第31讲 图形的轴对称、平移、旋转（讲义）（原卷版）

第31 讲 图形的轴对称、平移、旋转 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 轴对称 题型01 轴对称图形的识别 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型04 轴对称中的光线反射问题 题型05 折叠问题 类型一 三角形折叠问题 类型二 四边形折叠问题 类型三 圆的折叠问题 类型四 抛物线与几何图形综合 题型06 求对称轴条数 题型07 画轴对称图形 题型08 设计轴对称图 题型09 求某点关于坐标轴对称点的坐标 题型10 与轴对称有关的规律探究问题 题型11 轴对称的综合问题 考点二 图形的平移 题型01 生活中的平移现象 题型02 利用平移的性质求解 题型03 利用平移解决实际生活问题 题型04 作平移图形 题型05 求点沿x 轴、y 轴平移后的坐标 题型06 由平移方式确定点的坐标 题型07 由平移前后点的坐标判断平移方式 题型08 已知图形的平移求点的坐标 题型09 与平移有关的规律问题 题型10 平移的综合问题 考点三 图形的旋转 题型01 找旋转中心、旋转角、对应点 题型02 根据旋转的性质求解 题型03 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型04 画旋转图形 题型05 求旋转对称图形的旋转角度 题型06 旋转中的规律问题 题型07 求绕原点旋转90°点的坐标 题型08 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标 题型09 求绕原点旋转一定角度点的坐标 题型10 旋转综合题 类型一 线段问题 类型二 面积问题 类型三 角度问题 题型11 判断中心对称图形 题型12 画已知图形关于某点的对称图形 题型13 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型14 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图 考点 要求 新课标要求 命题预测 轴对 称  通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质:成轴对称的两个图形 中对应点的连线被对称轴垂直平分  能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称 图形  理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴 对称性质  认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形 该板块知识以考查平面几 何的三大变换的基本运用为 主，年年都有考查，分值在 8-12 分左右．预计2024 年各 地中考还将继续考查这些知识 点，考查形式主要有选填题、 作图题、也可能综合题结合出 现．在三种变换中，平移相对 较为简单，多以选择题形式考 察，偶尔也会考察作图题:对 称和旋转则难度较大，通常作 为选择、填空题的压轴题出 现，在解答题中，也会考察对 称和旋转的作图，以及与特殊 几何图形结合的综合压轴题， 此时常需要结合几何图形或问 题类型去分类讨论 平移  通过具体实例认识平移，探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的 图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等  认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用  运用图形的轴对称、旋转、平移进行图设计 旋转  通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转探索它的基本性质:一个图 形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与 旋转中心连线所成的角相等  了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质:成中心对称的 两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分  探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质  认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形 考点一 轴对称 轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称图形 图形 B C F E A D C B A 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能 够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称 图形这条直线就是它的对称轴 区别 1）轴对称是指两个图形折叠重合 2）轴对称对称点在两个图形上 3）轴对称只有一条对称轴 1）轴对称图形是指本身折叠重合 2）轴对称图形对称点在一个图形上 3）轴对称图形至少有一条对称轴 联系 1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合 2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对 称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称 性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形 2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 判定 1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等 做轴对称图形的一般步骤： 1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长； ②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称 点 2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤： ①找在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点） ②作作各个特殊点关于已知直线的对称点 ③连按原图对应连接各对称点 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 【解题思路】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要 求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件， 分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答，所求问题具有不确定性时，常常采用分 类讨论的数学思想方法． 1 对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段 2 轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的存在多条对称轴（例：正方形有四条对称轴，圆有无数条 对称轴等） 3 成轴对称的两个图形中的任何一个都可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到的，一个轴对称图 形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换得到的 题型01 轴对称图形的识别 【例1】（2022·江苏盐城·校联考一模）北京2022 年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图中是轴对称 图形的是（ ） ． B． ． D． 【变式1-1】（2022·广东深圳·南山实验育麒麟中学校联考模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） ． B． ． D． 【变式1-2】（2022·广东·统考模拟预测）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4 个汉字中，可 以看作是轴对称图形的是（ ） ． B． ． D． 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 【例2】（2023·天津·校联考一模）如图，△ABC与△A1B1C1，关于直线MN对称，P 为MN上任一点 （P 不与A A1共线），下列结论不正确的是（ ） ．AP=A1 P B．△ABC与△A1B1C1的面积相等 4 轴对称的性质是证明线段相等、线段垂直及角相等的依据之 ,例如:若已知两个图形关于某直线成 ．MN垂直平分线段A A1 D．直线AB , A1B1的交点不一定在MN上 【变式2-1】（2023·广东深圳·统考二模）如图，这条活灵活现的“小鱼”是由若干条线段组成的，它是一 个轴对称图形，对称轴为直线l，则下列结论不一定正确的是（ ） ．点C和点D到直线l的距离相等 B．BC=BD ．∠CAB=∠DAB D．四边形ADBC是菱形 【变式2-2】（2019·湖北武汉·统考模拟预测）每个格中均有两个图形，其中一个图形关于另一个图形轴对 称的是（ ） ． B． ． D． 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例3】（2021·山东临沂·统考一模）如图，在锐角三角形B 中，B=4，∠B=60°， BD 平分∠B，交于点 D，M、分别是BD，B 上的动点，则M+M 的最小值是（ ） ．❑ √3 B．2 ．2❑ √3 D．4 【变式3-1】（2023·山东枣庄·统考三模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线 段EF在边AB上左右滑动；若EF=1，则¿+CF的最小值为 ． 【变式3-2】（2022·山东聊城·统考一模）如图，在菱形BD 中，BC=2，∠C=120°，Q 为B 的中点，P 为对角线BD 上的任意一点，则AP+PQ的最小值为 ． 【变式3-3】（2020·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，在矩形BD 中，BC=10，∠ABD=30°，若点M、 分别是线段DB、B 上的两个动点，则AM +MN的最小值为 ． 题型04 轴对称中的光线反射问题 【例4】（2023·河北廊坊·校考一模）通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图 1）．在图2 中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ） ．点A B．点B ．点C D．点D 【变式4-1】（2022·陕西咸阳·统考三模）如图，在水平地面B 上放一个平面镜B，一束垂直于地面的光线 经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜B 与地面B 所成的锐角α为（ ） ．30° B．45° ．60° D．75° 【变式4-2】（2022·浙江台州·统考一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜 所夹的角相等．如图，α , β是两面互相平行的平面镜，一束光线m 通过镜面α反射后的光线为，再通过镜 面β 反射后的光线为k．光线m 与镜面α的夹角的度数为x°，光线与光线k 的夹角的度数为y °．则x 与y 之间的数量关系是 ． 题型05 折叠问题 类型一 三角形折叠问题 【例5】（2023·新疆·统考一模）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片 ABC，第1 次折叠使点B落在BC边上的点B '处，折痕AD交BC于点D；第2 次折叠使点A落在点D处， 折痕MN交A B '于点P．若BC=12，则MP+MN=¿ ． 【变式5-1】（2022·浙江衢州·统考模拟预测）如图，三角形纸片B 中，点D，E，F 分别在边B，，B 上， BF＝4，F＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点与点F 重合．若DE∥B，F＝EF，则四边形DFE 的面积为 ． 【变式5-2】（2022·广东珠海·珠海市文中学校考三模）如图所示，将三角形纸片B 沿DE 折叠，使点B 落 在点B′处，若EB′恰好与B 平行，且∠B＝80°，则∠DE＝ °． 【变式5-3】（2020·浙江丽水·统考模拟预测）如图，在△B 中，B=4 ❑ √2，∠B=45°，∠=60°． （1）求B 边上的高线长． （2）点E 为线段B 的中点，点F 在边上，连结EF，沿EF 将△EF 折叠得到△PEF． ①如图2，当点P 落在B 上时，求∠EP 的度数． ②如图3，连结P，当PF⊥时，求P 的长． 【变式5-4】（2023·新疆和田·统考一模）如图，在Δ ABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，点为B 的中 点，点D 是线段上的动点（点D 不与点，重合），将△ACD沿D 折叠得到Δ AED，连接BE． (1)当AE⊥BC时，∠AEB=¿___________°； (2)探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明； (3)设AC=4，△ACD的面积为x，以D 为边长的正方形的面积为y，求y 关于x 的函数解析式． 类型二 四边形折叠问题 【例6】（2019·山东菏泽·统考三模）如图，将▱BD 沿对角线BD 折叠，使点落在点E 处，交B 于点F，若 ∠BD=48°，∠FD=40°，则∠E 为( ) ．102° B．112° ．122° D．92° 【变式6-1】（2022·山东枣庄·统考一模）如图，在四边形纸片ABCD中，AD/¿ BC，AB=10， ∠B=60°．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF．若∠BFE=45°，则BF的长为 （ ） ．5 B．3 ❑ √5 ．5 ❑ √3 D． ❑ √3 5 【变式6-2】（2022·浙江台州·模拟预测）如图，把一张矩形纸片BD 按所示方法进行两次折叠，得到 △EF．若B＝1，则△EF 的周长为（ ） ．❑ √2 B． ❑ √2+1 2 ． ❑ √5+1 2 D．4 3 【变式6-3】（2021·广东深圳·校联考一模）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落 在D '，C '的位置．若∠AE D '=50°，则∠EFC等于（ ） ．65° B．110° ．115° D．130° 【变式6-4】（2022·河南郑州·一模）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图 ①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系， 并加以证明； 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图 ②，点C的对应点为C '，连接DC '并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点的对应点为A '，使 A ' B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A ' M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此 ▱ABCD的面积为20，边长AB=5，BC=2❑ √5，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考 此问题，直接写出结果． 【变式6-5】（2021·江苏常州·统考二模）矩形BD 中，B＝8，D＝12．将矩形折叠，使点落在点P 处，折 痕为DE． （1）如图①，若点P 恰好在边B 上，连接P，求AP DE 的值； （2）如图②，若E 是B 的中点，EP 的延长线交B 于点F，求BF 的长． 类型三 圆的折叠问题 【例7】（2023·山东济宁·校考二模）将一个半径为1的圆形纸片，如下图连续对折三次之后，用剪刀沿虚 线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ） ．π 2 ，540° B．π 4 ，720° ．π 4 ，1080° D．π 3 ，2160° 【变式7-1】（2023·广东广州·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC=20°，将 劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，交AB于点D，则∠ACD的度数等于( )． ．40° B．50° ．80° D．100° 【变式7-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，AC、AD是⊙O中关于直径AB对称 的两条弦，以弦AC、AD为折线将弧AC，弧AD折叠后过圆心，若⊙O的半径r=4，则圆中阴影部分的 面积为 ． 【变式7-3】（2023·河北邯郸·统考一模）如图所示，在扇形AOB中，半径OA=4，点P 在OA上，连接 PB，将△OBP沿PB折叠得到△O1BP．若∠O=75°，且BO1与弧AB所在的圆相切于点B． (1)求∠APO1的度数； (2)求AP的长． 【变式7-4】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，扇形纸片B 的半径为3，沿B 折叠扇形纸片，点恰好落在 ´ AB上的点处，图中阴影部分的面积为（ ） ．3 π−3 ❑ √3 B．3 π−9 ❑ √3 2 ．2π−3 ❑ √3 D．6π−9 ❑ √3 2 类型四 抛物线与几何图形综合 【例8】（2021·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝−1 3 x2+ 2❑ √3 3 x+3 的图象与x 轴交于点、点B．与y 轴交于点． （1）求抛物线与x 轴的两交点坐标． （2）连接、B．判断△B 的形状，说明理由． （3）过点作直线l//x 轴，点P 是抛物线上对称轴右侧一动点，过点P 作直线PQ//y 轴交直线l 于点Q，连 接P．若将△PQ 沿P 对折，点Q 的对应点为点M．是否存在这样的点P，使点M 落在坐标轴上？若存在， 求出此时点Q 的坐标．若不存在，请说明理由． 【变式8-1】（2021·江苏常州·常州实验初中校考二模）如图，二次函数y=−x 2+bx+2的图象与y轴交于 点，抛物线的顶点为，对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的一条直线．点P 是对称轴上位于点下方的 一点，连接P 并延长交抛物线于点B，连接、B． （1）填空：b=¿______，点的坐标是______； （2）当∠B=45°时，求点P 的坐标； （3）将△B 沿B 翻折后得到△DB（点的对应点为点D），问点D 能否恰好落在坐标轴上?若能，请直接写 出点P 的坐标，若不能，请说明理由． 【变式8-2】（2023·江苏苏州·校考二模）如图，二次函数y=1 2 x 2+bx+c与x 轴交于O (0,0)，A (4,0)两点， 顶点为，连接OC、AC，若点B 是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点落在点A '的 位置，线段A 'C与x 轴交于点D，且点D 与、点不重合． (1)求二次函数的表达式； (2)①求证：△OCD∽△A ' BD；②DB BA 的最小值； (3)当S△OCD=8 S△A ' BD时，求直线A ' B的解析式． 【变式8-3】（2023·陕西渭南·统考二模）如图，抛物线y=a x 2+bx−6与x 轴正半轴交于点A (6,0)，与y 轴交于点B，点在直线AB上，过点作CD⊥x轴于点D (2,0)，将△ACD沿CD所在直线翻折，点恰好落在 抛物线上的点E 处． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P 是抛物线上的点，是否存在点P，使∠PEA=∠BAE？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请 说明理由． 题型06 求对称轴条数 【例9】（2023·广东广州·统考一模）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ） ．1 B．2 ．3 D．5 【变式9-1】（2022·山东青岛·统考一模）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ） ． B． ． D． 【变式9-2】（2020·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）下列图形： 其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ） ．①② B．②③ ．②④ D．③④ 【变式9-3】（2023·北京海淀·校联考模拟预测）下列图形中，对称轴条数最少的是（ ） ． B． ． D． 题型07 画轴对称图形 【例10】（2021·广东中山·校联考一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点和线 段EF的端点均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中面出△ADC，使△ADC与△ABC关于直线AC对称（点D 在小正方形的顶点上）； (2)在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，点均在小正方形的顶点上），且平行四 边