第31讲 轴对称、平移、旋转（练习）（原卷版）

第31 讲 轴对称、平移、旋转 目 录 题型01 轴对称图形、中心对称图形的识别 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型04 轴对称中的光线反射问题 题型05 折叠问题-三角形折叠问题 题型06 折叠问题-四边形折叠问题 题型07 折叠问题-圆形折叠问题 题型08 折叠问题-抛物线与几何图形综合 题型09 求对称轴条数 题型10 画轴对称图形 题型11 设计轴对称图 题型12 求某点关于坐标轴对称点的坐标 题型13 轴对称有关的规律探究问题 题型14 轴对称的综合问题 题型15 利用平移的性质求解 题型16 利用平移解决实际生活问题 题型17 作平移图形 题型18 由平移方式确定点的坐标 题型19 由平移前后点的坐标判断平移方式 题型20 已知图形的平移求点的坐标 题型21 平移的综合问题 题型22 找旋转中心、旋转角、对应点 题型23 根据旋转的性质求解 题型24 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型25 画旋转图形 题型26 求旋转对称图形的旋转角度 题型27 旋转中的规律问题 题型28 求绕原点旋转90°点的坐标 题型29 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标 题型30 求绕原点旋转一定角度点的坐标 题型31 旋转综合题-线段问题 题型32 旋转综合题-面积问题 题型33 旋转综合题-角度问题 题型34 画已知图形关于某点的对称图形 题型35 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型36 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图 题型01 轴对称图形、中心对称图形的识别 1．（2024·山东临沂·一模）下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） ． B． ． D． 2．（2023·广东肇庆·统考一模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） ． B． ． D． 3．（2023·四川广安·统考一模）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） ． B． ． D． 4．（2023·山东青岛·统考三模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，下列 窗花作品是中心对称图形的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 5．（2023·天津·校联考一模）如图，△ABC与△A1B1C1，关于直线MN对称，P 为MN上任一点（P 不 与A A1共线），下列结论不正确的是（ ） ．AP=A1 P B．△ABC与△A1B1C1的面积相等 ．MN垂直平分线段A A1 D．直线AB , A1B1的交点不一定在MN上 6．（2023·河北秦皇岛·统考三模）如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图，将剪纸展开后得到的图是（ ） ． B． ． D． 7．（2019·河北·模拟预测）如图，△B 与△DEF 关于直线M 轴对称，则以下结论中错误的是（ ） ．B=DE B．∠B=∠E ．B//DF D．D 的连线被M 垂直平分 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 8．（2022·广东东莞·湖景中学校考一模）如图，在正方形BD 中，已知边长AB=5，点E 是B 边上一动点 （点E 不与B、重合），连接E，作点B 关于直线E 的对称点F，则线段F 的最小值为（ ） ．5 B．5 ❑ √2−5 ．5 ❑ √2 2 D．5 2 9．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，∠AOB=60°，点P到OA的距离是2，到OB的距离是3，M ，N分别是OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是（ ） ．2❑ √19 B．3 ❑ √13 ．9 D．5 ❑ √3 10．（2020·山东德州·统考二模）如图，矩形BD 中，B＝2，D＝3，点E、F 分别为D、D 边上的点，且 EF＝2，点G 为EF 的中点，点P 为B 上一动点，则P+PG 的最小值为（ ） ．3 B．4 ．2❑ √5 D．5 11．（2022·西藏拉萨·统考模拟预测）如图，Rt △ABC中，∠C=90°，∠A=38°，点D 在B 上，且 点D 与点B 关于直线l 对称，则∠ACD的度数为（ ） ．10° B．14° ．38° D．52° 题型04 轴对称中的光线反射问题 12．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，光线自点P 射入，经镜面EF 反射后经过的点是（ ） ．点 B．B 点 ．点 D．D 点 13．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）如图所示为单反照相机取景器的示意图，五边形 ABCDE为五棱镜的一个截面，AB⊥BC．光线垂直AB射入，且只在CD和EA上各发生一次反射，两次 反射的入射角相等，最后光线垂直BC射出．若两次反射都为全反射，则该五棱镜折射率的最小值是（ ） （注：满足全反射的条件为折射率n= 1 sinθ ) ． 1 cos22.5° B． 1 cos 45° ． 1 sin 45° D． 1 sin22.5° 14．（2020·江苏无锡·统考二模）如图，一面镜子斜固定在地面OB上，且∠AOB=60°点P为距离地面 OB为8cm的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径长最短为10cm时， PD的长为 ． 题型05 折叠问题-三角形折叠问题 15．（2023·新疆·统考一模）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC， 第1 次折叠使点B落在BC边上的点B '处，折痕AD交BC于点D；第2 次折叠使点A落在点D处，折痕MN 交A B '于点P．若BC=12，则MP+MN=¿ ． 16．（2022·广东珠海·珠海市文中学校考三模）如图所示，将三角形纸片B 沿DE 折叠，使点B 落在点B′ 处，若EB′恰好与B 平行，且∠B＝80°，则∠DE＝ °． 17．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）如图，已知等边△B 的边长为8，点P 是B 边上的一个动点（与点、B 不 重合），直线l是经过点P的一条直线，把△B 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B′． (1)基础图形：如图1，当PB＝4 时，若点B′恰好在边上，求AB'的长度； (2)模型变式：如图2，当PB＝5 时，若直线l∥，则BB'的长度为______； (3)动态探究：如图3，点P在AB边上运动过程中，点B'到直线AC的距离为m． ①如果直线l始终垂直于AC，那么m的值是否变化？若变化，求出m的变化范围；若不变化，求出m的值； ②当PB=6时，请直接写出在直线l的变化过程中，m的最大值． 题型06 折叠问题-四边形折叠问题 18．（2022·甘肃平凉·模拟预测）如图，将平行四边形BD 沿对角线折叠，使点B 落在点B '处，若 ∠1=∠2=36°，∠B为（ ） ．36° B．144° ．108° D．126° 19．（2021·广东·校考二模）如图，菱形 BD 的边长为4 ，  60， M 是 D 的中点， 是 B 边上一动点， 将M 沿 M 所在的直线翻折得到M ，连接  ，则当  取得最小值时， t D的值为（ ） ．❑ √3 B． ❑ √3 5 ．2❑ √7−2 D．1 2 20．（2022·江苏南京·统考二模）如图，矩形B，点、在坐标轴上，点B 的坐标为(−2,4 )．将△B 沿翻折， 得到△D，则点D 的坐标是（ ） ．( 6 5 , 12 5 ) B．( 6 5 , 5 2) ．( 3 2 , 12 5 ) D．( 3 2 , 5 2) 21．（2022·河北唐山·统考一模）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD 沿过点的直线折叠，使得点B 落在CD上的点Q 处．折痕为AP再将△PCQ , △ADQ，分别沿PQ , AQ折 叠，此时点，D 落在AP上的同一点R 处．请完成下列探究： （1）∵∠C+∠D=180°，∴AD与BC位置关系为 ； （2）线段CD与QR的数量关系为 ． 题型07 折叠问题-圆形折叠问题 22．（2019·河南开封·统考一模）如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过 圆心O．则折痕AB的长为（ ） ．3 B．2❑ √3 ．6 D．4 ❑ √3 23．（2022·黑龙江大庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将´ BC沿BC翻折交AB 于点D．再将´ BD沿AB翻折交BC于点E．若´ BE= ´ DE，设∠ABC=α，则α所在的范围是（ ） ．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7° ．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5° 24．（2022·广东·统考一模）如图，B 为⊙的一条弦，为⊙上一点，∥B．将劣弧B 沿弦B 翻折，交翻折后 的弧B 交于点D．若D 为翻折后弧B 的中点，则∠B＝（ ） ．110° B．1125° ．115° D．1175° 题型08 折叠问题-抛物线与几何图形综合 25．（2023·广西贵港·统考三模）抛物线y=−1 2 x 2+ 3 2 x+c与x 轴交于、B 两点，且点在点B 的左侧，与y 轴交于点，点D (3，2)为抛物线上一点，且直线CD∥x轴，点M 是抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式与、B 两点的坐标． (2)若点E 的纵坐标为0，且以A ，E，D，M为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M 的坐标． (3)过点M 作直线CD的垂线，垂足为，若将△CMN沿CM翻折，点的对应点为N '，则是否存在点M，使 点N '则恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，说明段理由． 26．（2021·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝−1 3 x2+ 2❑ √3 3 x+3 的图象与x 轴交于点、点B．与y 轴交于点． （1）求抛物线与x 轴的两交点坐标． （2）连接、B．判断△B 的形状，说明理由． （3）过点作直线l//x 轴，点P 是抛物线上对称轴右侧一动点，过点P 作直线PQ//y 轴交直线l 于点Q，连 接P．若将△PQ 沿P 对折，点Q 的对应点为点M．是否存在这样的点P，使点M 落在坐标轴上？若存在， 求出此时点Q 的坐标．若不存在，请说明理由． 27．（2020·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x 2+bx+c的图 象与x轴交于A 、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A的坐标为(−1,0)，抛物线顶点D的 坐标为(1,−4 )，直线BC与对称轴相交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为直线x=1右方抛物线上的一点（点M不与点B重合），设点M的横坐标为m，记 A 、B 、C 、M四点所构成的四边形面积为S，若S=3 S ΔBCD，请求出m的值； （3）点P是线段BD上的动点，将ΔDEP沿边EP翻折得到ΔD' EP，是否存在点P，使得ΔD' EP与 ΔBEP的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出BP的长，若不存在，请说明理由． 题型09 求对称轴条数 28．（2020·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）下列图形： 其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ） ．①② B．②③ ．②④ D．③④ 29．（2023·北京平谷·统考一模）瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形即 为瓷器上的纹饰，该图形即为中心对称图形，又为轴对称图形，该图形对称轴的条数为（ ） ．1 B．2 ．4 D．5 30．（2023·上海黄浦·统考二模）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（ ） ．等边三角形 B．菱形 ．等腰梯形 D．圆 题型10 画轴对称图形 31．（2022·广西南宁·统考二模）如图，在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,3)， B(4,0)，C(0,2)． (1)请画出与△ABC关于x 轴对称的△A1B1C1． (2)以点为位似中心，将△ABC缩小为原来的1 2，得到△A2B2C2，请在y 轴的右侧画出△A2B2C2． (3)在y 轴上存在点P，使得△O A1 P的面积为6，请直接写出满足条件的点P 的坐标． 32．（2022·甘肃平凉·校考一模）如图，正方形格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直 角坐标系中，ΔOAB的三个顶点O(0,0)、A(4,1)、B(4,4)均在格点上． （1）画出ΔOAB关于y轴对称的ΔO A1B1，并写出点A1的坐标； （2）画出ΔOAB绕原点O顺时针旋转90 ∘后得到的ΔO A2B2，并写出点A2的坐标； （3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）． 题型11 设计轴对称图 33．（2022·河北唐山·唐山市第十二中学校考一模）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆子，淇淇执方子．棋盘中 心方子的位置用（1，0）表示，右下角方子的位置用（2，－1）表示．嘉嘉将第4 枚圆子放入棋盘后，所 有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是（ ） ．（1，2） B．（1，1） ．（－1，1） D．（－2，1） 34．（2021·江西赣州·校联考一模）如图是由三个全等的菱形拼接而成的图形，若平移其中一个菱形，与 其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（ ） ．5 种 B．6 种 ．7 种 D．8 种 35．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在4×4正方形络中，选取一个白色的小正方形并涂黑，使构成的 黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是 ． 题型12 求某点关于坐标轴对称点的坐标 36．（2022·广东肇庆·统考一模）在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为（ ） ．(−3,2) B．(−2,3) ．(2,−3) D．(3,−2) 37．（2023·新疆克拉玛依·统考二模）若点A(a,−1)与点B(2,b)关于y 轴对称，则a−b的值是（ ） ．−1 B．−3 ．1 D．2 38．（2020·河北·模拟预测）已知点（1，-3）关于x 轴的对称点A '在反比例函数y= k x 的图像上，则实数k 的值为（ ） ．3 B．1 3 ．-3 D．- 1 3 题型13 轴对称有关的规律探究问题 39．（2021·山东淄博·统考二模）第一次：将点绕原点逆时针旋转90°得到1； 第二次：作点1关于x 轴的对称点2； 第三次：将点2绕点逆时针旋转90°得到3； 第四次：作点3关于x 轴的对称点4…， 按照这样的规律，点2021的坐标是（ ） ．( 3 ﹣，2) B．( 2 ﹣，3) ．( 2 ﹣，﹣3) D．(3，﹣2) 40．（2020·江西九江·校联考模拟预测）如图，已知▱OABC的顶点O(0,0)，B(2,2)，C(1.6,0.8)，若 将▱OABC先沿y轴进行第一次对称变换，所得图形沿x轴进行第二次对称变换，轴对称变换的对称轴遵 循y轴、x轴、y轴、x轴…的规律进行，则经过第2018 次变换后，▱OABC顶点A坐标为（） ．(−0.4,1.2) B．(−0.4 ,−1.2) ．(1.2,−0.4) D．(−1.2,−0.4) 题型14 轴对称的综合问题 41．（2022·四川凉山·校考模拟预测）正方形BD 的边长为8，M 在D 上，且DM＝2，是上的一动点，D＋ M 的最小值为（ ） ．6 B．8 ．10 D．9 42．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线 y=x 2+(2m−n) x−2m−2与y=x 2−(m+2n) x+n关于直线x=1对称，则符合条件的m，n的值可以为 （ ） ．m=−6 7 ，n=−2 7 B．m=−1，n=1 ．m=1，n=9 D．m=2，n=2 43．（2022·陕西西安·统考三模）如图，在▱BD 中，B＝6，B＝8，∠B＝60°，P 是▱BD 内一动点，且 S△PB＝1 2S△PD，则P＋PD 的最小值为 ． 44．（2020·湖北武汉·统考二模）已知一张三角形纸片ABC（如图①），其中AB＝AC．将纸片沿过点B 的直线折叠，使点落到AB边上的点E 处，折痕为BD，点D 在边AC上（如图②）．再将纸片沿过点E 的 直线折叠，点恰好与点D 重合，折痕为EF（如图③）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 °． 45．（2023·广西玉林·统考一模）我们不妨约定：二次函数y=a x 2+bx+c (a≠0)与x轴交于A、B两点， 其中C为顶点，当△ABC为等腰直角三角形时，我们称二次函数为“等腰直角函数”． (1)证明y=1 2 x 2−3 x+ 5 2为“等腰直角函数”； (2)如图1，在（1）的“等腰直角函数”图象中，过AB中点F的直线l1与二次函数相交于D，E两点，求 △CDE面积的最小值； (3)如图2，M、N为“等腰直角函数”y=1 2 x 2−2上不重合的两个动点，且关于过原点的直线l2对称，当 点M的横坐标为1时，求出点N的坐标． 题型15 利用平移的性质求解 46．（2022·浙江舟山·校考一模）如图，△ABC沿直线BC向右平移得到△≝¿，已知EC =2，BF =8，则 CF的长为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 47．（2023·河南周口·一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC沿AB方向平移AD的长度得 到△≝¿，已知EF=8，BE=3，CG=3．则图中阴影部分的面积 ． 48．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE， 点B的对应点E 恰好落在直线y=2 x−3上，则点A移动的距离是 ． 题型16 利用平移解决实际生活问题 49．（2021·浙江杭州·一模）小红同学在某数学兴趣小组活动期间，用铁丝设计并制作了如图所示的三种 不同的图形，请您观察甲、乙、丙三个图形，判断制作它们所用铁丝的长度关系是（ ） ．制作甲种图形所用铁丝最长 B．制作乙种图形所用铁丝最长 ．制作丙种图形所用铁丝最长 D．三种图形的制作所用铁丝一样长 50．（2023·山东淄博·统考二模）如图，在一块长92m，宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相 等），水渠把耕地分成6 个矩形小块（阴影部分），如果6 个矩形小块的面积和为5310m 2，那么水渠应 挖多宽？若设水渠应挖xm 宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） ．(92−2 x ) (60−x )=5310 B．92×60−2×60 x−92 x−2 x 2=5310 ．92×60−2×60 x−92 x=5310 D．92