ， 解得： ， 又∵∠BQ＝90°， ∴B2+Q2＝BQ2， 即： ， 解得＝ ， ∴Q（﹣3，﹣ ）， 综上，点Q 的坐标为（3， ）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣ ）． 变式训练 【变3-1】．如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4 的图象与x 轴交于点、B，与y 轴交于点， 连接、B． （1）求三角形B 的面积； （2）若点P 是抛物线在一象限内B 上方一动点，连接PB、P，是否存在点P，使四边 形BP 的面积为18，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，若点Q 是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、、Q、K 为顶点，B 为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明 理由． 解：（1）令x＝0，则y＝4， ∴（0，4）， 令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0， 解得x＝4 或x＝﹣1， ∴（﹣1，0），B（4，0）， ∴B＝5， ∴S△B＝ ×5×4＝10； （2）存在，理由如下： ∵四边形BP 的面积为18，S△B＝10， ∴△BP 的面积为8， 设直线B 的解析式为y＝kx+4，将点B（4，0）代入，得k＝﹣1， ∴直线B 的解析式为y＝﹣x+4， 过P 点作PM⊥x 轴，交B 于点M， 设P（t，﹣t2+3t+4），则M（t，﹣t+4）， ∴S△BP＝ ×4×PM＝2（﹣t2+3t+4+t 4 ﹣）＝2（﹣t2+4t）＝8， ∴t＝2， ∴P（2，6）； （3）存在，理由如下： 设Q（m，﹣m2+3m+4）， 当m＞0 时，如图1， ∵矩形是以B 为边， ∴QK∥B，Q⊥B，KB⊥B， 过点Q 作Q⊥y 轴交点，过K 作KG⊥x 轴交G 点， ∵Q＝BK，∠B＝∠B＝45°， ∴∠Q＝∠GBK＝45°， ∴△Q≌△BGK（S）， ∴＝Q＝BG＝GK， ∴m＝﹣m2+3m+4 4 ﹣， ∴m＝2 或m＝0（舍）， ∴Q＝2， ∴K（6，2）； 当m＜0 时，如图2， ∵矩形是以B 为边， ∴QK∥B，K⊥B，BQ⊥B， 设K 与x 轴的交点为F，BQ 与y 轴的交点为， 过点Q 作QG⊥y 轴交G 点，过K 作KE⊥x 轴交E 点， ∵∠B＝∠B＝45°， ∴∠B＝∠B＝45°，∠F＝∠F＝45°， ∴F＝＝B＝＝4，∠QG＝∠EFK＝45°， ∵K＝BQ，F＝B， ∴FK＝Q， ∴△QG≌△KFE（S）， ∴QG＝G＝EF＝EK， ∴﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4）， ∴m＝﹣2 或m＝4（舍）， ∴GQ＝2， ∴K（﹣6，﹣2）； 综上所述，K 点的坐标为（﹣6，﹣2）或（6，2）． 考点四：二次函数背景下的正方形存在性问题 【例4】．已知为坐标原点，抛物线y＝x2 3 ﹣x 4 ﹣与x 轴交于，B 两点（点在点B 的右 侧），有点（﹣2，6）． （1）求，B 两点的坐标． （2）若点D（1，﹣3），点E 在线段上，且∠B＝∠DE，延长ED 交y 轴于点F，求△EF 的面积． （3）若M 在直线上，点Q 在抛物线上，是否存在点M 和点，使以Q，M，，为顶点的 四边形是正方形？若存在，直接写出M 点的坐标．若不存在，请说明理由． 解：（1）令x2 3 ﹣x 4 ﹣＝0，解得x＝4 或x＝﹣1， ∵（4，0），B（﹣1，0）； （2）过点B 作BG⊥，过点E 作E⊥， 设E（m，0）， ∵（﹣2，6），D（1，﹣3）， ＝6 ，D＝3 ，B＝ ， 由△B 的面积可得，5×6＝6 BG， ∴BG＝ ， 由△DE 的面积可得，3|4﹣m|＝3 E， ∴E＝ |4﹣m|， ∵∠B＝∠DE ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 2 ∴m2 41 ﹣ m+57＝0， ∴m＝ 或m＝19， ∵点E 在线段上， ∴E（ ，0）， 则ED 的直线解析式为y＝6x 9 ﹣， ∴F（0，﹣9）， ∴△EF 的面积＝ ×E×F＝ × ×9＝ ； （3）直线的解析式为y＝﹣x+4， ∴∠＝45°， 设M（t，﹣t+4）， 如图1：当为