105 化归转化思想

化归转化思想 【规律总结】 化归思想，将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归，它是转 化和归结的简称。 化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之 转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解 的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。 总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简 单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以 及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化， 使问题得以解决。实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为 静，由抽象到具体等转化思想。 【典例分析】 例1、“一般的，如果二次函数y=a x 2+bx+c的图像与x 轴有两个公共点，那么一元二 次方程a x 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”判断方程 实数根的情况( ) 有三个实数根 B 有两个实数根 有一个实数根 D 无实数根 【答】 【解析】 【分析】 本题考查利用函数的图像解方程的根，考查化归与转化思想，数形结合思想，属于中档题． 可先将方程转化为 1 x −1=( x−1) 2，由此设出两个函数关系式，在同一坐标系中画出两函 数的图像，由图像的交点个数即可判断方程实数根的情况． 【解答】 解：将原方程变形为1 x −1=( x−1) 2， 设 y1= 1 x −1， y2=( x−1) 2， 因为一元二次方程根的个数相当于二次函数与x 轴交点的个数， 则方程x 2−2 x= 1 x −2根的个数相当于y1和y2交点的个数， 在坐标系中画出两个函数的图像如图所示： 可看出两个函数有一个交点(1,0)， 故方程( x−1) 2=¿ 1 x −1有一个实数根， 即方程x 2−2 x= 1 x −2有一个实数根， 故选． 例2、已知a 2+a−3=0，那么a 2(a+4)的值是___________ 【答】9 【解析】 【分析】此题主要是考查化归思想和整体代入法求代数式的值，先把条件化为a 2+a=3， 再把原式转化为含a 2+a的式子，进行整体代入求值． 【解答】解：因为a 2+a−3=0， 所以a 2+a=3． 原式¿a 3+4 a 2 ¿a 3+a 2+3a 2 ¿a(a 2+a)+3a 2 ¿3a+3a 2 ¿3(a 2+a) ¿3×3=9． 例3、阅读材料： 关于x 的方程： x+ 1 x =c+ 1 c 的解为：x1=c , x2=1 c x−1 x =c−1 c (可变形为x+−1 x =c+−1 c )的解为x1=c , x2=−1 c x+ 2 x =c+ 2 c 的解为：x1=c , x2=2 c x+ 3 x =c+ 3 c 的解为：x1=c , x2=3 c … 根据以上材料解答下列问题： (1)①方程x+ 1 x =2+ 1 2的解为______________． ②方程x−1+ 1 x−1=2+ 1 2的解为______________． (2)解关于x 的方程：x− 3 x−2=a− 3 a−2 (a≠2) 【答】x1=2, x2=1 2；x1=3, x2=3 2 【解析】解：(1)①方程x+ 1 x =2+ 1 2的解为：x1=2, x2=1 2； ②根据题意得；x−1=2，x−1=1 2， 解得：x1=3, x2=3 2． 故答为：①x1=2, x2=1 2；②x1=3, x2=3 2； (2)两边同时减2 变形为x−2− 3 x−2=a−2− 3 a−2， 解得：x−2=a−2，x−2= −3 a−2， 即x1=a，x2=2a−7 a−2 ． (1)①本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解． ②本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解． (2)本题要求的方程和题目给出的例子中的方程形式不一致，可先将所求的方程进行变形． 变成式子中的形式后再根据给出的规律进行求解． 本题考查了分式方程的解，要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用列子中 的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致． 【好题演练】 一、选择题 1. 关于，b 的方程组{ (k−1)a−3b=k a−3b=2 有无数组解，那么k 的值是()． 2 B 1 3 D 不存在 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了二元一次方程组的解，属于基础题，关键是要理解方程组有无数组解的含义． 由关于x，y 的方程组有无数组解，两式相减求出关于，b 的等式，再根据题意判断即可． 【解答】 解：{ (k−1)a−3b=k a−3b=2 ① ②, ①−②得，(k−2)a=k−2， ∵方程组有无数组解， ∴k−2=0， ∴k=2， 故选． 2. 已知方程x+ 1 x =a+ 1 a的两根分别为a, 1 a，则方程x+ 1 x−1=a+ 1 a−1的根是() a, 1 a−1 B 1 a−1 ,a−1 1 a ,a−1 D a, a a−1 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查了分式方程的解，解分式方程，涉及了转化思想和整体代入的数学方法，考查了 学生的观察能力，属于中档题． 首先观察已知方程x+ 1 x =a+ 1 a的特点，然后把方程x+ 1 x−1=a+ 1 a−1变形成具有已知方 程x+ 1 x =a+ 1 a的特点的形式，从而得出所求方程的根． 【解答】 解：方程x+ 1 x−1=a+ 1 a−1可以写成x−1+ 1 x−1=a−1+ 1 a−1的形式， ∵方程x+ 1 x =a+ 1 a的两根分别为、1 a， ∴方程x−1+ 1 x−1=a−1+ 1 a−1的两根的关系式为：x−1=a−1，x−1= 1 a−1， 即方程的根为：x=a或x= a a−1， 故方程x+ 1 x−1=a+ 1 a−1的根为，a a−1， 故选D． 3. 如图，已知点A(1,2)，B(5,n)(n>0)，点P 为线段B 上的一个动点，反比例函数 y= k x ( x>0)的图象经过点P.点P 从点运动至点B 的过程中，关于k 值的变化： 甲说：“当n=1时，点P 在点位置时，k 的值最小．” 乙说：“当n=1时，k 的值先增大再减小．” 丙说：“若要使k 的值逐渐增大，的取值范围是n>2.” 三个人的结论中，判断正确的是 ( ) 甲和乙 B 甲和丙 乙和丙 D 都正确 【答】 【解析】 【分析】 此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，反比例函数的 性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 若n=1，求出正确k 的最大值与最小值即可判断甲、乙的结论； 把与B 坐标代入反比例解析式，并列出不等式，求出解集即可确定出的范围． 【解答】 解：当n=1时，B(5,1)， 设线段B 所在直线的函数表达式为y=ax+b， 把A(1,2)和B(5,1)代入得：{ a+b=2 5a+b=1 , 解得：{ a=−1 4 b= 9 4 , 则线段B 所在直线的函数表达式为y=−1 4 x+ 9 4 ； k=xy=x(−1 4 x+ 9 4 )=−1 4 ( x−9 2 ) 2+ 81 16 ， ∵1≤x ≤5， ∴当x=1时，k 取最小值，kmin=2； 当x=9 2时，k 取最大值，kmax=81 16， 故甲，乙的结论是正确的； 当n=2时，A(1,2)，B(5,2)，符合k 的值逐渐增大； 当n≠2时，线段B 所在直线的函数表达式为y=n−2 4 x+ 10−n 4 ， k=x( n−2 4 x+ 10−n 4 )=n−2 4 ( x−n−10 2n−4 ) 2+ (10−n) 2 16 (2−n) ， 当n<2时，k 随x 的增大而增大，则有n−10 2n−4 ≥5， 此时10 9 ≤n<2； 当n>2时，k 随x 的增大而增大，则有n−10 2n−4 ≤1， 此时n>2， 综上，若要使k 的值逐渐增大，的取值范围是n≥10 9 ． 故丙的结论是错误的， 则甲乙都是正确的，丙的结论是错误的， 故选． 4. 从边长为的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一 个矩形(如图2)，上述操作能验证的等式是() (a−b) 2=a 2+2ab+b 2 B a 2−b 2=(a+b)(a−b) (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 D a 2+ab=a(a+b) 【答】B 【解析】 【分析】 本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用代数式表示图形的面积，运用了转化思 想，把实际问题转化成数学问题，并用数学式子表示出来．分别求出从边长为的正方形内 去掉一个边长为b 的小正方形后剩余部分的面积和拼成的长方形的面积，根据剩余部分的 面积相等即可得出算式，即可选出选项． 【解答】 解：因为从边长为的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，剩余部分的面积是：a 2−b 2， 且拼成的长方形的面积是：(a+b)(a−b)， ∴根据剩余部分的面积相等得：a 2−b 2=(a+b)(a−b)， 故选B． 5. 从边长为的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一 个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是() (a−b) 2=a 2−2ab+b 2 B a 2−b 2=(a+b)(a−b) (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 D a 2+ab=a(a+b) 【答】B 【解析】 【分析】 本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用代数式表示图形的面积，运用了转化思 想，把实际问题转化成数学问题，并用数学式子表示出来．分别求出从边长为的正方形内 去掉一个边长为b 的小正方形后剩余部分的面积和拼成的长方形的面积，根据剩余部分的 面积相等即可得出算式，即可选出选项． 【解答】 解：因为从边长为的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，剩余部分的面积是：a 2−b 2， 且拼成的长方形的面积是：(a+b)(a−b)， ∴根据剩余部分的面积相等得：a 2−b 2=(a+b)(a−b)， 故选B． 6. 如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2， ∠ABC=∠AED=90°，则五边形BDE 的面积为()． 7 B 6 5 D 4 【答】D 【解析】 【分析】 此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式和转化思想．首先延长DE 至F，使 EF=BC，连，D，F，可得△ABC≌△AEF，然后再证得△ACD≌△AFD，可将五边 形BDE 的面积转化为两个△ADF的面积，最后根据三角形的面积公式求出结论即可． 【解答】 解：延长DE 至F，使EF=BC，连，D，F， ∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°， ∴CD=EF+DE=DF， 在△ABC与△AEF中， { AB=AE ∠ABC=∠AEF BC=EF ， ∴△ABC≌△AEF(SAS)， ∴AC=AF， 在△ACD与△AFD中， { AC=AF CD=DF AD=AD ， ∴△ACD≌△AFD(SSS)， ∴五边形BDE 的面积是：S=2S△ADF=2× 1 2 · DF · AE=2× 1 2 ×2×2=4． 故选D． 二、填空题 7. 小明在解方程❑ √24−x−❑ √8−x=2时采用了下面的方法：由 (❑ √24−x−❑ √8−x ) (❑ √24−x+❑ √8−x )=(❑ √24−x ) 2−(❑ √8−x ) 2=(24−x )−(8−x )=16 ，又有❑ √24−x−❑ √8−x=2，可得❑ √24−x+❑ √8−x=8，将这两式相加可得 { ❑ √24−x=5 ❑ √8−x=3 ，将❑ √24−x=5两边平方可解得x=−1，经检验x=−1是原方程的解． 请你学习小明的方法，解方程❑ √x 2+42+ ❑ √x 2+10=16，则x=¿_______． 【答】± ❑ √39 【解析】 【分析】 此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是在解决实际 问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法.首先把根式 ❑ √x 2+42+ ❑ √x 2+10有理化，然后分别求出根式❑ √x 2+42+ ❑ √x 2+10和它的有理化因式的值 是多少；再根据求出的根式❑ √x 2+42+ ❑ √x 2+10和它的有理化因式的值，求出方程 ❑ √x 2+42+ ❑ √x 2+10=16的解是多少即可． 【解答】 解：( ❑ √x 2+42+ ❑ √x 2+10)( ❑ √x 2+42− ❑ √x 2+10) ¿(❑ √x 2+42) 2−(❑ √x 2+10) 2 ¿( x ²+42)−( x ²+10) ¿32． ∵ ❑ √x 2+42+ ❑ √x 2+10=16． ∴ ❑ √x 2+42− ❑ √x 2+10 ¿32÷16=2． ∴{ ❑ √x 2+42=7 ❑ √x 2+10=7 ． ∵( ❑ √x 2+42)²=x ²+42=8²=81． ∴x=± ❑ √39． 经检验x=± ❑ √39都是原方程的解， 故答为± ❑ √39． 8. 如图所示，在ΔABC中，DE、M 是边B、的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别 交B 于E、N (点E 在点的左侧).若AB=8，AC=9，设ΔAEN周长为m，则m 的取值 范围为_____________． 【答】 ❑ √145<m<17 【解析】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、三角形内角和定理、大边对大角、 勾股定理及其应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，解题时由 DE、M 是边B、的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，AN=CN， 即可得△AEN周长等于B 的长，∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，由三角形三边关系即 可求得1<BC<17，然后由三角形内角和定理，即可求得∠BAE+∠CAN <90°，则 ∠BAC>90°，当∠BAC=90°时由勾股定理易得BC= ❑ √A B 2+ A C 2=❑ √145，由“大角 对大边”易得BC>❑ √145，进而可得△AEN周长的范围． 【解答】 解∵DE、M 是边B、的垂直平分线， ∴AE=BE，AN=CN， ∴BC=BE+EN +CN=AE+EN + AN=C △AEN=m， ∠BAE=∠B，∠CAN=∠C， ∵AB=8，AC=9， ∴1<BC<17， ∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=∠BAE+∠CAN +∠EAN， ∴∠B+∠C=∠BAE+∠CAN <90°， ∴∠BAC>90°， 当∠BAC=90°时由勾股定理易得BC= ❑ √A B 2+ A C 2=❑ √145，由“大角对大边”易得 BC>❑ √145， 综上可知❑ √145<BC<17， 即❑ √145<m<17， 故答为❑ √145<m<17． 9. 如图，在△ABC中，BC=6，E、F 分别是B、的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交 E 于D，∠CBP的平分线交E 于Q，当CQ=1 3 CE时，EP+BP=¿_________． 【答】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ 构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难 点。 延长BQ 交射线EF 于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF/¿ BC，根据两直线 平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM， 从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据 CQ=1 3 CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成 比例列式求解即可． 【解答】 解：如图，延长BQ 交射线EF 于M， ∵E、F 分别是B、的中点， ∴EF/¿ BC， ∴∠M=∠CBM， ∵BQ是∠CBP的平分线， ∴∠PBM=∠CBM， ∴∠M=∠PBM， ∴BP=PM， ∴EP+BP=EP+PM=EM， ∵CQ=1 3 CE， ∴EQ=2CQ， 由EF/¿ BC得，△MEQ∽△BCQ， ∴EM BC = EQ CQ =2， ∴EM=2BC=2×6=12， 即EP+BP=12． 故答为：12． 10. 三个同学对问题“ 若方程组 的解是 ，求方程组 的解．”提出各自的想法。甲说：“这个题目好像条件不够，不能 求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个 方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”.参考他们的讨论， 你认为这个题目的解应该是__________. 【答】{ x=5 y=10 【解析】 【分析】 此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，整体思想，转化化归思想，熟练掌 握运算法则是解本题的关键． 仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【解答】 解：∵方程组{ a1 x+b1 y=c1 a2 x+b2 y=c2 的解是 ∴方程组 可化为{ 3 5 a1 x+ 2 5 b1 y=c1 3 5 a2 x+ 2 5 b2 y=c2 , ∴{ 3 5 x=3 2 5 y=4 ,∴{ x=5 y=10 , 故答为{ x=5 y=10． 11. 如图，已知二次函数y=−3 4 ( x+1)( x−4)的图象与x 轴交于，B 两点(点在点B 的左侧)，与y 轴交于点，P 为该二次函数在第一象限内的一点，连接P，交B 于点 K，则PK AK 的最大值为__________． 【答】4 5 【解析】 【试题解析】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的最值的求 法，关键是构造相似三角形，把线段的比值的最大值转化为二次函数的最大值进行解答， 体现了转化思想． 过P 作PQ/¿ AB，与B 交于点Q，则三角形相似得PK AK = PQ AB ，设P(t ,−3 4 (t+1)(t−4))，从而得PQ AB 关于t 的解析式，再根据二次函数的性质求得最大值． 【解答】 解：过P 作PQ/¿ AB，与B 交于点Q，如图， ∵二次函数y=−3 4 ( x+1)( x−4)的图象与x 轴交于，B 两点(点在点B 的