114 函数思想

函数思想 【规律总结】 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数 关系型的数学模型，从而进行研究。 在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应 用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生 由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以 转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 【典例分析】 例1、如图，点G 是边长为1 的正方形BD 的边B 上的动点，以BG 为边长作正方形 BEFG，其中，B，E 三点在同一条直线上，连结，G，延长G 交E 的连线于点，则 AG×GH的最大值为__________． 【答】1 4 【解析】 【分析】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数 的最值，函数方程思想.掌握相似三角形的判定和性质得二次函数是解本题的关键． 先根据正方形的性质和SS 证明△EBC ≌△GBA得∠BCE=∠BAG，再证明 △BGA ∽△HGC，设BG=x，则CG=CB−x=1−x，根据相似三角形的对应边成比例 得AG×GH的函数解析式，最后根据二次函数的最值即可解答． 【解答】 解：∵四边形BD 和四边形BEFG 是正方形BD，，B，E 三点在同一条直线上， ∴BE=BG，∠EBG=∠GBA=90°，BC=BA， ∴△EBC ≌△GBA， ∴∠BCE=∠BAG， ∵∠BGA+∠BAG=90°，∠BGA=∠HGC， ∴∠HGC+∠BCH=90°， ∴∠GHC=90°， ∴∠GHC=∠GBA=90°， 又∠BGA=∠HGC， ∴△BGA ∽△HGC， ∴BG HG = AG CG ， 设BG=x，则CG=CB−x=1−x， ∴AG×GH=BG×CG=x(1−x)=−x 2+x=−(x−1 2) 2 + 1 4 ∵a=−1<0， ∴当x=1 2时，AG×GH有最大值，最大值为1 4 ． 故答为1 4 ． 例2、如图，已知抛物线与x 轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y 轴交于点，直线 y=−2 x+3经过点，与x 轴交于点D． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)点P 是(1)中的抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t (0<t<3)． ①求▵PCD的面积的最大值． ②是否存在点P，使得▵PCD是以D 为直角边的直角三角形?若存在，求点P 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答】解：(1)直线y=−2 x+3与x 轴、y 轴的交点坐标分别为：C(0,3)，D( 3 2 ,0)， ∵抛物线与x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点， ∴设所求抛物线的函数关系式为： y=a( x+1)( x−3)， 把点C(0,3)代入，得：3=a(0+1)(0−3)， 解得a=−1，∴所求抛物线的函数关系式为：y=−( x+1)( x−3)=−x 2+2 x+3； (2)①过点P 作PE⊥y轴于点F，交D 于点E， 由题意，设点P 的坐标为(t ,−t 2+2t+3)，则点E 的纵坐标为−t 2+2t+3． 以y=−t 2+2t+3代入y=−2 x+3，得x=t 2−2t 2 ∴点E 的坐标为( t 2−2t 2 ,−t 2+2t+3)， ∴PE=t−t 2−2t 2 =−t 2+4 t 2 ∴S△PCD=1 2 PE⋅CO ¿ 1 2 ×−t 2+4 t 2 ×3 ¿−3 4 (t−2) 2+3 ∵a=−3 4 <0，且0<t<3， ∴当t=2时，△PCD的面积最大值为3； ②△PCD是以D 为直角边的直角三角形分两种情况： (Ⅰ)若∠PCD=90°，如图2，过点P 作PG⊥y轴于点G， 则△PGC∽△COD， ∴PG CO = CG DO ，即t 3=−t 2+2t 1.5 ，整理得2t ²−3t=0，解得t1=3 2，t2=0(舍去) ∴点P 的坐标为( 3 2 , 15 4 ) (Ⅱ)若∠PDC=90°，如图3，过点P 作PH ⊥x轴于点， 则△PHD∽△DOC ∴PH DO = DH CO ，即−t 2+2t+3 1.5 =t−1.5 3 ， 整理得 4 t 2−6t−15=0，解得 t1=3+❑ √69 4 ，t2=3−❑ √69 4 (舍去)． ∴点P 的坐标为( 3+❑ √69 4 ,−3+❑ √69 8 ). 综上所述，当△PCD是以D 为直角边的直角三角形时，点P 的坐标为( 3 2 , 15 4 )或 ( 3+❑ √69 4 ,−3+❑ √69 8 ). 【解析】本题考查了二次函数的综合题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上 点的坐标特征、三角形相似的性质和判定以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握 三角形相似的性质和判定，善于用方程的思想求点的坐标． (1)利用待定系数法求抛物线所对应的函数关系式； (2)①如图1，作辅助线PF，设点P 的坐标为(t ,−t 2+2t+3)，则点E 的纵坐标为 −t 2+2t+3，表示PE 的长，根据三角形面积公式可得S 与t 的关系式，配方后可得最值； ②根据等腰三角形的性质和点的坐标、勾股定理得出关于t 的方程，解方程即可确定点的 坐标． 【好题演练】 一、选择题 1. 如图，边长为1 的正方形BD 的对角线、BD 相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点 P 与点重合，直角边PM、P 分别与、B 重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为 θ(0°<θ<90°)，PM、P 分别交B、B 于E、F 两点，连接EF 交B 于点G，则下列结 论中正确的是() (1)EF=❑ √2OE； (2)S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4； (3)BE+BF=❑ √2OA； (4)在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE= 3 4 ； (5)OG⋅BD=A E 2+C F 2． (1)(2)(3)(5) B (1)(3)(4)(5) (2)(3)(4)(5) D (1)(2)(3)(4) 【答】 【解析】 【分析】 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用 是解此题的关键． (1)由四边形BD 是正方形，∠EOF=90°，易证得△BOE≌△COF( ASA )，则可证得 结论； (2)由(1)易证得S四边形OEBF=S△BOC= 1 4 S正方形ABCD，则可证得结论； (3)由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后由等腰直角三角形的性质，证得 BE+BF=❑ √2OA； (4)首先设AE=x，则BE=CF=1−x，BF=x，继而表示出△BEF与△COF的面积之 和，然后利用二次函数的最值问题，求得答； (5)易证得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG⋅OB=O E 2， 再利用B 与BD 的关系，E 与EF 的关系，即可证得结论． 【解答】 解：(1)∵四边形BD 是正方形， ∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°， ∴∠BOF+∠COF=90°， ∵∠EOF=90°， ∴∠BOF+∠BOE=90°， ∴∠BOE=∠COF， 在△BOE和△COF中， ∴△BOE≌△COF( ASA )， ∴OE=OF，BE=CF， ∴EF=❑ √2OE； 故(1)符合题意； (2)∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOF=S△BOF+S△COF=S△BOC= 1 4 S正方形ABCD， ∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4； 故(2)符合题意； (3)∵△BOE≌△COF， ∴BE+BF=BF+CF=BC=❑ √2OA； 故(3)符合题意； (4)过点作OH ⊥BC， ∵BC=1， ∴OH=1 2 BC=1 2， 设AE=x，则BE=CF=1−x，BF=x， ∴S△BEF+S△COF=1 2 BE⋅BF+ 1 2 CF ⋅OH=1 2 x(1−x)+ 1 2 (1−x)× 1 2=−1 2 ( x−1 4 ) 2+ 9 32 ， ∴当x= 1 4 时，S△BEF+S△COF最大； 即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE= 1 4 ； 故(4)不符合题意； (5)∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°， ∴△OEG∽△OBE， ∴OE：OB=OG：E， ∴OG⋅OB=O E 2， ∵OB=1 2 BD，OE= ❑ √2 2 EF， ∴OG⋅BD=E F 2， ∵在△BEF中，E F 2=B E 2+B F 2， ∴E F 2=A E 2+C F 2， ∴OG⋅BD=A E 2+C F 2． 故(5)符合题意． 故选：． 二、填空题 2. 如图，边长为4 的正方形BD 中，P 是B 边上一动点(不含B、点).将△ABP沿直线P 翻折，点B 落在点E 处；在D 上有一点M，使得将△CMP沿直线MP 翻折后，点落 在直线PE 上的点F 处，直线PE 交D 于点，连接M，NA .则以下结论中正确的有____ (写出所有正确结论的序号)． ①∠NAP=45°； ②当P 为B 中点时，E 为线段P 的中垂线； ③四边形MB 的面积最大值为10； ④线段M 的最小值为2❑ √5； ⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4 ❑ √2−4. 【答】 ①③⑤ 【解析】 【分析】 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形 的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用 辅助线，属于中考压轴题． ①正确，先判断出Rt △APE≌Rt △APB，即可得出结论； ②错误，设ND=NE= y，在Rt △PCN中，利用勾股定理求出y 即可解决问题； ③正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可； ④错误，作MG⊥AB于G，因为AM= ❑ √M G 2+ A G 2= ❑ √16+ A G 2，所以G 最小时M 最 小，构建二次函数，求得G 的最小值为3，M 的最小值为5； ⑤正确，在B 上取一点K 使得AK=PK，列出关于PB 的方程即可解决问题． 【解答】 解：∵四边形BD 是正方形， ∴∠D=∠B=∠BAD=90°，AD=AB， 由折叠知，∠AEN=∠B=90°，AE=AB， ∴AD=AB=AE，∠D=∠AEN=90°， 在Rt △ADN和Rt △AEN中，{ AN=AN AD=AE , ∴Rt △ADN≌Rt △AEN， ∴∠DAN=∠EAN， 在Rt △APE和Rt △APB中， ∴Rt △APE≌Rt △APB， ∴∠EAP=∠BAP， ∵∠DAN=∠EAN，∠BAD=90°， ∴∠PAN=45°， 故①正确； 当PB=PC=PE=2时， 由折叠知，ND=NE， 设ND=NE= y， 在Rt △PCN中，( y+2) 2=(4−y) 2+2 2， 解得y= 4 3 ， ∴NE≠EP，故②错误； 设PB=x，则CP=4−x， ∵△CMP∽△BPA， ∴PB CM = AB PC ， ∴CM= 1 4 x(4−x)， ∴S四边形AMCB=1 2 [4+ 1 4 x(4−x)]×4=−1 2 x 2+2 x+8=−1 2 ( x−2) 2+10， ∴x=2时，四边形MB 面积最大值为10，故③正确； 作MG⊥AB于G， ∵AM= ❑ √M G 2+ A G 2= ❑ √16+ A G 2， ∴AG最小时M 最小， ∵AG=AB−BG=AB−CM=4−1 4 x(4−x)= 1 4 ( x−2) 2+3， ∴x=2时，G 最小值¿3， ∴AM的最小值¿ ❑ √16+9=5，故④错误； ∵△ABP≌△ADN时， ∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在B 上取一点K 使得AK=PK， ∴∠KPA=∠KAP=22.5° ∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°， ∴∠BPK=∠BKP=45°， ∴PB=BK，AK=PK=❑ √2 PB， ∴PB+❑ √2 PB=4， ∴PB=4 ❑ √2−4，故⑤正确． 故答为：①③⑤． 3. 如图，在ΔABC，∠BAC=45❑ ∘，∠ACB=60❑ ∘，BC=4 ❑ √3−4，D 是B 边上异 于点B，的一动点，将▵ABD沿B 翻折得到▵ABE，将▵ACD沿翻折得到▵ACF， 连接EF，则四边形EBF 面积的最大值是____________． 【答】18−8 ❑ √3 【解析】 【分析】 本题主要考查翻折的性质、全等三角形的性质、三角形内角和定理、邻补角的定义、二次 函数的综合应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键；解题时设CD=x，则 BD=4 ❑ √3−4−x，由将△ABD沿B 翻折得到▵ABE，将▵ACD沿翻折得到▵ACF，可 知▵ABE≌▵ABD，▵ACF≌▵ACD，由此可得BE=BD，CF=CD，然后分别过点 E、F 做EN ⊥BC于点，FM ⊥BC于点M，由三角形内角和定理、邻补角的定义易得 ∠EBN=30°，∠FCM=60°，进而可得E、B、M、FM 的大小，最后由四边形EBF 面 积等于梯形EMF 的面积减去ΔEBN，再减去ΔCFM的面积得出关于x 的函数，由二次函 数函数的性质求解即可； 【解答】 解设CD=x，则BD=4 ❑ √3−4−x， ∵将△ABD沿B 翻折得到△ABE，将△ACD沿翻折得到△ACF， ∴△ABE≌△ABD，△ACF≌△ACD， ∴∠ABE=∠ABD，∠ACF=∠ACD=60°， BE=BD=4 ❑ √3−4−x，CF=CD=x， 如图，分别过点E、F 做EN ⊥BC于点，FM ⊥BC于点M， ， ， ∴∠ABC=75°，∠EBN=30°，∠FCM=60°， ∴EN=1 2 BE ,BN= ❑ √3 2 BE , CM=1 2 CF , MF= ❑ √3 2 CF , ∵NM=NB+BC+CM， ∴NM= ❑ √3 2 BE+BC+ 1 2 CF ¿ 1 2 (EN +FM )· NM−1 2 BN·EN−1 2 CM·FM ¿ 1 2[ 1 2 (4 ❑ √3−4−x )+ ❑ √3 2 x]·[ ❑ √3 2 (4 ❑ √3−4−x )+4 ❑ √3−4+ 1 2 x]− ❑ √3 8 (4 ❑ √3−4−x ) 2− ❑ √3 8 x 2 ¿−1 2 x 2+2 x+16−8 ❑ √3¿−1 2 (x−2) 2+18−8 ❑ √3∴当x=2时，四边形EBF 的面积最大， 为18−8 ❑ √3， 故答为18−8 ❑ √3． 4. 如图，矩形BD 中，B¿6，D¿8，点E 在边D 上，E 与BD 相交于点F.设DE¿x，BF¿y，当0≤x≤8时，y 关于x 的函数 解析式为____． 【答】y= 80 x+8 【解析】解：在矩形中，AD/¿ BC， ∴△≝¿∽△BCF， ∴DE BC = DF BF ， ∵BD= ❑ √BC 2+C D 2=10，BF= y，DE=x， ∴DF=10−y， ∴x 8 =10−y y ，化简得：y= 80 x+8， ∴y关于x 的函数解析式为：y= 80 x+8， 故答为：y= 80 x+8． 根据题干条件可证得△≝¿∽△BCF，从而得到DE BC = DF BF ，由线段比例关系即可求出函数 解析式． 本题主要考查的是相似三角形的判定与性质定理，难度不大，熟练掌握性质和判定定理是 解得本题的关键，注意掌握数形结合思想与函数思想的应用． 三、解答题 5. 如图，已知抛物线与x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点，直线 y=−2 x+3经过点，与x 轴交于点D． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)点P 是(1)中的抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t(0<t<3).求△PCD的 面积的最大值； (3)在(2)的条件下是否存在点P，使得△PCD是以D 为直角边的直角三角形？若存 在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】解：(1)直线y=−2 x+3与x 轴、y 轴的交点坐标分别为：C(0,3)，D( 3 2 ,0)， ∵抛物线与x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点， ∴设所求抛物线的函数关系式为： y=a( x+1)( x−3)， 把点C(0,3)代入，得：3=a(0+1)(0−3)， 解得a=−1，∴所求抛物线的函数关系式为：y=−( x+1)( x−3)=−x 2+2 x+3； (2)过点P 作PE⊥y轴于点F，交D 于点E， 由题意，设点P 的坐标为(t ,−t 2+2t+3)，则点E 的纵坐标为−t 2+2t+3． 以y=−t 2+2t+3代入y=−2 x+3，得x=t 2−2t 2 ∴点E 的坐标为( t 2−2t 2 ,−t 2+2t+3)， ∴PE=t−t 2−2t 2 =−t 2+4 t 2 ∴S△PCD=1 2 PE⋅CO ¿ 1 2 ×−t 2+4 t 2 ×3 ¿−3 4 (t−2) 2+3 ∵a=−3 4 <0，且0<t<3， ∴当t=2时，△PCD的面积最大值为3． (3)△PCD是以D 为直角边的直角三角形分两种情况： (Ⅰ)若∠PCD=90°，如图2，过点P 作PG⊥y轴于点G， 则△PGC∽△COD， ∴PG CO = CG DO ，即t 3=−t 2+2t 1.5 ，整理得2t ²−3t=0，解得t1=¿ 3 2 ，t2=0(舍去) ∴点P 的坐标为( 3 2 ， 15 4 )(Ⅱ)若∠PDC=90°，如图3，过点P 作PH ⊥x轴于点， 则△PHD∽△DOC ∴ P D ¿ D ，即 −t 2+2t+3 1.5 ¿ t−1.5 3 ， 整理得 4 t 2−6t−15=0，解得 t1=¿ 3+¿ ❑ √69 4 ，t2=3−❑ √69 4 (舍去)． ∴点P 的坐标为( 3+❑ √69 4 ,−3+❑ √69 8 ). 综上所述，当△PCD是以D 为直角边的直角三角形时，点P 的坐标为( 3 2 ， 15 4 )或( 3+❑ √69 4 ,−3+❑ √69 8 ) 【解析】本题考查了二次函数的综合题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上 点的坐标特征、三角形相似的性质和判定以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握 三角形相似的性质和判定，善于用方程的思想求点的坐标． (1)利用待定系数法求抛物线所对应的函数关